2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)理数答案解析(正式版)(解析版)

1、高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合A=（1,2,3,B=（2,3,则A、A=BB、ACB=0C、A?BD、B?A【答案】D【解析试题分析ST2e.12eA,3;1AA故A、R、C均错，。是正确的，选。考点：集合的关系.在等差数列a中，若a2=4,84=2,则a6=A、-1B、0C、1D、6【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质得a6=2a4a2

2、=224=0，选B.考点：等差数列的性质.1 .重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下：089125800*3S|I2则这组数据的中位数是A、19B、20C、21.5D、23【答案】B.【解析】试题分析：从茎叶图知所有数据为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中间两个数为20,故中位数为20,选B.考点：茎叶图，中位数.4.“x>1"是“log1(x+2)<0"的2A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析*log:2)<0<=>x

3、+2>1<=>.y>-1因此远B,考点：充分必要条件.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为31C、-+2览3【答案】A2D、一+2览【解析】试题分析：这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体,1)111V=-Hx1X2+-X(-XX1X2)x1=R十一，选2323A.考点：组合体的体积6.若非零向量a,b满足|a|=2把|b|,且(a-b)3_1_(3a+2b),贝Ua与b的夹角为C、D、二nA、4【答案】A【解析】4H44电-1戒4242(a-b)<3a+2b)=3a-ab-2b=0,即3aal，bcosB-2b=0,所以试题分析：由题意3独¥2-

4、半8SI=0,C°s8=f，。亏,选A.考点：向量的夹角.7.执行如题(7)图所示的程序框图，若输入A、s_'B、s-46K的值为8,则判断框图可填入的条件是.11C、s12.15D、s<24IT【答案】C【解析】试题分析.由程序框图，*的值依次为0,2,义&S,因此S=-+-=(此时Jt=6)还必须计24612算一次，因此可填旦，选C12考点：程序框图.8.已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C：x2+y24x2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线，切点为B,则|AB|=A、2B、4豆C、6D、210【答案】C【解析】试题分析：圆C标准方

5、程为(x2)2+(y1)2=4，圆心为C(2,1)，半径为r=2，因此2+ax11=0,a=1,即A(T,1),考点：直线与圆的位置关系一4.B9.右tana=2tan,5【解析】试题分析*cos(a曰已知，土sin(ctIAB=J|AC|2t2=J(42)2十(_1_1)2_4=6.选C.，3二、cos(:)10s”('一5)C、33t.,3,tcosacosfsinasin1010*K、了sinctcos-costzsin3,t,costailczsin1010TT-TT-Mtanc;cossin3/Ttb3<tcos_ratisin10510_7171.71.Lancos-

6、sin考点：两角和与差的正弦(余弦)公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换/Tcas1022xy10.设双曲线2=1(a>0,b>0)的右焦点为1,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分ab别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+Ja=+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A、(-1,0)u(0,1)B、(-O0,-1)u(1,+oO)C、(-龙，0)p(0,后d、(-co,-V2)p(V2,+co)【解析】b"b试题分析:由题意A(a,0),B(c,),C(c,)，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x,0),由BDJCaab2

7、b4b4ac食军得c一x=,所以c一x=<a+Ja2+b2=a+c,所以b42-2-cab2、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡11.设复数a+bi(a,bR)的模为J3,则(a+bi)(a-bi)=【解析】试题分析：由a+bi=J3得Ja2+b2=73,即a2+b2=3,所以(a+bi)(a_bi)=a2+b2=3.a2=b2n乌<1n0<b<1,因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)U(0,1),选A.aa考点：双曲线的性质.考点：复数的运算.12.X又亡I的展开式中x8的系数是(用数字作答).【解析】试题分析j二项展开式

8、通项为7；.1=侦）1（云）苛二（；）*</',令15_JS=8.解得k=J因c1、.。此寸的系数为（河",考点：二项式定理13.在LABC中，B=120o,AB=必，A的角平分线AD=焰，则AC=.【答案】6【解析】试题分析：由正弦定理得A%b=ad，即fDB=f0°，解得sinNADB=#,2ADB=45>从而NBAD=15'=NDAC，所以C=180°120。30'=30、AC=2ABcos30'=5/6.考点：解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若

9、三题全做，则按前两题给分如图，圆。的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED=2:1，贝UBE=.【解析】试题分析，首先由切割线定理得PPCPD.因此如二顼=1、CDFD-PC=9,又C£:£D-2:b因此CE=6,ED=3,再相交弦定理有AEEE=CE-ED,所以口匚CEED6x3-AE9考点：相交弦定理，切割线定理.已知直线l的参数方程为XI'（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，y=1t3二5二曲线C的极坐标万程为P2cos2e=4（P0,*<e<）,则直线

10、l与曲线C的交点的极坐标为.【答案】（2,二）【解析】试题分析：直线l的普通方程为y=x+2，由P2cos26=4得P2（cos20sin2e）=4,直角坐标方程为22X2y2=4,把y=x+2代入双曲线方程解得x=2,因此交点.为（2,0），其极坐标为（2,兀）.14. 考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=.【答案】a=4或a=-6【解析】试题分析：由绝对值的性质知六对的最小值在x=-l或工二由时取得，苦/（1）=2|1-由|=私心二;或a=-经检验均不合；若/（<?）=5*则|工+1|=5,=4

11、或。=-6*经检验盲题意，因此a=4或女=-6.一考点：绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个,这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。（1）求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望1.一.一.3【答案】(1)-；(2)分布列见解析，期望为-.45【解析】试题分析：(1)本题属于古典概型，从10个棕子中任取3个，基本事件的总数为C*,其中事件“三种

12、棕子各取i个”含基本事件的个数为c；c；c5,根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；(2)由于io个棕子中有2个豆沙棕，因此x的可能分别为0,1,2，同样根据古典概型概率公式可得相应的概率，从而3列出其分布列，并根据期望公式求得期望为35试题解析：(1)令A表示事件“三个粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C2c3c51c*4'c；c；1(2)X的所有可能取值为0,1,2,且c37c!c?P(X=0)=-=-,P(X=1)=T=一，P(X=2)=T，c315c315c315101010综上知，X的分布列为7713故E(X)=0?1?2?-.1515155考点：古

13、典概型，随机变量的颁布列与数学期望.(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分)已知函数fx=sin-xsinx-3cos2x2(1) 求f(x)的最小正周期和最大值；.,：2二讨论f(x冲-,上的单调性._63【答案】(1)最小正周期为p,最大值为;(2)f(x)在仁，攵上单调递增；f(x)在攵，史上2612123单调递减.【解析】试题分析,三角函数间题一般方法是把函数转化为一个角，一个函数，一被式，即为HNM&Y-G+t形式,然后根据正弦函数的性腐求得结论，本题利用诱导公式，倍角公式，两角差的正弦公式可把函数转化为(对=sinOx-I)-£，这样根据正弦函数性质可

14、得周期为7=年=最大值为1-土(2)n由已知条件得OGx-兰WQ而正弦函数在0三和二初上分别是增函数和被函数，因此可得单322调区间./_/V试题解析工11?f(x)=sinxjsin.y/3cos"y=cosvsinx(1+coslx)=1sin2x-3(1+cos2x)=【sin2x-3cos2x-3=sin(2x-P)-32222232因此f(x)的最小正周期为p，最大值为232一二2二_二当xu,时，有02x苴兀，从而6335二当0<2xM一时，即一时，f(x)单调递增，326125二2二当一壬2x壬冗时，即<x<时，f(x)单调递减，23123,、，一，二

15、5二，、一、，.、，5二2二，、，、一、，.综上可知，f(x)在,上单倜递增；f(x)在,上单倜递减.考点：三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性.(本小题满分13分，(1)小问4要，(2)小问9分)冗如题(19)图，三棱锥PABC中，PC_L平面ABC,PC=3,NACB=.D,E分别为线段AB,BC2上的点，且CD=DE=2,CE=2EB=2.(1)证明：DE_L平面PCD（2）求二面角APDC的余弦值。I)题（19）图【答案】（1）证明见解析;【解析】试题分析:（1）要证线面垂直，就是亶证线线垂直，题中由PC-平面可知再分析已知由DC=C£=V2.CE=2得CD_DE,这样与D

16、E垂直的两条直线都已找到，M而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于小。宜=匚yPC一平面.1BC,因此CA.CB:CP两两垂直，可以他们为xrz轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面一护和平面CE9的法疯童有3,向童富云的表角与二面角相等或互诅由此可得结论.学科圈试题解析，（1）证明；由PC一平面ABC,DEz平面ABC,故PC.DE由CE=2,CD=DE=得ACDE为等腰直角三角形，故CD.LDE由PCnCD=GDE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE_平面PCD解：由（1）知，ACDE为等腰直角三角形，2DCE

17、=,如（19）图，过点D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=EF=1,又已知EB=1,由ZACB=兰得DFAC,-DF=-FB=2>AC=-DF=-2,ACBC322以C为坐标原点,分别以CACB则C(0,0,0,),p(0,0,3),A(3,0,0),2E(0,2,0),D(1,1,0),ED=(1,-1,0),T1DP=(-1,-1,3)DA=(-,-1,0)设平面PAD的法向量ni=(x1,y1,z1),"d?=0,n#=0,_x-y-3z=0.I1故可取n1=(2,1,1).5X1_y=0cP的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,(1)可知DE_L平面PC

18、D，故平面PCD的法向量n2可取为ED,即n2=(1,-1,0).从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos"苦3故所求二面角A-PD-C的余弦值为.6考点：线面垂直，二面角.20.(本小题满分12分，(1)小问7分，(2)小问5分)3x2ax设函数fx=xaRe(1)若f(x推x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x施Re)上为减函数，求a的取值范围。9【答案】(1)a=0，切线万程为3x-ey=0;(2)_Y,*c).2【解析】试题分析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得3x2(6-a)xaf&#

19、39;(x)=L，由已知得f'(0)=0,可得a=0，于是有f(x)=癸，f'(x)=一3x：6x,ee一3一3f(1)=3，f'(1)=3，由点斜式可得切线方程；(2)由题意f'(x)0在3,危)上恒成立，即g(x)=-3x2十(6a)x+a<0在3,e)上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由6-a二T非彳七96待a*一.2g(3)3x2xo6xaef3xaxe-3x26-axa试题解析：对f(x)求导得f(x)=-I)因为f(x)在x=0处取得极值，所以f'(0)=0,即a=0.当"0时，/（工）=年/6=丑拦二故贝）=2/=%

20、从而，（对在点（L1（D）处的切线方程/e"ee为l一三二E（x-l）,化简得3工一砂=0ee/se%-3x:+（6-a'lx+a心由：.l：得，广（对=：令g（对-3x"+（6-a）x+a、卜心6一J'十366口十J疽*十36由g（x）=0,解得改=孑=.当x啜气时.g（Y）。0做，（*）为调E函数：当而<x<x.时，g（x）>0,故丁（工）为噌函数；当x>x;时，g（对t0：故/（工）为减函数；由八。在3mTc）上为减函数，知工：=6-”-必f6Q解得女丑一?629故a的取值范围为-一：啊一考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，

21、单调性.21.（本小题满分12分，（1）小问5分,（2）小问7分）X2V2如题（21）图，椭圆-2+=1>b>0）的左、右焦点分别为Fi,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两ab点，且PQ_PF1题"1)亳(1) 若PF1|=2+J2,PF2|=2J2,求椭圆的标准方程(2) 若PF1|=PQ，求椭圆的离心率e.【答案】(1)+y2=1;(2)阪-妪4【解析】试题分析：H)本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距蔑，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由PQ±PFV应用勾股定理可得焦距，即匚的值,因此方程易得?(2)要求椭圆的离心率，就是要找到关于日，工的一个等式,

22、题中涉及到建点距离,因此我们仍然应用慵匾定义,设|再|=皿则|您|=2"熠,OF.=PO-PF.=m-(2a-m)=2m-2ar于是有QF=2a-QF:=4a-2mr这样在R/APQR中求得w=2(2-y/2)ai在RtAPF中可建立关于久£的等式，从而求得离心率.试题分析sill由椭圆的定义，2=PF：-PF：=(2-很)-(A很)=4,故队二2设描圆的半隹距为c由已知PF】_PF,因此2c=|F：F：|二/PF：曲PF：f二2+很)L(2-J5二出即B右,从而b=Jet'-二=1故所求椭圆的标谁方程为-+5=14(2)解法一：如图(21)图，设点P(Xo,y0)

23、在椭圆上，且PR_LPE,则22X0,y0.2,222+歹=1,Xo+yo=cab求得x0=±CJa22b2,y0=±.ac由|PR|=|PQ|>|PF2|,得X0>0,从而2C：:2_2|PE|=-捎-2b+ca官23/L_2=2a-bi，2a、a-2b?=a，、a-2b?由椭圆的定义，|PF|+|PF2|=2a,|QFi|+|QF2|=2a,从而由|Pg|=|PQ|=|PR|+|QF?|,有|QFi|=4a-2|PR|又由PR_LP5,|PFi|=|PQ|知|QF|=/2|P时,因此(2+T2)|PFi|=4a于是/2+.2)(a+1+-1I1一、L+V2；

24、j解得e=.2解法二：如图(21)图由椭圆的定义，|PF|+|PF2|=2a,|QF,|+|QF2|=2a而由|PR|=|PQ|=|PE|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|Pg|又由Pg_LPE,PR|=|PQ|知|QF|=72|Pg|,因此4a-2|PF|=V2|PF|,|PF|=2(2-四a,从而|PF|=2a-|PF|=2a-(2-72)a=2(72-1)a由PF._LPE,知|PF.|2+|PF2|2=|PF2|2=(2c)2=4c2,因此e=C=|弥|2+|理|=(2-、.2)2+(.2-1)2=.9-6.2=.6-.3考点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.22.(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分)在数列la中，a=3,afan+#an+an2=0(nN+)(1)若九=0,卜=2，求数列Gn的通项公式;一一1.一1一1(2)右兀=一(ko亡N+ko芝2),P=-1,证明：2+<a、<2+k03k01k02k01【答案】(1)an=32n-；(2)证明见解析.【解析】试题分析！(1)由于z=0./=2j因此把已知等式具体化