1第1章有理数

1、y梯田文化ITTIANCULTURE第一章有理数1.1正数和负数1.2数轴专题一探究数字的规律1.观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数(1) 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,(2) 2,-4,6,-8,10,-12,14,-16,(3) 1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,2.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是粒.3. 根据下表的规律，空格中应依次填写的数字是()=000110010111001101A.1

2、00,001B.011,001C.100,011D.011,100我们知道：1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16，观察下面的一列数：-1,2,-3,4,-5,6,将这些数排成如下形式，根据规律猜想：第20行第4个数是（）2日4«-7S-910-11121314-1516A.-363B.-365C.-367D.-369专题二与数轴有关的规律题4. 电子跳蚤落在数轴上的某点K。，第一步从K。向左跳1个单位到K1,第二步由K1向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3跳4个单位到K4,按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰

3、是30,贝U电子跳蚤的初始位置庇点所表示的数为()A.-26B.-20C.-30D.30如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上(该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0,1,2)上.先让原点与圆周上。所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1,2,3,4,所对应的点分别与圆周上1,0,1,所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系.圆周上数字a与数轴上的数5对应，贝Ua=;数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈(n为正整数)后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是(用含n的代数式表示).【知识要点】具有相反意义的量相反

4、意义的量，它们不但意义相反，面且还表示一定的数量正数和负数正数：像+1.8,+1200,+30,+28,+2.5,+8844.43,+34200等这样的数，都是已学过的数(0除外)的前面添上“+”得到的，这样的数叫做正数.像-3,-800,-50,-24,-2,-155,-27450等这样形式的数，都是在已学过的数(0除外)的前面添上“-”得到的，这样的数叫做负数.0既不是正数，也不是负数.有理数的分类整数和分数统称为有理数.(1)按正数、负数与0的关系分类：(2)按整数、分数的关系分类1. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴1. 【温馨提示】具有相反意义的量必须是成对出现的两个

5、量正数和负数，不能简单地理解为带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数0虽然不是正数也不是负数，但它是整数.2. 在对有理数进行分类时，分类标准不同，分类的形式也不同，要弄清每一个括号所对应的分类标准，做到不重、不漏、不混淆.3. 数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可【方法技巧】生活中有许多相反意义的量，引入负数后可以用正、负数表示一对具有相反意义的量领会分类思想，有理数的分类有多种方式，无论采用哪种方式都要做到不重、不漏在学习数轴时，要充分注意数形结合思想，理解有理数可以直观地在数轴上表示出来参考答案：1. (1)1-1(2)18-20(3)-102n+1DB喉梯田文化III

6、IANCULIU曜W:F行1个数2行3个数，3行5个数.4行T个数，I19行应有2X19-1=37个数，到第1布一共有，H3f5+T+9+37=19X19-361.第3J行第4个数的绝对值是明L+4二咒5又明5是奇数，AM20行第4兮教是T明.故医BB23n+1解析：(1).数轴上1,2,3,4,所对应的点分别与圆周上1,2,0,1,所对应的点重合，.圆周上数字a与数轴上的数5对应时a=2.(2).数轴上1,2,3,4,所对应的点分别与圆周上1,2,0,1,所对应的点重合，圆周上的数字0,1,2与正半轴上的整数每3个一组0,1,2;3,4,5;6,7,8;分别对应，数轴上的一个整数点刚刚绕过圆

7、周n圈(n为正整数)后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是3n+1.1.3绝对值与相反数1. 专题一绝对值与数轴相结合的综合题有理数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|的结果是()A.2b-2cB.2c-2bC.2bD.-2c已知|a-1|=3,|b|=3,a,b在数轴上对应的点分别为A,B,则A,B两点间距离的最大值等于专题二绝对值的非负性及意义的运用3.已知a6b50,试求33(ab)230的值.一只可爱的小虫从点。出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：cm）依次记为：+5,-3

8、,+10,-8,-6,+12,-10,在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻？【知识要点】绝对值的意义在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值相反数只有符号不同，绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数去绝对值的法则一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.【温馨提示】在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察这个点与原点之间相隔多少个单位长度,而与它位于原点的左侧还是是右侧无关.1. 0的相反数是0.2. 定义中强调了“符号不同”和“绝对值相等”，二者缺一不可，不能理解为只要符号不同的两个数就互

9、为相反数.3. 相反数是成对出现的，不能单独存在.5.任何一个有理数的绝对值是非负数.1. 【方法技巧】根据a,b互为相反数有a+b=0这一重要性质，建立相等关系，求出未知数的值.2.求一个数的绝对值时，必须先弄清这个数是正数还是负数或0,根据绝对值的意义去掉绝对值符号，得出结果，因此，求一个数的绝对值可概括为“一判二求”参考答案：1. A解析：由图可知:cvbv0va,-c>a,-bva,a+b>0,a+cv0,c-bv0.|b+a|+|a+c|+|c-b|=a+b-a-c+b-c=2b-2c.故选A.2. 7解析：|a-1|=3,a-1=3或a-1=-3,a=4或a=-2.|b

10、|=3,-b=±3.分为四种情况： 当a=4,b=3时，A,B两点间的距离是4-3=1;当a=4,b=-3时，A,B两点间的距离是4-(-3)=7;当a=-2,b=3时，A,B两点间的距离是3-(-2)=5;1054.当a=-2,b=-3时，A,B两点间的距离是(-2)-(-3)=1,即A,B两点间距离的最大值等于7,故答案为7.3.解：因为a6>,b5>Qa6b50,所以a=6,b=5所以33(ab)23033(6、2一一-5)2303.4.解：小虫爬行的总路程为：|5|3|10|8|6|1254>2=108（粒）.X梯田文化TITIANCULTURE1.4有理数

11、的大小1. 专题利用比较大小的方法进行各种形式的有理数的比较比较下列各数的大小：4.5兰与(2)78有一位同学在做作业，要比较两个数的大小，但不慎把右边的一个有理数小数点后面的3一一位小数弄上了墨水：22()，请写出“()”这个数字的取值范围，并5帮这位同学填上一个合适的数.2. 有理数a,b在数轴上如图,(1) 在数轴上表示-a,-b;(2) 试把a,b,0,-a,-b这五个数用"v"连接起来;”“=”或“v”填空：|a|a,|b|b.用“>【知识要点】利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的的大正数、0、负数比较大小正数大于0,0大于负数，

12、正数大于负数.两个负数比较大小两个负数，绝对值大的反而小.【温馨提示】在数轴的负半轴，绝对值越大的负数离原点越远，即越靠左，就越小；而在正半轴上，绝对值越大的正数离原点越远，即越靠右，就越大两个负数比较大小时，分三步来进行：一是先求两负数的绝对值；二是比较绝对值的大小；三是根据“两个负数，绝对值大的反而小”来确定这两个负数的大小【方法技巧】有理数大小的比较方法有多种，利用数轴和两个负数“绝对值大的反而小”是比较有理数大小的重要方法.参考答案:,4325353235，451.解：（1）因为一-,一，而，所以<_.7568565656785|5556654=555456(2)一,而>，

13、所以<.|9|99911119999999112.解：因为2大于2.5,3小数点后面只有一位小数，所以2小于-2.0大于55后面只有一位小数，所以括号内的数是0到5之间的整数，可任选一个，如1,3.解：（1）在数轴上表示为：2.5.小数点3等.(2)av-bv0vbv-a.=1.5有理数加法1.6有理数的减法1.7有理数的加减混合运算1. 专题一有理数加减法的新定义型题符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1) f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3f(1)=2,f(-)=3,f()=4,f(-)=52345利用以上规律计算：f()-f(2013)=.201

14、3的值.专题二有理数加减法的创新题3.根据如图所示的程序计算，若输入的值为1,则输出的值为11111-111计算：2248163264128256【知识要点】有理数加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加，仍得这个数.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数1. 【温馨提示】对有理数的加法理解抓住三条：其一是同号两数相加；其二是异号两数相加；其三是一个数同0相加.2. 在应用有理数加法计算时，切记先定和的符号，后算绝对值”，否则，很容易出错.【方法技巧】1

15、.用有理数加法法则进行计算时，首先根据两个加数的符号，确定用哪一条法则在用减法法则进行减法运算时，要同时注意两个“变”，即运算符号"-”与减数的符号都要改变.参考答案:解：观察(1)中的各数，我们可以得出f(2013)=2012,观察(2)中的各数，我们可以得出f()=2013,20131351732223655135217322365531564。6.2.解：原式=-5解析：(1)先把2后面的负数相加，然后再加上2即可得结果；(2)用图形来分析。把则f()-f(2013)=2013-2012=1.2013一个面积是1的正方形连续平均分8次如图，这样不难看出1111112481632

16、64128256256255 一255竺，再用2减去竺可求解.256 256解：原式2552561工2561.8有理数的乘法1.9有理数的除法专题一有理数乘除法的新定义题-种数字运算符号)4!=4>3X2X1,-观察下列等式：（式子中的“！”是1!=1,2!=2X1,3!=3X2X1,计算：2013!2012!2.若定义一种新的运算为aAb=ab1,计算：(32-.ab62. 专题二有理数乘除法的找规律题观察下列各式：1111122,2321n(n1)用上述方法计算199101【知识要点】有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同0相乘，仍得0.乘法运算律乘法交换

17、律：ab=ba.乘法结合律：(ab)c=a(bc).乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac.多个有理数相乘符号的确定几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.几个数相乘，如果有一个因数为0,积就为0.有理数除法法则法则1:两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何不等于0的数都是0.法则2:除以一个数(不等于0)等于乘这个数的倒数.1. 【温馨提示】1.有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”是专对两数相乘而言掌握乘法法则的关键是会确定积的符号：“同号得正，异号得负”，切记不要与有理数加法法则相混淆.对于有理数的

18、两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则2简便，在整除的情况下，用第一个法则较简便1. 【方法技巧】1.有理数相乘时，先确定积的符号，然后再计算绝对值善于观察题目的特点，灵活运用乘法运算律进行计算时，形成解题规律，尤其是分配律的逆运用应予关注.2. 有理数除法时，恰当选择除法法则进行计算，有理数的除法转化为乘法后，可以用乘法运算律简化计算.参考答案:20132013201211'2012!20122011113'解：因为aAb=-'，所以(32A1ab6611321-61一56_51=()=132656A61161_15653.解:99101

19、991011101501011.10有理数乘方1. 专题一有关乘方的规律探索型题下面是一个三角形数阵：根据该数阵的规律，猜想第十行所有数的和是214236g634812161284fA*2.已知212,224,238,2416,2532,观察上面规律，试猜22008的末尾数是水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力.据报道，现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果、据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜条件下，(不考虑植株死亡、被打捞等其它因素)(1)假设江面上现有1株水葫芦，填写下表：第几天51015505n总株数24(2)假定某流域内水

20、葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益.若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦.(要求写出必要的尝试、估算过程！)【知识要点】乘方求n个相同因数的积的运算叫做乘方.乘方的结果an叫做藉.在an中,a叫底数，n叫做指数.乘方运算的符号法则正数的任何次藉都是正数；负数的奇次藉是负数，负数的偶次藉是正数2. 【温馨提示】1.乘方具有双重意义，它表示一种运算的意义，还表示一种运算的结果要注意指数的取值范围，指数是1时可省略不写，这部分的指数可取任意的正整数注意书写格式，要注意各种各样的底数，底数是负数、分数或含运

21、算关系时，应加括号再写指数.1. 【方法技巧】有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定藉的符号，然后再计算藉的绝对值.2. 在确定藉的符号时，“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0;当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数,结果为负.参考答案:3331.1000解析：由题意可得11,2+4+2=8=2,3+6+9+6+3=27=3,4+6+8+12+16+12+8+4=64=43,显然，第十行所有数的和为1031000.2.6解：二'以2为底的幕的末位数字是24*8M烦决循环，且其05=4毛驼成二剧末位数是应是循环的最后一个&.3.解："俵次埴日1Q2LEr，如震格第凡美5L015a-50.5n总柱数24a.1024.2n2)当£13时,10X2+i=6L920当辑M时10X2'4-163640当洌I10X2-=327680.二当n=15时iaX2-*s33(5n-Tb.答：了5天时水葫芦约有33万株-1.11有理数的混合运算1.12计算器的使用专题一利用运算律简化有理数的混合运算181.计算：9一38.19、