自动控制原理课件 第五章线性系统的频域分析

1、 第五章 线性系统的频域分析本章主要内容与重点本章主要内容与重点频率特性的基本概念频率特性的基本概念极坐标图极坐标图对数坐标图对数坐标图奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据稳定裕度稳定裕度闭环系统频率特性闭环系统频率特性系统时域指标估算系统时域指标估算本章主要内容本章主要内容本章介绍了控制系统频率分析法的相关概念和原理。包括频率特性的基本概念和定义、开环频率特性的极坐标图表示法、波特图表示法、控制系统稳定性的频率特性分析法及其应用、控制系统闭环频率特性、闭环频率特性与时域性能的关系等。本章重点本章重点通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统开环频率特性的极坐标图和波特图的绘制和

2、分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、系统稳定裕度的概念和求法、闭环频率特性的求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。2、开环幅相曲线绘制开环幅相曲线绘制开环幅相曲线绘制方法：（1）由开环零点-极点分布图，用图解计算法绘制；（2）由开环幅频特性和相频特性表达式，用计算法绘制。（3）由开环频率特性的实部和虚部表达式，用计算法绘制。概略地绘制幅相曲线的方法概略地绘制幅相曲线的方法例1 设 RC超前网络，其传递函数TssTsTssG/11)(试绘制其幅相特性。rucuRCTTsTsCsRRsG1)/1 ()(RCT/10j)2(2211)(TtgarcjeTTjTTjjG0TTTtgarcjGAPOP

3、TTjG2)(1)(22AP例2 某零型反馈控制系统，系统开环传递函数) 1)(1()(21sTsTKsG试概略绘制系统的开环幅相曲线。)()()() 1)(1()()(21jQPejGjTjTKjGjoojGKjG1800)(,0)0(1)(1)()(2221TTKjG2111)()(TtgTtgjG)1)(1/()1 ()(222221221TTTTKP)1)(1/()()(22222121TTTTKQ0KP) 0(21/1TT2121TTTTK与虚轴的交点：0)(PnTTTTK2122110)1 (2121)(TTTTKQn由于含有两个惯性环节，当ojG1800)(由此可见，若包含 n

4、个惯性环节，则有onjG900)(0KP) 0 (2n3n4n由此可见，若包含 n 个惯性环节，m个一阶微分环节，则有onmjG90)()(当开环传递函数包含有微分环节时，幅相曲线会出现凹凸，幅值和相位不再是单调变化的。例如0KP) 0 (1, 3mn) 1)(1)(1() 1()(4321sTsTsTsTKsGooojGKjG180090)31 (0)(,0)0(开环传递函数含有积分环节时的开环幅相曲线开环传递函数含有积分环节时的开环幅相曲线例3 设某单位反馈系统的开环传递函数为) 1)(1)(1()(321sTsTsTsKsG)()(111) 1)(1)(1()()(22322222132

5、1jQPeTTTKjTjTjTjKjGj假设 ，试概略绘制开环幅相曲线，并进行分析。321TTT32190)(arctgTarctgTarctgT0ImjRe0 xVx)()()1)(1)(1 ()(1)1)(1)(1 ()()(22322222113322122232222213213321jQPTTTTTTTTTKjTTTTTTTTTKjGoojGjG3600)(,90)0(起点与终点： 0幅相曲线的渐近线是横坐标为 ，平行与虚轴的直线xV 0)()0(321TTTKVPx令133221/1,0)(TTTTTTQx)1)(1)(1 ()()(2232222213212321xxxxxTTT

6、TTTTTTKP2型系统包含两个积分环节，例如) 1)(1()(212sTsTsKsG)(222221221211) 1)(1()()(jeTTKjTjTjKjG21180)(arctgTarctgToojGjG3600)(,180)0(起点与终点：0ImjRe00ImjRe0当包含一阶微分环节，这时的幅相曲线也可能出现凹凸，例如) 1)(1)(1() 1()(42123sTsTsTssTKsGoojGjG3600)(,180)0(起点与终点：若T1大于其它时间常数，幅相曲线如图所示，与实轴、虚轴的交点可以用对应的实部、虚部表达式求出。0基本规律：设) 1() 1() 1() 1()(11sT

7、sTsssKsGum（1）（2）（3）幅相曲线与实轴、虚轴的交点求取。（4） 不包含一阶微分环节， 包含一阶微分环节的幅相曲线。K 0unnmonmjG90)()(0ImjRe0型3型2型1型niiininijGjijGjniijGjGjGjGejGejGjGjGi111)()(1)()(,)(log20)(log20)()()()(3、开环对数频率特性曲线的绘制、开环对数频率特性曲线的绘制设传递函数 由n个典型环节串联组成，n个典型积分环节分别以 表示，则有)(,),(),(21sGsGsGn)(sGniisGsG1)()(对数幅频曲线和对数相频曲线是由n个典型环节对应曲线的叠加后得到的。例

8、1 设单位反馈系统，其开环传递函数)/(5 .11087. 0/1/1sradTsTKTssKsG087. 0, 7,) 1()(试绘制近似对数幅频曲线和对数相频曲线，并修正近似对数幅频曲线。解：典型环节分别为) 1/(1,/1,TssK) 1/(1,/1,jTjK绘制典型环节Bode图的数据：)(9 .167log20log20dBK转折频率)(L1 . 0101100402020400)(jG)(090180)(jG对数幅频特性曲线分析：（1）低频段斜率为-20db/dec，斜率由积分个数所决定。（2） ，曲线的分贝值为20 logK, 左端直线与零分贝线的交点频率为K值。（3）在惯性环节

9、交接频率11.5(rad/sec)处，斜率从-20db/dec 变为 -40db/dec。116.9dB一般近似对数幅频特性的特点：（1）最左端直线斜率为 （2） 的分贝值，最左端直线及其延长线的分贝值为20 logK。（4）最左端直线（或其延长线）与零分贝线的交点频率（3）在交接频率处，曲线斜率发生改变，改变的多少取决于典型环节的类型。decdB /201/1K例2 试绘制以下传递函数的对数幅频曲线)2)(2()3(10)(2ssssssG12/35. 02)2/(1,) 12/(1,) 13(,1,5 . 72sssssK解：) 12/)2/)(12/() 13/(5 . 7) 12/)2

10、/)(12/(22) 13/(310)(22sssssssssssG35. 03535. 0,2,2/1/2nn（1）)(5 .175 . 7log20log20dBK（2）绘制最左端的直线：斜率 -20dB/dec 直线，在 过17.5(dB)这一点的直线。15 . 7/1K或绘制过零分贝线 的这一点的斜率为-20dB/dec的直线。（3）根据各环节的交接频率绘制近似对数幅频特性。)/(3,) 13(.)/(2,) 12/(1)/(2,12/35. 02)2/(12212sradjsradjsradjj（4）修正近似的对数幅频特性。)(L1 . 0101402020400601234、最小相

11、位系统和非最小相位系统、最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统：系统稳定，而且在右半 s 平面没有零点。否则就是非最小相位系统。举例：121111)(,11)(sTsTsGsTsTsG10TT 121111)(,11)(TjTjjGTjTjjG121121221)(,)(,)(1)(1)()(TarctgTarctgjGTarctgTarctgjGTTjGjG对于最小相位系统：幅频特性与相频特性具有一一对应关系；而非最小相位系统就没有这样的关系。如已知最小相位系统的幅频特性就可以直接写出系统的传递函数。)(L1 . 0101100402020400350decdB/20decdB/40例3：

12、已知最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示，试确定系统开环传递函数。j/1110/j) 150/(1jdecdB/20) 1100/(1j3/1K系统开环传递函数：) 1100/)(150/() 110/( 3)(sssssG不稳定环节不稳定环节（1）不稳定惯性环节（2）不稳定振荡环节) 1(1Ts 1)/(2)/(12nnss不稳定惯性环节的频率特性不稳定惯性环节的频率特性)(21)(1)1(1)(jGjeTjTjGarctgTTarctgjGo180)1/()(T/1j0ImjRe001)(09018015 . 01)(,15 . 01)(,5 . 021ssGssGTnum1=1; de

13、n1=0.5 1;bode(num1,den1)num2=1; den2=0.5 -1;bode(num2,den2)不稳定振荡环节和振荡环节的幅相曲线和对数频率特性1,1,1TTsTs不稳定一阶微分环节和一阶微分环节的幅相曲线和对数频率特性1)2/(5.02)2/(12ssnum=1; den=1/4 -1/2 1;bode(num,den) 不稳定的二阶微分环节和二阶微分环节的幅相曲线、对数频率特性曲线1)2/(5 . 02)2/()(2sssGnum=1/4 -1/2 1; den=1; bode(num,den)延迟环节延迟环节se)( 1 )()(ttrtcsesRsCsG)()()

14、(0)(tc)(tr)(3 .57)(, 1)(,)(ojjGjGejGojGjG1)(,01)0(0幅相曲线：复平面上单位圆，圆心在原点，半径为1。01ImjRe01对数频率特性：)(L)(05 . 0110)(jejjG延迟环节是非最小相位系统。例1 绘制以下具有延迟环节的开环传递函数的频率特性)(5 . 03 .57)(,110)(2oarctgjGjG幅相特性和对数频率特性05 . 0je5 . 0110jej5-4 奈奎斯特稳定判据频域稳定判据：奈奎斯特稳定判据和对数稳定判据频域稳定判据的特点：开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性研究系统参数和结构改变对稳定性的影响研究包含延迟环节系统

15、的稳定性奈氏判据可推广到某些非线性系统的稳定性1、奈奎斯特稳定判据、奈奎斯特稳定判据设系统的前向通道传递函数G(s)、反馈通道的传递函数H(s)分别为)()()(,)()()(2211sNsMsHsNsMsG若G(s)和H(s)没有零点与极点相消，则有)()()()()()(2121sNsNsMsMsHsG)()()()()()()()(1)()(212121sMsMsNsNsNsMsHsGsGs设辅助函数)()(1)()()()()()()(212121sHsGsNsNsMsMsNsNsFniiniipszssNsNsMsMsNsNsF11212121)()()()()()()()()(注意

16、：*（1）辅助函数的零点是闭环传递函数的极点 辅助函数的极点是开环传递函数的极点 （2）辅助函数的零、极点个数相同 （3）F(s)与G(s)H(s)在复平面上的几何关系01ImjRe)0()0(1jHjG)0()0(jHjG4pAj0s1izs1z2z1iziz1p3p2ps4ps幅角原理幅角原理 从 s 平面上任一点 s，通过F(s)的影射关系，在F(s)平面上的找到相应的象象。设：在s平面上选择一个A点开始，作一条顺时针包围某个零点 的围线，其不包围也不通过其它极点和零点。iz0ImjRe)(sF)(sFBF在F(s)平面上，F(s)是对应于从B点出发又回到B的围线 。Fizs Aj0s1

17、izs1z2z1iziz1p3p2ps4ps 0ImjRe)(sF)(sFBF设 分别是向量 沿着围线顺时针绕行一周的相角变化量。考察s沿着围线F(s)的相位变化量为)(, )(jipszs)( , )(jipszs)()()()()(2121pspszszssF), 2 , 1(0)(njpsj结论：2)(izs), 2 , 1(0)(iknkzsk2)(sF)()()()()(2121pspszszssF这表明：F(s)曲线从B开始，绕原点顺时针方向转了一圈。若在s平面的顺时针围线内，包围的是某个极点，在F(s)平面上， F(s)曲线绕原点逆时针方向转了一圈。即), 2 , 1(0)(ni

18、zsi2)(jps), 2 , 1(0)(jknkpsk2)( sF幅角原理幅角原理：如果在围线 内有Z个零点、P个极点，则s沿着 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线 绕原点逆时针转过的圈数为 R=P-Z当R为负，表明是顺时针包围的圈数。sF奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据在s平面上的围线扩展到整个右半s平面（包括虚轴），这时 R=P-Z P：辅助函数 F(s) 在右半s 平面的极点数Z：辅助函数 F(s) 在右半s 平面的零点数，即闭环的极点数Rss0)2)(22)(ZPPZsF注意到辅助函数与开环传递函数之间的关系： F(s)=1+G(s)H(s) G(s)H(s)=F(s)-

19、1F(s)围绕（0，j0)的圈数 G(s)H(s)围绕（-1，j0）的圈数。niiniipszssNsNsMsMsNsNsF11212121)()()()()()()()()(又由辅助函数的定义：0)()()()()(0)()(12121sMsMsNsNsDsHsGF(s)的分子多项式就是闭环系统的特征方程。结论：闭环系统稳定的充要条件是Z=0，则有 R=P即：G(s)H(s)逆时针包围（-1，j0）点的次数=右半s平面开环极点数。当特征方程有纯虚根，闭环系统临界稳定，G(s)H(s)曲线（奈奎斯特曲线）过（-1， j0）点，此时圈数R是不定的。奈奎斯特判据奈奎斯特判据：反馈控制系统稳定的充分

20、必要条件是：奈奎斯特曲线反时针包围（-1，j0）点的圈数R等于开环传递函数在右半s平面的极点数P，即R=P。（1）若P=0，系统开环稳定，闭环系统稳定的充要条件：奈氏曲线不包围（-1，j0)点。（2）若 ，则系统闭环不稳定，在右半s平面上闭环特征根的个数 Z=P-R。PR例1 设单位反馈系统的试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。)1)(1()(21sTsTKsG解：（1）绘制 的曲线。)(jG)(1) 1)(1() 1)(1()(2122122222121TTjTTTTKjTjTKjGKImjRe00100RP系统是闭环稳定的。（2）用奈氏判据判定闭环系统的稳定性例2 具有单位反馈的非最小相位系

21、统) 1/()(TsKsG试分析闭环系统的稳定性。解：（1）绘制奈氏曲线2211) 1/()(TjTKjTKjGImjRe00K（2）若R=P=1，则系统闭环稳定。这就要求 K1 ；当 K=1系统是临界稳定。s0s02、开环系统（传递函数）临界稳定时，、开环系统（传递函数）临界稳定时，奈氏围线的修改奈氏围线的修改开环传递函数G(s)H(s)在虚轴上有极点（开环极点），则就是辅助函数 F(s)=1+G(s)H(s) 的奇点，而奈氏围线不允许通过奇点，为此需对奈氏围线进行修改，如图所示。例1 已知系统开环传递函数)1 ()1 () 1()(,) 1()(2222TKjTKTjTjKjGTssKsG

22、修改后奈氏围线的映射有一个开环极点 s=0，作无穷小半径的围线。 在围线 上 00jjoojes90900,jjjjeseKeKeTeKsGj0000limlim) 1(lim)(limS 在无穷小半圆上逆时针转过半圈，映射到G(s）平面上则为一条顺时针绕行半圈的圆弧曲线，半径为无穷大)90()90(,ooK0s0 00 0对于 型系统，在G(s)平面上，半径为无穷大，顺时针方向绕行 个半圈的圆弧曲线。oojes90900,jjjjeseKeKeTeKsGj0000limlim) 1(lim)(lim)90()90(,ooK3、判断稳定性的实用方法、判断稳定性的实用方法绘制 的奈氏曲线，按奈氏

23、曲线包围临界点圈数 N和开环传递函数在右半 s 平面的极点数 P，确定闭环特征方程正实部根的个数。 0NPZ2若 Z=0 ，则系统闭环稳定，否则闭环不稳定。对于 型系统的奈氏曲线：00补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行 的圆弧，这样可得完整的 部分奈氏曲线。o90 0例2 设单位反馈系统，其开环传递函数) 1()(2TssKsG试用奈氏判据判断系统稳定性。解：开环幅相大致曲线如图所示曲线顺时针包围（-1，j0）点一圈，N= -1 。P=0，Z= P-2N =2 。闭环系统不稳定。 001用在 区间，奈氏曲线的正、负穿越的次数来确定 N )1,(1)( )( )( NNN1)(21)(4、对数

24、频率稳定判据、对数频率稳定判据对数频率稳定判据的依据是和奈氏稳定判据的依据是一样的，关键是在对数频率特性图（对数幅频图和对数相频图）上如何确定 N 。考察以下开环幅相曲线与Bode图的对应情况：)(1)()(L)(180)( )( 011NNN当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画 这一段频率变化范围的相角变化曲线。 00ojHjG90)0()0(例如)1()()(2TssKsHsGT/ 10180 00系统闭环不稳定。 22,1NPZNN 001对数频率稳定判据对数频率稳定判据：已知开环系统在右半s平面的极点数P，开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频曲线对-180o

25、线的正、负穿越之差 ，然后 确定NNNNPZ2条件稳定系统条件稳定系统考察图示系统的奈氏曲线 P=0（1）开环增益K增加到足够大，)(1)(121NNN22NPZ系统闭环不稳定。（2）开环增益足够小，11NNN22NPZ系统闭环不稳定。5-5 5-5 稳定裕度稳定裕度表征系统稳定程度的两个指标：相角裕度 ，幅值裕度 h开环幅相曲线与阶跃响应的关系相角裕度和幅值裕度的定义相角裕度和幅值裕度的定义1cg)()(ggjHjG)(180)(coc)()(1ggjHjGh)()(log20)()(1log20log20ggggjHjGjHjGh结论结论：对于最小相位系统，若相角裕度大于零，幅值裕度大于1

26、，则系统闭环稳定；这些值越大稳定程度越好。否则系统闭环不稳定。180)(dBh例1 设单位反馈系统的开环传递函数为) 12 . 0)(1()(sssKsG试分别计算K=2, K=20时，系统的相角裕度和幅值裕度。解：5,1211)2 . 0(log201log20log20log20)(22KL2 . 090)(arctgarctgolog20log20)(1KLlog20log20log20)(51KL2 . 0log20log20log20log20)(5KL)(62log20log20dBK21)(0log20log20log20log20)(22cKdBKKLoooocarctgarc

27、tgr5 .1922 . 0290180)(180)(204060)(L1 . 01102040c204060oggogarctgarctg1802.090)(5g)(5 .91)52 .0(155/2log20)(log20log202dBjGhg) 12 . 0)(1()(sssKsG)(2620log20log20dBK65. 410012 . 020)(02 . 0log202 . 0log20log20log20log20)(333dBKKLoooocarctgarctgr3065. 42 . 065. 490180)(180)(一般要求系统具有4570的相角裕度。对于最小相位系统，

28、当相角裕度在3070之间时，则要求幅频曲线在截止频率处的斜率大于 -40dB/dec, 通常采用-20 dB/ dec。)(5 .101)52 . 0(155/20log20)(log20log202dBjGhg5-6 5-6 闭环频率特性闭环频率特性对于单位反馈系统，闭环和开环系统频率特性的关系 )(1)()()()(jGjGjRjCj对于一般系统的闭环和开环系统频率特性的关系)()(1)()()(1)()(1)()()()(jHjGjHjGjHjHjGjGjRjCj对于要求确定系统频带宽度，谐振峰值和谐振频率等性能指标就要求绘制闭环系统的频率特性。对于非单位反馈系统闭环频率特性的绘制，只要

29、经过上述处理即可。考察开环幅相曲线Imj0ReA1P1jeOAOAjG)(1jePAPAjG)(11)(111)(1)()(jePAOAjGjGjPAOjPAOAj)(,)(11求得不同频率对应的闭环幅值和相角后，就可得闭环频率特性，画出闭环频率特性曲线。在工程上常用等M和等N圆图或尼柯尔斯图线，直接由单位反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率曲线。等等M圆图圆图 可以作闭环幅频特性曲线假设开环频率特性和闭环频率特性分别为)()()(,)()()(jeMjjYXjG则有2222)1 (11YXYXjYXjYXGGM22222222222)1()1(,)1 (MMYMMXYXYXM令M为常数，则

30、上式表示为一个圆。P.214 图5-82 等M圆图等等N圆图圆图 应用等N圆作闭环相频特性曲线)(Im)(Re)1 (1)(2222jjjYXjYYXXjYXjYXj令22)(Re)(Im)(YXXYjjtgN222241)21()21(NNNYX等N圆图见 P.215 图2-83)21,21(Nj2241NNR圆心：半径：用等M圆图和等N圆图求闭环幅频特性和相频特性通过开环幅相特性曲线与等M圆图的交点，可以得到相应频率的M值，即闭环幅频值。通过开环幅相特性曲线与等N圆图的交点，可以得到相应频率的N值（或 ），即闭环相频值。P.216 图5-84 是由开环幅相特性曲线、等M圆图和等N圆图确定闭

31、环频率特性曲线。尼柯尔斯图线尼柯尔斯图线 设开环频率特性)()()(jeAjGjjjAeAeeMj1)()()(AjMAMAjMMAMAeMejjsincos)sin()cos()(比较等式两边可得：)(sin)()(sinlog20)(log20)(sin)()(sin)(,0sin)sin(AAMAM)(sin)()(sinlog20)(log20A设 为常数，在)()()(log20A平面上得到等 曲线。1) 1(1)(AeAeAeMejjjjj利用指数函数和三角函数的关系，即有1) 1sincos(AjAMej12212/12)cos211 (,)cos211(AAMAAM11cosc

32、os222MMA11coscoslog20log20222MMA尼柯尔斯图线的应用例1 设系统开环传递函数为)10625.0)(125.0)(18 .0(7 .16)(sssssG带宽频率和带宽带宽频率和带宽设闭环频率特性如图所示（1）带宽频率（2）系统带宽bb0b)0( jrM)0(707.0j0r谐振峰值和谐振频率谐振峰值和谐振频率（1）谐振峰值（2）谐振频率rrM闭环幅频特性曲线在 附近斜率越小，则曲线越陡峭，系统能对带有噪声的信号进行有效的鉴别；随之而来的结果是谐振峰值 较大，系统稳定程度较差。rMb（1）一阶系统TTssb1,11)(2/1)(,1)(,1111)(1)(22bbjj

33、TTtgeTjTj一阶系统的性能 bsbrsrttTtTt/3,/2 . 232 . 2（2）欠阻尼二阶系统%)5(5 . 3,12nsnrtt2222)(nnnsss 与 的关系bn24)1 (,214)1 (1)(222222222222nbnbnbnbbM2/12221)21 ()21(nb频率尺度与时间尺度的反比性质频率尺度与时间尺度的反比性质研究带宽和响应速度的反比关系 P.222 图5-92若)/()(21jj单位阶跃响应)()(21thth系统的频率特性放宽若干倍，单位阶跃响应就加快若干倍。开环系统截止频率与闭环系统带宽的大致关系：rsbcbctt,根据相角裕度 和闭环幅频曲线估算时域指标的两种方法。相角裕度 表明系统的稳定程度，而系统的稳定程度直接影响时域指标 、 。%st由由 确定二阶系统时域指标