模糊数学1-绪论

1、李因武吉林大学吉林大学1、应用模糊数学方法应用模糊数学方法杨印生，杨印生， 吉林人民出版社吉林人民出版社 ，20012、 工程模糊数学及其应用工程模糊数学及其应用李士勇李士勇， 哈尔滨工业大学出版社哈尔滨工业大学出版社 ，20043、 模糊性精确性的另一半模糊性精确性的另一半刘应明刘应明， 清华大学出版社清华大学出版社 ，20004、 计算智能的数学基础计算智能的数学基础褚蕾蕾褚蕾蕾， 科技出版社科技出版社 ，2002网上资源：网上资源：模糊逻辑技术及其应用（山东大学）模糊逻辑技术及其应用（山东大学） 94/mhlj/index.htmll 绪绪 论论l第第

2、一章章 模糊集合的一般概念模糊集合的一般概念l第二章第二章 模糊关系模糊关系l第三章第三章 模糊综合评判模糊综合评判l第四章第四章 模糊性及其度量模糊性及其度量l第五章第五章 模糊逻辑与模糊推理模糊逻辑与模糊推理l模糊数学的应用模糊数学的应用一、模糊数学的产生一、模糊数学的产生 1. 模糊性及其客观性模糊性及其客观性 2. 模糊数学的产生模糊数学的产生二、模糊数学的研究内容二、模糊数学的研究内容 1. 理论研究理论研究 2. 逻辑研究逻辑研究 3. 应用研究应用研究三、模糊数学的发展三、模糊数学的发展1. 模糊性及其客观性模糊性及其客观性概念概念： 内涵：符合此概念的对象所具有的共同属性内涵：

3、符合此概念的对象所具有的共同属性 外延：符合此概念的全体对象外延：符合此概念的全体对象“人人”的内涵：思维、语言、制造、使用工具的内涵：思维、语言、制造、使用工具 “人人”的外延：古今中外的一切人的外延：古今中外的一切人 “法定年龄法定年龄” ，“大于大于9的自然数的自然数”，“一粒一粒种子种子”1. 模糊性及其客观性模糊性及其客观性“一粒种子一粒种子”与与“一堆种子一堆种子” N=1、2等时为真；能否找到等时为真；能否找到K0当当N=K0时为真时为真, 而而N=K0+1不为真；不为真；例如种子数量：例如种子数量： K0=123585数学归纳法数学归纳法：N=1时为真；当时为真；当N=K时为真

4、时为真, 且且 N=K+1为真；为真； 则无论则无论N取何值均为真取何值均为真“一堆种子一堆种子”的外延是不确定的！的外延是不确定的！“一粒一粒”和和“一堆一堆”两个概念的区别是渐变两个概念的区别是渐变的的“秃秃”和和“非秃非秃”客观差异的中间过渡性导致划分的不明确性客观差异的中间过渡性导致划分的不明确性举例：举例：“冷和热冷和热” ， “高和矮高和矮” ， “胖和胖和瘦瘦” “少年和青年少年和青年”1. 模糊性及其客观性模糊性及其客观性模糊性（模糊性（Fuzzy）：）： 客观事物差异的中间过渡中的不分明性客观事物差异的中间过渡中的不分明性模糊概念：模糊概念：没有明确外延的概念没有明确外延的概

5、念模糊数学：模糊数学：用严密的数学方法研究和处理用严密的数学方法研究和处理 具有模糊性现象的数学理论和方法具有模糊性现象的数学理论和方法 尽量如实地反映人们使用模糊概念的本来含意尽量如实地反映人们使用模糊概念的本来含意L.A.Zadeh：美国加利福尼亚大学教授，控制论专家，数学家美国加利福尼亚大学教授，控制论专家，数学家 1965年，年，信息与控制信息与控制杂志杂志 “Fuzzy sets”1. 模糊性及其客观性模糊性及其客观性突破经典数学的基础突破经典数学的基础集合论集合论 ，用数学的观点来刻划模糊事物，用数学的观点来刻划模糊事物2. 模糊数学的产生模糊数学的产生历史原因：历史原因：系统的复

6、杂性系统的复杂性微积分微积分，力学、电磁学，万有引力定律，力学、电磁学，万有引力定律多变量、非线性、时变的大系统：复杂性、精多变量、非线性、时变的大系统：复杂性、精确性形成了尖锐的矛盾确性形成了尖锐的矛盾互克性原理互克性原理（不相容性原理（不相容性原理 ）：）： 当系统的复杂性日益增长时，我们做出系统特性当系统的复杂性日益增长时，我们做出系统特性的精确而有意义的描述能力将相应降低，直到达到达的精确而有意义的描述能力将相应降低，直到达到达样样个阀值，个阀值，旦超过它，精确性和有意义性将变成旦超过它，精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的待性。两个几乎互相排斥的待性。 复杂性与精确性的矛盾复杂性

7、与精确性的矛盾 复杂性升高，精确性降低复杂性升高，精确性降低 考虑最重要的部分，忽略一些所谓的次要因素考虑最重要的部分，忽略一些所谓的次要因素对系统的描述带来模糊性对系统的描述带来模糊性 复杂性升高，模糊性增加，精确性降低复杂性升高，模糊性增加，精确性降低 复杂性升高，模糊性增加，保持或提高精确性复杂性升高，模糊性增加，保持或提高精确性2. 模糊数学的产生模糊数学的产生历史原因：系统的复杂性历史原因：系统的复杂性2. 模糊数学的产生模糊数学的产生直接原因：直接原因：信息技术的智能化信息技术的智能化智能化：智能化： 在信息获取、处理、利用上模仿人的智能、行在信息获取、处理、利用上模仿人的智能、行

8、为能力和生命进化的过程为能力和生命进化的过程“听懂听懂”人类语言，人类语言，“看清看清”文字图像，与人文字图像，与人 “说话交流说话交流”，学习、辨识、理解、联想、推理、，学习、辨识、理解、联想、推理、优化。优化。举例：举例： “把电视调得更清楚一些把电视调得更清楚一些”、“大胡子大胡子”神经网络：人类对其大脑信息处理机制的模拟；神经网络：人类对其大脑信息处理机制的模拟；模糊系统：人类对其思维方式的模拟；模糊系统：人类对其思维方式的模拟；遗传算法：人类向其自身的演化这一过程学习。遗传算法：人类向其自身的演化这一过程学习。2. 模糊数学的产生模糊数学的产生人文、社会学科及软科学的需要：人文、社会

9、学科及软科学的需要： 生物学、心理学、语言学等人文、社会学科生物学、心理学、语言学等人文、社会学科 软科学：软科学： 应用科学技术，是技术科学，也就是运筹应用科学技术，是技术科学，也就是运筹学、控制论、信息论，再加上各种系统工程。学、控制论、信息论，再加上各种系统工程。 是交叉科学，是交叉科学，定性方法定性方法与与定量方法定量方法相结合。相结合。 三个方面：理论研究、逻辑研究、应用研究三个方面：理论研究、逻辑研究、应用研究1. 理论研究理论研究研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系随机数学的关系 集合集合 修改和推广修改和推广 模糊集合模糊集

10、合 运算、变换规律运算、变换规律 模糊群论、模糊概率、模糊图论、模糊环论模糊群论、模糊概率、模糊图论、模糊环论以及模糊拓扑学以及模糊拓扑学 2. 逻辑研究逻辑研究研究模糊语言学和模糊逻辑研究模糊语言学和模糊逻辑将人类的语言和思维过程提炼成数学模型将人类的语言和思维过程提炼成数学模型 （输入指令，建立合适的模糊数学模型（输入指令，建立合适的模糊数学模型 ）二值逻辑二值逻辑 多值逻辑多值逻辑 模糊逻辑模糊逻辑举例：举例：“今天的天气有点凉今天的天气有点凉” 3. 应用研究应用研究模糊方法：模糊方法： 模糊模式识别、模糊综合评判、模糊聚类分模糊模式识别、模糊综合评判、模糊聚类分析析和模糊规划方法、模

11、糊决策方法、模糊评价和模糊规划方法、模糊决策方法、模糊评价方法方法模糊技术：模糊技术：模糊控制特征模糊控制特征 模糊探测仪、模糊家电模糊探测仪、模糊家电1974年，英国年，英国曼达尼（曼达尼（E.H.Mandani）教授率先将模教授率先将模糊逻辑应用到蒸汽发电机的压力和速度控制中，取得糊逻辑应用到蒸汽发电机的压力和速度控制中，取得了比常规的了比常规的PID控制更好的结果。控制更好的结果。有关模糊理论与应用的杂志、特刊有数十种，论文数有关模糊理论与应用的杂志、特刊有数十种，论文数千篇。此外还有数以百计的应用实例。仅在家用电器千篇。此外还有数以百计的应用实例。仅在家用电器方面，就已生产出了方面，就

12、已生产出了模糊热水器、模糊电饭锅、模糊模糊热水器、模糊电饭锅、模糊空调器、模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电冰箱、模空调器、模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电冰箱、模糊微波炉、模糊摄录一体机、模糊彩色电视机、模糊糊微波炉、模糊摄录一体机、模糊彩色电视机、模糊空气净化器、模糊电动剃须刀空气净化器、模糊电动剃须刀等等。等等。2006年年9月月22日，中国期刊全文数据库：日，中国期刊全文数据库：19942006 模糊模糊：65212；模糊数学模糊数学：8743；模糊控制模糊控制：12563； 模糊统计模糊统计：1497；模糊逻辑模糊逻辑：3320；模糊综合评判模糊综合评判：4373；模糊聚类分析模糊聚类分析

13、：2014；模糊模式识别模糊模式识别：11511983年年, ,中国在武汉成立了中国在武汉成立了模糊数学与系统学会模糊数学与系统学会, ,出版发行出版发行模糊系统与数学模糊系统与数学杂志。杂志。19941994年，年，国家经贸委国家经贸委，模糊控制技术在洗衣机上模糊控制技术在洗衣机上的应用，江门金羚集团的应用，江门金羚集团。 金羚集团和华南计算机公司合作，设计开发带有金羚集团和华南计算机公司合作，设计开发带有布量、布质、脏污程度、脏污性质和温度布量、布质、脏污程度、脏污性质和温度等完备等完备传感功能的传感功能的XQB55-30XQB55-30型模糊控制全自动洗衣机。型模糊控制全自动洗衣机。模糊

14、洗衣机的工作过程：模糊洗衣机的工作过程：洗衣机、传感器、电脑洗衣机、传感器、电脑 不同种类的布料不同种类的布料洗涤洗涤时间不同时间不同 冬夏两季水温不同冬夏两季水温不同 脏肮程度脏肮程度洗涤液剂量洗涤液剂量不同不同 根据根据 洗涤液透明度洗涤液透明度 判断判断 衣物脏肮程度、脏肮性质（泥或油类）衣物脏肮程度、脏肮性质（泥或油类） 识别识别 设定设定最佳洗涤时间最佳洗涤时间：洗净衣物、不伤布料：洗净衣物、不伤布料 模糊数学的不足模糊数学的不足：v隶属函数的确立方法隶属函数的确立方法 大多用大多用主观判定主观判定和和统计统计的方法的方法 v没有建立完善的公理体系没有建立完善的公理体系 牛顿，希尔伯

15、特，数学分析，牛顿，希尔伯特，数学分析，200200年年 4040年的历史年的历史1.1 模糊子集的定义及运算模糊子集的定义及运算1.1.1 集合的基本概念集合的基本概念论域论域(universal set) ：讨论所涉及到对象的全体，：讨论所涉及到对象的全体，也称为全集。通常用大写的英文字母也称为全集。通常用大写的英文字母U，V，W，X 、Y、 Z 等等表示论域。表示论域。元素元素(member或或element) ：论域中的每个对象。：论域中的每个对象。 通常用小写的英文字母通常用小写的英文字母u, , v, , w，x，y 等等表示表示元素。元素。集合集合(Set) ：给定论域：给定论域

16、U和某一性质和某一性质P， U中具有中具有性质性质P P 的元素组成的全体。通常，用大写的英文的元素组成的全体。通常，用大写的英文字母字母A, , B, , C 等等表示集合。表示集合。设设A是一个集合，是一个集合，a是集合是集合A中的元素，记以中的元素，记以a A，读作，读作a属于属于A；若；若a不是集合不是集合A中的元素，中的元素，则记以则记以a A，读作，读作a不属于不属于A。例如：例如：A是正偶数集合，则是正偶数集合，则2 A，8 A，36 A；而而 3 A，9 A，17 A。设集合设集合S=A|A是集合，且是集合，且A A1.若若S S，则，则S是集合是集合S的元素，则根据的元素，则

17、根据S的定义，的定义，有有S S，与假设矛盾；，与假设矛盾；2.若若S S，则，则S是不以自身为元素的集合，则根据是不以自身为元素的集合，则根据S的定义，有的定义，有S S，与假设矛盾。，与假设矛盾。包含有限个元素的集合，称为有限集或有穷集包含有限个元素的集合，称为有限集或有穷集( (finite set ) )；包含无限个元素的集合，称为无限集或无穷集包含无限个元素的集合，称为无限集或无穷集( (infinite set ) )。存在一个没有任何元素的集合，称为空集存在一个没有任何元素的集合，称为空集( (empty set ) ) ，记为，记为 。例：例：所有英文字母组成的集合是所有英文字

18、母组成的集合是有限集，整数集有限集，整数集合合是是无限集，不及格集合为无限集，不及格集合为空集空集。列举法；列举法；将集合中的元素一一列举，或列将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征，出足够多的元素以反映集合中元素的特征，例如：例如：A=a,e,i,o,u 或或B=1,4,9,16,25,36。 描述法描述法 ；通过描述集合中元素的共同特征通过描述集合中元素的共同特征来表示集合，例如：来表示集合，例如： A= x|x是元音字母是元音字母 ，B= x|x=n 2 , n 是自然数是自然数当两个集合当两个集合A和和B的元素完全一样，即的元素完全一样，即A，B实际上是同一个

19、集合时，则称集合实际上是同一个集合时，则称集合A，B相等，相等，记以记以A=B。 例：设例：设A=x|x是偶数，且是偶数，且0 x10，B=2,4,6,8，则，则A=B。设设A，B是两个集合，若是两个集合，若A的元素都是的元素都是B的元的元素，则称素，则称A是是B的子集的子集，也称，也称B包含包含A，或，或A包包含含于于B，记以，记以A B，或，或B A 。若若A B，且，且A B，则称，则称A是是B的真子集的真子集( (proper subsetproper subset) )，也称，也称B真包含真包含A，或，或A真包真包含含于于B，记以，记以A B，或，或B A 。 设设A=2,4,6,8

20、 ，B= x|x是正偶数是正偶数， C= =x|x是是整数整数, ,则有则有A B，B C，A C,并且并且A B，B C，A C 。 A的元素自然都是的元素自然都是A的元素，的元素，A是是自身自身的子集。的子集。注意：注意： 论域（全集）论域（全集）中的每个对象称为中的每个对象称为元素元素，我们所讨论的我们所讨论的集合集合都是由都是由论域（全集）论域（全集）中的中的元元素素组成的，集合自然而然是组成的，集合自然而然是全集全集的子集的子集 。设设A 是集合，是集合，A的所有子集为元素构成的集合称的所有子集为元素构成的集合称为为A的幂集，记以的幂集，记以P (A) 。P (A) =S|S A 特

21、别地：特别地：论域论域U的幂集记为的幂集记为P (U) ，论域，论域U的任一的任一子集子集A有两种记法：有两种记法： A U 或或 A P (U) 例：例： A=a,b,c ，则，则 P (A) = = ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c设设A，B是两个集合。所有属于是两个集合。所有属于A或者属于或者属于B的元的元素做成的集合，称为素做成的集合，称为A和和B的并集，的并集，记以记以AB。即即AB=x|x A或或x B例如，令例如，令A=a，b，c，d，B=c，d，e，f，于，于是是AB=a，b，c，d，e，f。 设设A，B是两个集合。由属于是两个集合。由属于A又属于又属于B的元的

22、元素组成的集合，称为素组成的集合，称为A和和B的交集，记以的交集，记以AB。即即AB=x|x A且且x B例如，令例如，令A=a，b，c，d，B=c，d，e，f，于是，于是AB=c，d。 设设A是一个集合，全集是一个集合，全集U与与A的差集称为的差集称为A的余集或补集，记以的余集或补集，记以AC。即。即AC=U-A例如，例如，令令U=a，b，c，d，e，f，A=b，c，于是，于是A=a，d，e，f。 特别，特别，CUCU1.幂等律：幂等律： AA=A，AA=A。2.交换律：交换律： AB=BA，AB=BA。3.结合律：结合律： (AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)。4.分配律：分配律

23、： A(BC)=(AB)(AC)，A(BC)=(AB)(AC)。5.吸收律：吸收律： A(AB)=A，A(AB)=A。6.互补律互补律： 7.摩根律：摩根律：8.同一律：同一律：UA=A， A=A。9.零一律：零一律： A= ，UA=U。10. 双重否定律：双重否定律：()CCCABAB,CCAAAAU()CCCABAB()CCAAAC一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实概念的那些对象的全体叫做这

24、个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念集合可以表现概念，而集，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架。的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架。 对于普通集合而言，给定论域对于普通集合而言，给定论域U及其中的任意一个子及其中的任意一个子集集A, 论域论域U中任一元素中任一元素 ，只有，只有 和和 两种两种情况，非此即彼，满足情况，非此即彼，满足排中律排中律。这种特性可用从。这种特性可用从U 到二到二元集合元集合0,1的映射来描述。的映射来描述。uAuAu 给定论域给定论域U，对于论域，对于论域U上的任意一个子集上的任意一个子集 A（ A P (U) 或或 A U ）,定义一个从论域定义一个从论域U 到二元集合到二元集合0，1的映射的映射 : ACACAC:0,1ACU 称称 为为A的的特征函数特征函数， 为元素为元素 对子集对子集 A的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度