二次函数与平行四边形综合

1、二次函数与平行四边形综合【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、轴的交点分 别为，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点（1）直接写出点的坐标，并求过三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为为线段上一点，直接写出的取值范围.【例2】 如图，点是坐标原点，点是轴上一动点.以为一边作矩形，点在第二象限，且矩形绕点逆时针旋转得矩形过点的直线交轴于点，抛物线过点、且和直线交于点，过点作轴，垂足为点 求的值； 点位置改变时，的面积和矩形 的面积的比值是否改变

2、？说明你的理由【例3】 如图1，中，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点的抛物线的一部分（如图2所示）（1）求的长；（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值 【例4】 如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点设点是平分线上的一个动点（不与点重合）（1）试证明：无论点运动到何处，总与相等；（2）当点运动到与点的距离最小时，试确 定过三点的抛物线的解析式；（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐

3、标【例5】 如图，已知抛物线：的图象与轴相交于两点，是抛物线上的动点(不与重合)，抛物线与关于轴对称，以为对角线的平行四边形的第四个顶点为（1）求的解析式；（2）求证：点一定在上；（3）平行四边形能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由（注：计算结果不取近似值）【例6】 如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于，两点(点在点的左侧)，顶点为，四边形的面积为若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，

4、点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，说明理由【例7】 如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴、直线于，连结交轴于，直线交轴于 求证：点为线段的中点； 求证：四边形为菱形； 除点外，直线与抛物线有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没有，请说明理由【例8】 如图，在平面直角坐标系内，以轴为对称

5、轴的抛物线经过直线与轴的交点和点（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）将（1）中所求抛物线沿轴平移在题目所给的图中画出沿轴平移后经过原点的抛物线大致图象；设沿轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线相交于点判断以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；（3）点是沿轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。求点的坐标，使得以 四点为顶点的四边形是平行四边形yxABBOM【例9】 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3