2019年中考数学综合题专练：最值问题(含答案)

1、2解：(1)由题意,设抛物线的解析式为y=a(x-4)2(a=0).抛物线经过点0(0,2)22八一1a(x-4)_=2,解得=一36122124一y=(x4),即y=xx+26363124当y=0时,一x-x+2=0解得x1=2,x2=663A(2,0),B(6,0)(2)存在由(1)知,抛物线的对称轴l为x=4,由于A、B两点关于l对称,连接CB交l于点P,那么AP=BP,所以,AP+CP=BC的值最小.B(6,0),0(0,2),OB=6,OC=22021 年中考数学综合题专练：最值问题(含答案)0(0,2),于X轴于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边).(1)求抛物线的解析式及

2、A、B 两点的坐标；(2)在(1)中抛物线的对称轴 l 上是否存在一点 P,使 AP+CP 的值最小？假设存在,求 AP+CP 的最小值；假设不存在,请说明理由;(3)在以 AB 为直径的.M中,CE与.M相切于点E,CE交X轴于 D,求直线CE的解析式.2021 中考综合题(六季-最值问题)(共七季)1.如图,抛物线2y=ax+bx+c(a#0)的顶点坐标为4,-2,且与y轴交于点,3)OB二J6222-2.10APCP=BC=2.10AP+CP的最小值为2J10.(3)连接MECE是.M的切线MECE,ZCEM=90ZCOD=/DEM=90由题意,得OC=ME=2,/COD=/DEMCOD

3、MEDOD=DE,DC=DM设OD=x,那么CD=DM=OM-OD=4x在RtCOD中,OD2+OC2=CD2.x22224-x2,x=3,D(3,0)22设直线CE的解析式为y=kx+b(k=0),3直线CE过C(0,2),D(：,0)两点.b=2那么3kb=02,八一,一,一,4-直线CE的解析式为y=4x+2.32.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(aw0)的图象过点 C(0,1),顶点为 Q(2,3),点 D 在 x轴正半轴上,且 OD=OC(1)求直线 CD 的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E,求证：

4、4CEQsCDO4k=-P3b=2(4)在(3)的条件下,假设点 P 是线段 QE 上的动点,点 F 是线段 OD 上的动点,问：在 P点和 F 点移动过程中,4PCF 的周长是否存在最小值？假设存在,求出这个最小值；假设不存在,请说明理由.解：(1)C(0,1),OD=OC.D 点坐标为(1,0).餐直线 CD 的解析式为 y=kx+b(kw0),解得：b=1,k=-1,将 C(0,1),D(1,0)代入得：门二bk+b=0直线 CD 的解析式为：y=-x+1.(2)设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+3,将 C(0,1)代入得：1=ax(-2)2+3,解得 a=-1.2y=-(x-2)

5、2+3=一工 x2+2x+1.22(3)证实：由题意可知,/ECD=45,OC=OD 且 OCLODOCM 等腰直角三角形,/ODC=45,/ECDWODCCE/x 轴,那么点 C、E 关于对称轴(直线 x=2)对称,.点 E 的坐标为(4,1).如答图所示,设对称轴(直线 x=2)与 CE 交于点 F,那么 F(2,1),ME=CM=QM=2,.AQM 臼QMC 匀为等腰直角三角形,./QECWQCE=45.又 OCM 等腰直角三角形,ODChOCD=45,/QEC=QCE=ODC=OCD=45,.CEQCDO(4)存在.如答图所示,作点 C 关于直线 QE 的对称点 C,作点 C 关于 x

6、 轴的对称点 C,连接CC；交 ODT 点 F,交QE 于点 P,那么4PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,PCF 的周长等于线段CC 的长度.(证实如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F,在线段 QE取异于点 P 的任一点 P,连接FC,FP,PC.由轴对称的性质可知,PCF 的周长=FC+FP+PC;而 FC+FP+PC 是点 C,C之间的折线段,由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCCC,即 APCF 的周长大于PCE 的周长.)如答图所示,连接 CE, C,C关于直线 QE 对称,QC 助等腰直角三角形, .QCE为等腰直角三角形, .CEC

7、为等腰直角三角形, 点 C的坐标为(4,5);C,C关于 x 轴对称,点 C 的坐标为(-1,0).过点 C彳CNy 轴于点 N,那么 NC=4,NC=4+1+1=6在 RtANC 中,由勾月定理得：CC=dNC.UC2=,9+62=2后3.抛物线y=ax2+bx+c经过A(4,3)、B(2,0)两点,当x=3 和x=3 时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C(0,2)的直线l与x轴平行,O为坐标原点.(1)求直线AB和这条抛物线的解析式；(2)以A为圆心,AO为半径的圆记为.A判断直线l与.A的位置关系,并说明理由；(3)设直线ABL上的点D的横坐标为一1,P(mn)是抛物线y=ax2

8、+bx+c上的动点,当PDO勺周长最小时,求四边形CODP勺面积.y-4-3-2-1O-1、由于 y=ax2+bx+c 经过 A(-4,3),B(2,0)两点,所以将 A、B 两点坐标带入到抛物线解析式可得16a-4b+c=34a+2b+c=0有当 x=3 和 x=-3 时,抛物线对应点纵坐标相等,有9a+3b+c=9a-3b+c联立以上三式解得 a=1/4b=0c=-1所以抛物线的解析式为 y=1/4x2-1过 AB 的直线可知斜率 k=(3-0)/(-4-2)=-1/2 截距等于 1所以 AB 的解析式为 y=-1/2x+1(2)、圆.的直径为根号下(-4)2+(3)2=5而圆心到直线 l

9、 的距离为 3+2=5.即圆心到直线 l 的距离半径,直线 l 与.A 相切.、由题意,把 x=-1 代入 y=-1/2x+1,得 y=3/2,即 D(-1,3/2).由(2)中点 A 到原点距离跟到直线 y=-2 的距离相等,且当点 A 成为抛物线上一个动点时,仍然具有这样的性质,于是过点 D 作 DHL 直线 l 于 H,交抛物线于点 P,此时易得 DHD点到 l 最短距离,点 P 坐标(-1,-3/4)此时四边形 PDOC梯形,面积为 17/84.如图,抛物线y=ax2+bx+c(aw0)经过点 A(3,0)、B(1,0)、0(-2,1),交 y 轴于点 M.(1)求抛物线的表达式；(2

10、)D 为抛物线在第二象限局部上的一点,作 DE 垂直x轴于点 E,交线段 AM 于点 F,求线段DF 长度的最大值,并求此时点 D 的坐标；(3)抛物线上是否存在一点巳彳 PN 垂直 x 轴于点 N,使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAOf 似？假设存在,求点 P 的坐标；假设不存在,请说明理由.1c2抛物线的表达式为 y=1x2-2x1.332将 x=0 代入抛物线表达式,得 y=1.,点 M 的坐标为0,1设直线 MA 勺表达式为 y=kx+b,那么.解得 k=1,b=1.,直线 MA 勺表达式为 y=-x+1.122,1,X0,-X0一一Xo+1),那么点F的坐标为(Xo,Xo+1

11、)3331221DF=-X0-X01-(-X01)33312-3X0当X0=-时,DF 的最大值为一.241225r35此时一X0-X0+1=,即点D的坐标为一一,一.334243存在点巳使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAG 目似.在 RtMAO,AO=3MO使两个三角形相似,由题意可知,点 P 不可能在第一象限1设点 P 在第二象限时,二点 P 不可能在直线 MN 上,只能 PN=3NM,122_2,一一mm+1=3(m+3),即m+11m+24=0.33解得 m=-3舍去或 m=-8.又3M0,故此时满足条件的点不存在.2当点 P 在第三象限时,二点 P 不可能在直线 MN 上,只

12、能 PN=3NM,122rr2八-mm+1=3(m3),即m+11m+24=0.33解得 m=-3 或 m=8.此时点 P 的坐标为(8,15).当点 P 在第四象限时,9a-3bc=0解一4y1a=一34b=-23c=11kb=13b=1.13kb.设点 D 的坐标为1o2o右 AN=3PN,那么一 3一m-m+1=m+3,即m+m-6=0.33解得 m-3舍去或 m=2.12255当 m=2 时,x0-x0+1=-.此时点 P 的坐标为2,.33331222右 PN=3NA 那么一mm+1=3m+3,即m7m30=0.33解得 m=-3舍去或 m=10,此时点 P 的坐标为10,39.综上

13、所述,满足条件的点 P 的坐标为一 8,15、2,勺、10,39.35.如图,在直角体系中,直线 AB 交 x 轴于点 A5,0,交 y 轴于点 B,AO 是 OM 的直径,其半圆交 AB 于点 C,且 AC=3 取 BO 的中点 D,连接 CDMD 和 OC1求证：CD 是.M 的切线；2二次函数的图象经过点 DMA,其对称轴上有一动点巳连接 PDPM 求PDM的周长最小时点 P 的坐标；3在2的条件下,当PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点 Q,使一1一S|_QAM=SPDM?右存在,求出点 Q 的坐标；右不存在,请说明理由.6一解：(1)连结 CM 关键是/OCAWOCB=9Qg.OCM,AC=3OA=5,所以 OC=4,因此44,y=xb/BAX 的正切值为3,设直线 AB:3.将