监督学习应用与梯度下降

1、监督学习应用与梯度下降分类： machine learning2014-04-12 23:42 17人阅读 评论(0) 收藏 举报本课内容：1、  线性回归2、  梯度下降3、  正规方程组 （复习）监督学习：告诉算法每个样本的正确答案，学习后的算法对新的输入也能输入正确的答案 1、 线性回归例：Alvin汽车，先让人开车，Alvin摄像头观看（训练），而后实现自动驾驶。本质是一个回归问题，汽车尝试预测行驶方向。 例：上一节课的房屋大小与价格数据

2、集 引入通用符号：m = 训练样本数x = 输入变量（特征）y = 输出变量（目标变量）(x,y)  一个样本 第i个训练样本 = 本例中：m：数据个数，x：房屋大小，y：价格 监督学习过程：1)       将训练样本提供给学习算法2)       算法生成一个输出函数（一般用h表示，成为假设）3)     

3、0; 这个函数接收输入，输出结果。（本例中为，接收房屋面积，输出房价）将x映射到y。如下图所示：  对假设进行线性表示：  通常来说，回归问题有多个输入特征。如上例中，我们还已知房屋的卧室数，即有个第二个特征。即表示大小，表示卧室数，则可将假设写成： 为了将公式写整洁，定义，则h可写成：n = 特征数目， ：参数 选择的目的，是使h(x)与y的平方差尽量小。又由于有m个训练样本，需要计算每个样本的平方差，最后为了简化结果乘以1/2，即：我们要做的就是求：min(J()求min(J()方法：梯度下降和正规方

4、程组 2、 梯度下降梯度下降是一种搜索算法，基本思想：先给出参数向量一个初始值，比如0向量；不断改变，使得J()不断缩小。 改变 的方法：梯度下降如图所示，水平坐标轴表示，垂直坐标表示J() 一开始选择0向量作为初始值，假设该三维图为一个三维地表，0向量的点位于一座“山”上。梯度下降的方法是，你环视一周，寻找下降最快的路径，即为梯度的方向，每次下降一小步，再环视四周，继续下降，以此类推。结果到达一个局部最小值，如下图： 当然，若初始点不同，则结果可能为另一个完全不同的局部最小值，如下： 表明梯度下降的结果依赖于参数初始值。&

5、#160;梯度下降算法的数学表示：  为赋值运算符，即表示程序中的的赋值语句。每一次将减去对求偏导的结果，即沿最陡峭的“山坡”下降 将偏导数展开分析： 代入上式： ：学习速度，即决定你下山时每一步迈多大。设的过小，收敛时间长，设的过大，可能会超过最小值 （1）      批梯度下降算法：上述为处理一个训练样本的公式，将其派生成包含m个训练样本的算法，循环下式直至收敛： 复杂度分析：对于每个的每次迭代，即上式所示，时间为O(m)每次迭代（走一步）需要计算n个特征的梯度

6、值，复杂度为O(mn) 一般来说，这种二次函数的的三维图形为一个碗状，有一个唯一的全局最小值。其等高线为一个套一个的椭圆形，运用梯度下降会快速收敛到圆心。 梯度下降性质：接近收敛时，每次的步子会越来越小。其原因是每次减去乘以梯度，但是梯度会越来越小，所以步子会越来越小。 下图为使用梯度下降拟合的上例房屋大小和价格的曲线 检测是否收敛的方法：1)       检测两次迭代的改变量，若不再变化，则判定收敛2)       

7、;更常用的方法：检验，若不再变化，判定收敛 批梯度下降算法的优点是能找到局部最优解，但是若训练样本m很大的话，其每次迭代都要计算所有样本的偏导数的和，时间过慢，于是采用下述另一种梯度下降方法。 （2）      随机梯度下降算法（增量梯度下降算法）： 每次计算不需要再遍历所有数据，而是只需计算样本i即可。即批梯度下降中，走一步为考虑m个样本；随机梯度下降中，走一步只考虑1个样本。每次迭代复杂度为O(n)。当m个样本用完时，继续循环到第1个样本。  上述使用了迭代的方法求最小值，实际上对

8、于这类特定的最小二乘回归问题，或者普通最小二乘问题，存在其他方法给出最小值，接下来这种方法可以给出参数向量的解析表达式，如此一来就不需要迭代求解了。 3、 正规方程组给定一个函数J，J是一个关于参数数组的函数，定义J的梯度关于的导数，它自己也是一个向量。向量大小为n+1维（从0到n），如下：所以，梯度下降算法可写成：更普遍的讲，对于一个函数f，f的功能是将一个m*n的矩阵映射到实数空间上，即：假设输入为m*n大小的矩阵A，定义f关于矩阵A的导数为：导数本身也是个矩阵，包含了f关于A的每个元素的偏导数。 如果A是一个方阵，即n*n的矩阵，则将A的迹定义为A的对角元素

9、之和，即： trA即为tr(A)的简化。 一些关于迹运算符和导数的定理：1)       trAB = trBA2)       trABC = trCAB = trBCA3)       4)       5)       若 ，tra = a6)