河道平面二维水沙数学模型的有限元法子

1、河道平面二维水沙数学模型的有限元法子摘要：采纳 有限元法子建立起一套河道平面二维水流泥 沙数学模型。在前人钻研 的根基 上，采纳 了质量集中的处理法子，提出了收缩 存储的法子， 从而大大减少了盘算 存储量。针对有限元法光阴 步长需取得较短问题，采纳 了“预报-校对-迭代”的算法，提出了“非恒定-恒定-非恒定流”的算法，既能解决工程实际问题，又大大减少了盘算 量。作者以下荆江监利河段为例进行泥沙冲淤盘算 ，盘算 效果 与实测值符合较好，从而证明了模型的可靠性。 要害 词：水流泥沙 有限元 模型验证 三峡工程建成后，水库将拦蓄大宗泥沙，下泄水流含沙量减小，对三峡工程坝下游河道将产生以冲洗 为主的影

2、响，包孕对荆江河段的河势及荆江大堤带来影响。为钻研 坝下游重点河段的河床冲淤散播、河势变更 、近岸流速变更 等问题，一维模型显得无能为力，但可采纳 平面二维模型来解决。有限元法子可采纳 无结构化网格，能很好地模仿 不规矩 的几何形状，因此很适宜于对天然河道的模仿 。然而，正如其它法子一样，有限元法也有它的错误，首要是盘算 存储量和运算量较大。为扬长避短，使有限元法子能运用到对天然河道的模仿 上来，本模型运用质量集中4的法子将系数矩阵转化为三对角矩阵，并提出了紧凑的分块收缩 存储法子，从而大大减少了盘算 存储量，使得盘算 能在一般微机上进行。采纳 质量集中法子的不足之处是光阴 步长需取得较短，且

3、在河道模仿 中尤为突出(因河道对比 窄长，网格需划分很细，而该法的稳固 性要 求光阴 步长与网格标准 成正比)。针对该问题，笔者采纳 了“预报-校对-迭代5”的算法，该法可加大光阴 步长，同时有效避免了数值震动 。针对长系列水沙条件下盘算 量较大问题，作者又提出了“非恒定-恒定-非恒定流”的算法，该算法既能解决工程实际问 题，又大大减少了盘算 量，使有限元法子能够很好地运用于河道水流泥沙问题的实际盘算 。1 根基方程平面二维水流方程(1) (2)(3)悬移质泥沙扩散方程 (4)推移质不平衡输移方程6(5)河床变形方程由悬移质引起的河床变形方程为(6)由推移质引起的河床变形方程为(7)以上各式中

4、U，V分辨为垂线平均流速在x,y方向上的分量；Zs、Zb和H分辨为水位、河底高程和水深；g为重力加速度；vt为水流紊动粘性系数；为水的密度；x、y、舄瓂分辨为底部切应力在x和y方(x、y)=，向上的分量：C为谢才系数，常用曼宁公式盘算 ：C=H1/6/n；S和S*分辨为垂线平均含沙量和挟沙力；N和N*分辨为推移质输沙量和推移质输沙能力折算成全水深的泥沙浓度；s为泥沙紊动扩散系数；为泥沙沉速；为床沙干容重；为悬移质泥沙恢复饱和系数，淤积时取0.25，冲洗 时取1.0；为推移质泥沙恢复饱和系数，取0.25。悬移质泥沙共分成8组，水流挟沙力和分组挟沙力级配采纳 李义天法子7进行盘算 。2有限元方程

5、将全部 盘算 域剖分成一个三角形网格系统。每个三角形为一个单元，其编号为e,e=1,2,3， ，NE,NE为单元总数。单元三个顶点为节点，其局部编号为j=1,2,3(以逆时针为序)。节点的整体编号为i,i=1,2,3,，NP，NP为节点总数。节点的整体编号与局部编号盘算 前必然要规定好。引入插值函数：f=fi(t)i(x,y),为形函数。对方程(1)(5)中的变量用插值函数近似表现 ，并应用 伽辽金法1对方程进行收拾 变形，可得到积分方程(8)(9) （10）(11)(12)由此，经收拾 得到如下有限元方程(13)(14)(15)(16)(17)其中i,j,k=1,2,3,，NP.3数值解法为

6、书写方便，采纳 通用变量P来代替方程(13)(17)中的变量Zs、U、V、S和N，用FP表现 方程中等号右边项，并用对角矩阵 来代替Aij，则方程可化成统一的情势 ： dPi/dt=FPi。对该方程的求解，模型采纳 了“预报-校对-迭代5”的盘算 法子。其法子为：用二阶显式Adams公式作为预测公式，梯形公式(隐式)作校对公式，可结构 Adams二阶PC公式。离散后的方程不需联接，盘算 历程 稳固 性好，光阴 步长可取得较长，同时还有效避免了数 值振荡。具体盘算 历程 如下预报(18)校对(19)迭代给定误差洌杂谒械1iNP，若，则令：，否则令：= ；转到校对，持续 迭代，直到满足精度请求 为

7、止。当求出Hi、Ui、Vi、Si和Ni后，代入河床变形方程便可求得冲淤变形后的河床高程Zn+1bi，这样便完成了一个时段的盘算 。以上角标n表时段，*表预报值，*表校对值，无*标记的表现 该时段的盘算 效果 。在水位求解历程 中还采纳 了Kawahara“选择系数集中4”的经验处理法子，引入了选择性集中系数： =0.81.0， 其作用相当于对盘算 效果 进行“光滑”处理。 由于系数矩阵为NPNP阶矩阵，若直接进行存储会占用大宗的内存，从而导致盘算 无法进行。笔者创造系数矩阵中绝大部分为零元素，为此提出了收缩 存储的法子，即只对系数矩阵中的非零元素进行存储和盘算 ，同时用赞助数组指明相应非零元素

8、所在的地位 。对于长系列水沙条件的盘算 ，提出了“非恒定-定非-定流”的算法，即将全部 非恒定流量历程 概化为梯级恒定流，对每个梯级恒定流采纳 非恒定流方程，以光阴 步长为迭代参数进行迭代，直到得到恒定的流场。3数模盘算 有关问题处理4.1初始条件及边界条件初始条件：可由初始刻实测材料 给出。盘算 所需的初始条件在实际盘算 中一般难以整个 获得，只能通过估算加以补足，当然估算得越接近实际越好。边界条件：进口给定流量、含沙量及其级配，出口给定水位；对于不滑动岸边界，取U=0,V= 0；对于滑动岸边界，取边界法线方向流速分量为0。对于运动 边界，采纳 了动边界模仿 技巧 ：对每个膖时段，采纳 盘算

9、 的水位及水深值判别和区分水域和陆域盘算 节点。对陆域盘算 节点，使其维持 一较小富裕水深(Hmin=0.001m)，并取其糙率为一个接近于无穷大(如1010)的正数。4.2三角形网格划分基于网格生成的根基思想，提出了四边形法。对于单一河道，首先根据河势将河道剖分为若干大的四边形，再分辨将这些大的四边形剖分为若干小的四边形，最后将四边形的较短对角线相连，即形成三角形网格。对于分汊河道，将每条汊道当作单一河道处理后再进行拼接，便可形成全部 盘算 域的网格。根据该法子，我们编制了通用的盘算 程序，只需输入少量的信息，盘算 机便能主动 生成网格，并给出节点坐标和单元关联信息，最后配以屏幕显示及图形主

10、动 绘制。4.3紊动粘性系数根据零方程紊流模型，紊动粘性系数由vtU*H公式断定 。其中U*为摩阻流速；为常数，经调试断定 。对于泥沙扩散系数s ,可近似取=vt。4.3糙率通过实测材料 反求，并根据河道中不同的部位分块调试糙率。4.4床沙级配盘算 法子在泥沙冲淤频繁的河段，由于水流与泥沙的相互作用，使某组泥沙产生 冲洗 时，另一组泥沙可能产生 淤积。因此，床沙级配的盘算 应能反响泥沙冲淤交替历程 。本模型将盘算 河段内河床泥沙概化成三层，即表层(交换层)、次表层(扰动层)和深层。当表层某组泥沙产生 冲洗 时，处在次表层的该组泥沙将受到扰动，根据扰动强度的大小，断定 该层泥沙进入表层参加交换的

11、量。5盘算 实例河段概况：监利河弯段位于下荆江，上起塔市驿，下止于沙夹边，长约20km。该河段平滩河宽约1400m，最宽处约3200m(乌龟洲)，最窄处约1000m，平滩水位下的平均水深约11m。河段内有一高程为30m(黄海)左右的乌龟洲(洲长约7km，宽约2km)将河道分成左右两汊。本河段内有姚圻脑水文站，该站多年平均流量为11.370m3s，多年平均含沙量为1.121kg/m3。河床首要由粉质粘土、砂粘土和细砂组成，河床表层床沙中值粒径一般在0.000.22mm之间。图1 盘算 河段河势及网格安排图Fig.1 The calculated river reach and the grids

12、盘算 区域的选取及网格划分：选取塔市驿至沙夹边长约20km的河段作为盘算 河段。采纳 三角形网格，将全部 盘算 河段划分为100个断面，6732个三角形网格单元，共有3500个节点，见图1。地形条件：以1993年10月实测河道地形为盘算 起始地形，并用1996年10月实测地形进行验证。盘算 时段及水沙条件：选用1993年10月1996年10月水沙材料 ，按流量共划分为120个盘算 时段。进口按姚圻脑水文站流量和分组含沙量给出，出口水位根据沙夹边与姚圻脑水位相干 关系给出。盘算 效果 分析：图2为姚圻脑盘算 水位与实测水位对照 图，由图中可见盘算 水位与实测水位吻合较好。图3为不同流量下流场示意

13、图，由图中可见大水漫滩，小水归槽，水流平顺，流场合理。图4为1996年10月盘算 和实测的河道地形对照 图，由图中可见通过盘算 得到的地形等高线与实测河道地形等高线的地位 和领域根基吻合。图2盘算 与实测水位对照 图Fig.2Comparison between calculated andmeasured water level图3不同流量下流场示意图Fig.3Flow fields for different discharges图4盘算 与实测河道地形对比 图Fig.4Comparison between calculated and measured channel从验证时段的冲淤总量

14、来看，河段内实际淤积总量为2820万m3，盘算 淤积总量为2852万m3，相对误差仅为1.1%。由此可见，本模型能较好反响本河段的河床变形情况。6结论(1)对于有限单元法在河道平面二维水流泥沙盘算 中的利用 作了一些成功的探讨，建立了一套行之有效的解法。有限元法具有能够很好地模仿 繁杂 边界和河道地形等优点，但若不经过处理，就需要大宗的存储单元和很长的运算光阴 。为克服这些错误，作者采纳 了质量集中的法子，并提出了收缩 存储的法子，使得盘算 存储量大为减少。另外，还采纳 了“预报-校对-迭代”的光阴 推动 算法，并提出了“非恒定-恒定-非恒定流”的算法，大大减少了盘算 量。(2)针对有限元前期

15、单元剖分工作量庞大的问题，提出并运用四边形法开发了三角形网格主动 生成系统。该系统不仅能实用 于单一河道，而且能实用 于分汊和支流出汇、入汇等各种繁杂 情况。(3)为检验模型的可靠性，文中以下荆江的监利河段为例进行了验证盘算 。盘算 效果 表明该模型能较好模仿 本河段的水流泥沙运动及河床变形情况。(4)由于天然河道的繁杂 性，目前关于泥沙运动理论还不够成熟，且验证材料 尚不充沛 ，因此数模盘算 精度有待作进一步的进步 。参考文献 1周雪漪.盘算 水力学M.清华大学出版社，1995.9. 2谢鉴衡主编.河流模仿 M.水利电力出版社，1988.6. 3张瑞瑾，谢鉴衡等.河流泥沙动力学M.水利电力出版社，1989.6. 4Kawahara,M.,Hirano,H.,Tsubota,K.,andInayuki,K.SelectiveLumpingFiniteElementMethodforShallowWaterFlow,InternationJournalforNumericalMethodinFluids,1980,vol.2:89-112. 5韦直林.河道水流泥沙问题的一种有限元解法J.武汉水利电