非线性误差校正模型中的阈值协整检验——基于阈值协整向量未知的

1、#140#5数量经济技术经济研究62009年第1期非线性误差校正模型中的阈值协整检验)基于阈值协整向量未知的扩展欧阳志刚(华东交通大学经济管理学院、华中科技大学经济学院)¹=摘要>Kapetanios等(2006)假定阈值协整向量已知,在误差校正模型中使用指数函数刻画非线性调节效应,并使用FNEC统计量检验非线性阈值协整。本文基于Kapetanios等(2006)的模型设定,将阈值协整向量由已知扩展为未知,并借鉴Hansen和Seo(2002)的方法估计阈值协整向量和构造F*NEC统计量检验非线性阈值协整。仿真试验表明:本文方法估计的阈值协整向量具有近似无偏、对称的分布和相对较

2、高的精度,并且其随样本容量的变化特征符合一致性。进一步,在有限样本下,FNEC与FNEC的水平扭曲没有显著差异,但FNEC的检验势高于FNEC。关键词 阈值协整 非线性平滑转移 误差校正模型 有限样本性质中图分类号 F22410 文献标识码 A*TestingforThresholdCointegrationinNonlinearSmoothTransitionErrorCorrectionModelsAbstract:Undertheconditionthatthresholdcointegrationvectorisknown,Kapetanios,etal1(2006)describes

3、adjustmenteffectwithexponentialfunctioninErrorCorrectionModels,anddevelopsFNECstatistictotestthresholdcointegra-tion1BasedonKapetanios,etal1ps(2006)model,thispaperassumesthatthresh-oldcointegrationvectorisunknownandusesHansen,Saops(2002)methodtoes-timatethresholdcointegrationvector,andthenproposesF*

4、NECstatistictotestthresholdcointegration1TheMonteCarlosimulationresultsshowthat:theestima-torsofthresholdcointegrationvectorinthispaperhaveapproximatesymmetric,unbiaseddistribution,moreaccurateanditsvarietyaccordwithconsistency.Fur-thermore,FNECandFNEChavealmostsamesizedistortion,butthetestpowerofF*

5、NECisgreaterthanthatofFNEC1Keywords:ThresholdCointegration;NonlinearSmoothTransition;ErrorCorrectionModel;FiniteSamplePerformance¹*,非线性误差校正模型中的阈值协整检验#141#引 言20世纪80年代后,Engle和Granger(1987)提出的线性协整理论得到快速发展,并成为宏观经济时间序列数据研究的主要方法。但线性协整理论隐含三个严格的假定:第一,长期均衡是线性的;第二,向长期均衡的调节是对称的;第三,向长期均衡的调节速度是不变的。Escribano

6、(2004)、Choi和Saikkonen(2004)等认为上述假定过于严格,且与许多实际经济现象不符。因此,扩展线性协整理论,在线性协整框架内引入非线性,将非平稳和非线性结合起来,就成为协整理论后续发展的主流方向。阈值协整就是在线性协整的框架内,使用TR(STR)模型将线性动态调节改进为阈值非线性动态调节,从而体现对线性协整的第二或第三个假定的扩展¹。Balke和Fomby(1997)对此作出了开拓性贡献,他们使用三机制TAR模型分析了非线性调节经济现象。他们的模型表明,在给定的区间内(中间区域)协整关系不成立,一旦系统远离/均衡0(进入两边区域)则协整关系成立,因此,在两边区域调

7、节效应显著,而在中间区域不存在调节效应。后续文献遵从Balke和Fomby(1997)的基本思路,对阈值协整进行拓展。En-ders和Granger(1998)在两机制TAR模型中,使用F统计量检验残差对长期均衡的非对称调节效应。Caner和Hansen(2001)将阈值由已知扩展为未知,在两机制TAR模型中,使用SuperWald统计量检验残差的阈值调节效应。同样在阈值未知条件下,Sollis和Wohar(2006)以三机制的TAR模型描述残差调节的机制转换,并使用SuperWald统计量检验残差的非对称调节效应。此外,还有一些学者将残差的非线性调节效应扩展至误差校正模型(ECM)中,例如,

8、Kapetanios等(2006)在协整向量已知条件下,将ECM中的非线性调节函数设定为指数函数,使用t和F型统计量在ECM中检验协整。Kristensen和Rahbek(2007)假定协整向量已知,并以逻辑函数刻画ECM中的调节效应,使用似然比统计量在ECM中检验阈值协整。不难发现,上述基于残差或基于ECM的阈值协整检验都首先使用线性方法估计协整向量(或直接假定协整向量已知)º,由此得到协整残差,然后再检验残差调节的阈值效应。也就是说,无论是使用线性方法估计阈值协整向量还是直接假定阈值协整向量已知,在检验残差调节的阈值效应前都是假定阈值协整向量已知。由此提出的问题是,当残差向长期均

9、衡的调节具有阈值效应时,使用线性方法估计的协整向量是否就是阈值协整向量?如果不是,该如何估计阈值协整向量?上述方法都没有能够对此做出有效说明,另外,直接假定阈值协整向量已知仅在少数情况下适用,而在大多数经济条件下,要求阈值协整向量已知是不现实的。因此,如何估计阈值协整向量,或者说如何将阈值协整向量由已知扩展为未知,具有非常重要的理论和现实意义,也是阈值协整后续发展的关键。Hansen和Seo(2002)首先提出这一问题并对此进行分析,他们在阈值协整向量未知条件下,使用两机制的向量误差校正模型刻画残差调节的阈值效应,然后使用格点搜索和极大似然法估计向量误差校正模型,由此得到阈值协整向量的估计,并

10、进而使用SuperLM统计量实现阈值协整检验。因此,Han-sen和Seo(2002)的显著贡献在于将阈值协整向量由已知扩展为未知,但他们是以两机制向量误差校正模型描述调节效应,因此,残差对长期均衡的调节效应是急剧变化的,这与许¹º从现有文献看,阈值协整还没有统一规范的定义,本文的阈值协整是基于Balke和Fomby(1997)的定义。或(#142#5数量经济技术经济研究62009年第1期多现实经济问题不符。因此,将Hansen和Seo(2002)的两机制ECM设定改进为平滑机制转移的ECM,更符合多数实际经济背景。本文的方法将借鉴Kapetanios等(2006)的模型设

11、定及其相应的阈值协整检验程序,但与之不同的是,本文在阈值协整检验前,将阈值协整向量扩展为未知。为得到阈值协整向量的估计,我们借鉴Hansen和Seo(2002)的方法估计阈值协整向量。因此,与Kapeta-nios等(2006)相比,本文将阈值协整向量由已知扩展为未知;与Hansen和Seo(2002)相比,本文使用平滑机制转移的指数刻画ECM中的调节效应,这样,本文刻画的调节效应是连续的。因此,本文的方法体现了对现有文献的扩展,并且,本文设定的模型及相应的估计和检验方法更符合多数现实经济背景,从而体现了实用性。一、阈值协整的估计与检验方法11阈值协整向量已知的协整检验方法以Xt表示K维I(1

12、)时间序列,Yt表示与Xt有协整关系的I(1)标量,以B表示协整向量。根据Engel和Granger(1987)表述定理,线性误差校正模型(ECM)可表述为:$Yt=L+<wt-1+pi=1Ei$zt-i+EtP(1)其中,zt=(Yt,Xct)c,wt-1=(Yt-1-BcXt-1)为误差校正项,<为调节参数。显然,由模型(1)所表述的调节效应是对称的、线性的。因此,模型(1)无法分析实际经济中的非线性调节。Kapetanios等(2006)对此进行了扩展,他们将模型(1)中的调节效应扩展为由指数函数刻画的非线性平滑机制转移形式,即模型(2):$Yt=L+<wt-1+Uwt

13、-1(1-exp(-C(wt-1-c)+2pi=1EPi$zt-i+Et(2)模型(2)的指数函数中,协整残差wt-1为阈值变量,参数C为决定机制转移速度的光滑参数,c为阈值,同时,为识别的目的,假定<0,C0。这样,调节效应由<+U(1-exp(-C(wt-1-c)描述,并随着阈值变量wt-1的变化而连续地非线性变化,从而可方便地分析实际经济中的非线性调节问题,由此体现对标准线性误差校正模型的扩展。进一步,当wt-1=c时,指数函数取值为0,调节效应由<刻画,模型(2)退化为模型(1),因此,线性误差校正模型做为一种特例包含于Kapetanios等(2006)的非线性误差校

14、正模型,本文称这种情况为第一机制;当wt-1y?时,指数函数取值为1,调节效应由<+U刻画,本文称为第二机制,因此Hansen和Seo(2002)的两机制误差校正模型可以看成Kapeta-nios等(2006)平滑机制转移模型的特例。进一步,当wt-1取其他值时,指数函数取值在(0,1)区间内连续变化,对应调节效应则在第一机制和第二机制之间连续变化,因此,模型(2)刻画的调节效应是连续变化的,这一点与Hansen和Seo(2002)两机制误差校正模型显著不同。在两机制误差校正模型中,调节效应仅由两机制刻画,因而不可能在两机制之间连续变化,因而调节效应是急剧变化的,而非连续变化。因此,在对

15、调节效应的刻画方面,模型(2)显著优于两机制误差校正模型。进一步,由于指数函数(1-exp(-C(wt-1-c)2)的取值以0为中点而在0,1区间呈对称分布,并且阈值参数与阈值的偏差越大,指数函数值也越大,因此,模型(2)揭示的经济含义是:协整残差wt-1越大,即偏离长期均衡越远,2非线性误差校正模型中的阈值协整检验#143#调节速度就越慢。Kapetanios等(2006)详细讨论了针对模型(2)检验Yt与Xt的协整关系的方法,并设定原假设H0:<=0,C=0,即残差对长期均衡没有调节效应,Yt与Xt无协整关系;备择假设H1:<<0,C>0,即残差对长期均衡的调节具有

16、阈值效应,Yt与Xt为阈值协整。进一步,一般情形下,除非阈值协整向量已知,否则残差wt-1不可观察,并且在原假设下,参数U、c不可识别。为实现对模型(2)的阈值协整检验,Kapetanios等(2006)首先使用OLS估计Yt=BcXt+wt,从而得到残差wt;然后借鉴Luukkonen(1988)的方法,对模型(2)中的指数函数在原点进行泰勒展开,并用一阶泰勒展式近似代替指数函数,重新参数化后,模型(2)就转化为模型(3):$Yt=D1wt-1+D2w2t-1+D3w3t-1+i=1EpPi$zt-i+Et(3)这样,检验阈值协整的原假设就随之转化为H0:D1=D2=D3=0。Kapetan

17、ios等(2006)使用F型统计量实现这一检验:FNEC=01RSS0/(T-4-p)(4)其中,RSS0是指在原假设下(有约束),对模型(3)估计的残差平方和,RSS1是模型(3)无约束回归的残差平方和。参照Escribano(2004)的推导,Kapetanios等(2006)得到如下极限分布:FNEC3QBdrQBdW QB2dW QB3QBdrQBdr432345456QBdrQBdrQBdrQBdrQBdrQB1QBdWQB2dWQB3d1(5)这里,B、W为B(r)、W(r)的缩写。B(r)=W(r)-W(r)c(Q0W(r)W(r)cdr)-1(Q0W(r)W(r)dr),W(r

18、)和W(r)分别为独立的标量和k维标准布朗运动,并且rI0,1。在备择假设下,FNEC统计值向正无穷处发散,因此,FNEC统计量的拒绝域为右尾。21阈值协整向量未知的阈值协整估计与检验方法从上述分析不难发现,Kapetanios等(2006)没有能够提出阈值协整向量的有效估计方法,而是在进行阈值协整检验前使用线性方法估计协整向量,以此做为阈值协整向量的估计,因此,Kapetanios等(2006)混同了线性协整向量和阈值协整向量,并在检验阈值协整前假定阈值协整向量已知。本文将阈值协整向量扩展为未知,并使用Hansen和Seo(2002)的方法估计阈值协整向量,进而基于此结果实现阈值协整检验。当

19、阈值协整向量未知时,模型(2)就扩展为模型(6):$Yt=L+<wt-1(B)+Uwt-1(B)(1-exp(-C(wt-1(B)-c)+2i=1pEPi$zt-i+Et(6)显然,模型(6)中的协整残差wt-1依赖阈值协整向量的变化而不同,因此针对模型(6)检验阈值协整必须首先得到阈值协整向量的估计。为得到阈值协整向量B的估计,类似于(#144#5数量经济技术经济研究62009年第1期行估计,从而获得阈值协整向量的估计值。具体的做法是:首先使用Johansen(1995)的方法估计Yt=BcXt+wt,得到线性协整向量的估计值󰀁B,并建立󰀁B估计值的置信

20、区间,然后以󰀁B估计值的置信区间作为阈值协整向量的可能区间B,并取w󰀂t-1=wt-1(B),其中BIB。以cl,cu表示阈值参数c的可能取值区间C,其中,cl、cu的取值是将w󰀂t-1按从小到大¹排列起来后,使得p(w󰀂t-1cl)=15%,p(w󰀂t-1cu)=85%,由此建立栅搜索空间B,C。在搜索空间的每一栅格上分别对(6)进行NLS,能够最小化残差平方和的B、c就作为待估计的阈值协整向量B和阈值参数c的估计值。这里需要说明的是,如同Hansen和Seo(2002)一样,本文也无法提供一个严格的数

21、学证明来说明这种搜索方法得到的B、c具有一致性,同样,也不能够提供B、c估计量的分布。在线性模型下,B以比率T收敛于B,在平稳情况下,c以比率T收敛于c。因此,本文估计的B、c也应当分别以比率T收敛于B、c。本文将设计一个仿真试验来说明B、c的分布及其统计性质。一旦得到阈值协整向量B的估计结果,即可得到阈值协整残差wt的观察值,因此,依照前述Kapetanios等(2006)的阈值协整向量已知条件下的协整检验方法,可针对模型(6)设定阈值协整检验。具体做法是,对模型(6)的指数函数在原点进行一阶泰勒展开,并使用一阶泰勒展开式近似代替转移函数,重新参数化后,得到:$Yt=D1wt-1(B)+D2

22、w2t-1p(B)+D3w3t-1(B)+i=11=D2=D3=0下,检验阈值协整的统计量就是:在无协整的虚拟假设H0:DEPi$zt-i+Et(7)FNEC=*01RSS0(B)/(T-4-p)(8)其中,RSS0(B)是指在原假设下(有约束),对模型(7)估计的残差平方和,RSS1(B)是模型(7)无约束回归的残差平方和,并且统计量FNEC的极限分布与统计量FNEC的极限分布相同。二、估计参数的分布如前所述,本文借鉴Hansen和Seo(2002)提出的估计方法,以线性协整向量的置信区间做为阈值协整向量的可能区间,然后使用栅格搜索的方法和NLS估计阈值协整向量及其余参数。这种方法估计结果的

23、分布如何,本文没有从数学上给出严格的证明,为此,本文使用Monte-Carlo仿真考察上述方法估计的阈值协整向量和阈值参数的有限样本分布。仿真试验的数据生成如下:$yt=-011wt-1(B)-018wt-1(B)1-exp(-C(wt-1(B)-c)2)+110$xt+Et$xt=vt,wt=yt-Bxt¹*(9)(10)这种参数搜索区间的选择并非唯一,在实际应用中可根据实际情况做相应的调整,搜索区间也可选择全部的阈非线性误差校正模型中的阈值协整检验#145#vttiidN0,10*(11)其中,设定阈值协整向量B=110,阈值参数c=0101,C=-110。进一步,以B表示用本文

24、的方法估计阈值协整向量以及由此得到的对应参数估计C、c,以B表示用Kapetanios等(2006)的方法估计阈值协整向量以及由此得到的对应参数估计C、c。不同样本长度(T=100,200)下5000次的仿真结果见表1¹。表1T均值阈值协整向量B及阈值参数估计量的分布百分位(%)方差5-0105125-01025500100175010239501053*B-B0100001003C-C100C*-Cc*-cB*-BC-C200C*-C表1中各百分位数据是将仿真试验得到的对应参数估计值与总体值之差按从小到大顺序排列后,对应百分位点的数据。例如,样本容量为100时,将仿真试验得到的50

25、00个B-B¹,#146#5数量经济技术经济研究62009年第1期值按从小到大排列,第250个值就是-01051,其他数据依此类推。进一步,表1中各参数估计值与其总体值之差的均值反映了估计结果的有限样本偏差,均值越大,表明有限样本下估计结果的偏差越大。对应的方差则反映了估计的参数对总体参数的离散程度,方差越大,估计的精确度越低。进一步,若随着样本容量的逐步增加,参数估计值与其总体值之差的均值和方差逐步减小,直至接近于零,则说明本文估计的参数随样本容量而变化的特征符合一致性。从估计结果看,两种不同方法估计的B具有近似无偏、对称的分布,并且偏差都较小,*但使用本文方法估计得到的B比Kap

26、etanios等(2006)方法得到B的精度略高。例如,当样本为100时,B-B的方差为01003,B*-B的方差为01008,因此,本文的方法对B的估计精度相对更高。两种不同方法对参数C、c的估计都有非对称、相对左偏的分布特征,但本文方法对参数C、c的估计精度略高。进一步,随着样本容量增加,不同方法估计的参数B、C、c与总体值偏差的均值都有逐步减小的趋势,并且方差也逐步下降,因此,两种方法估计的参数随样本容量而变化的特征符合一致性。例如,样本容量为100时,C-C的均值和方差分别为-01012、01034,随着样本容量增加到200,C-C的均值和方差分别下降到-01007、01027。三、阈

27、值协整检验统计量的有限样本性质在实际应用中,多数情况是有限样本,尤其是小样本,因此,我们需要分析F*NEC统计量的有限样本性质,以进一步验证本文所提出的统计量在实际应用中的检验效果。本文使用一个Monte-Carlo试验分析FNEC统计量的有限样本性质,即名义显著性水平对应临界值下的实际显著性水平(size)和检验势(power)¹类似于Arranz和Escribano(2000)所使用的单方程的ECM,本文的数据生成过程如下:$yt=bwt-1(B)+Cwt-1(B)1-exp(-H(wt-1(B)-c)+a$xt+Et$xt=vt,wt=yt-BxtvtEtiidN0,2R12*

28、(12)(13)(14)0R2202这里,我们固定B=110,R1=110,c=0101。在原假设H0下,设定b=0,H=0,备择假设H1下设定b=-011。进一步,为考察参数的变化对有限样本性质的影响,仿真试验中备择假设下对其余参数设定不同的值,分别是C=-018,-015,H=110,510,a=2018,110,112,R2=110,410。进一步,为了比较,本文同时报告了FNEC统计量的有限样本性质。不同样本容量(T=100,150),5%的名义显著性水平下,FNEC、FNEA统计量的有限样本性质分别见表2和表3º。¹*size是指在原假设成立和名义显著性水平对应的

29、临界值下,所考察统计量(这里指F*NEC)拒绝原假设的概率(即实际显著性水平,下同)。因此,size是用来检验所考察统计量有限样本下的临界值和极限分布临界值的差异;power是指在原假设不成立和名义显著性水平对应的临界值下,所考察统计量拒绝原假设的概率,因此,power是用来检验所考察的统计量在有限样本下区别原假设和备选假设的能力。因此,一个好的统计量的size应该和名义显著性水平大致相等,而power应越大越好。º,*(。非线性误差校正模型中的阈值协整检验表2Ta018018100150检验统计量的有限样本性质(size)#147#表2给出了重复10000次,名义显著性水平A=01

30、05,T=100和150时,检验统计量的size。从结果看,两个统计量有限样本下的水平扭曲(sizedistortion,即实际和名义的显著性水平不一致)程度较小,并且,都有向下的扭曲倾向。例如,不同参数下FNEC、F*NEC的实际显著性水平都小于名义显著性水平5%,并且,扭曲程度最大的是当T=100,A=112,R2=410时,FNEC实际显著性水平为01026,FNEC的实际显著性水平为01032,分别比对应的名义显著性水平小214%和118%,即显著性水平分别向下扭曲了214%和118%。在其余参数设定下,两个统计量的实际显著性水平及扭曲水平相差很小,因此,不同参数下FNEC、F*NEC

31、统计量的水平扭曲程度都不高,并且两者没有实质差异。表3检验统计量的有限样本性质(power)T=1002*#148#5数量经济技术经济研究62009年第1期(续)非线性误差校正模型中的阈值协整检验#149#表3给出了重复10000次,名义显著性水平A=0105,T=100和150时,FNEC、F*NEC的检验势。总体来看,在不同参数值下,FNEC、F*NEC统计量有限样本的检验势都较好,并且,随着样本长度的增加,FNEC、FNEC的检验势也随之增加。例如,当C=-018,H=510,a=110,R2=1、T=100时,FNEC、FNEC统计量在5%的名义显著性水平下,拒绝原假设的概率分别为01

32、811、01934,即检验的势分别为01811、01934;在其余参数不变,样本长度增加*到T=150时,FNEC、FNEC的检验势随之增加到01983、11000。另外,当C较大时(C越大表示数据生成过程中的非线性调节特征越显著),FNEC、FNEC的势越大。例如,C=-018,2=1H=110,a=110,R10,T=100时,FNEC、FNEA统计量在5%的名义显著性水平下,拒绝原假设的概率分别01547、01596,在其他参数不变而将C降为-015时,在相同名义显著2*2*水平下,上述统计量拒绝原假设的概率略有下降,分别为01462、01481。这一结果也表明,数据生成中的非线性成分越

33、显著,FNEC、F*NEC统计量鉴别备择假设的能力越强。进一步,通过比较可以发现,本文提出的检验统计量F*NEC的检验势略高于FNEC统计量的检验势。例如,2当C=-015,H=510,a=110,R2=4,T=100时,FNEC的检验势为01754,F*NEC的检验势为01858。四、结 论在非平稳的分析框架内引入非线性,研究实际经济的非线性问题已成为现代宏观计量经济学的前沿热点领域之一,阈值协整正是在标准协整框架内使用TR(STR)模型刻画非线性调节效应,研究非线性动态调节问题,从而体现对标准协整的扩展,并成为协整理论后续发展的主要方向。Kapetanios等(2006)假定阈值协整向量已

34、知,在误差校正模型中使用指数函数刻画动态调节效应,但Kapetanios等(2006)没有能够有效区分阈值协整向量和线性协整向量,也没有能够提出阈值协整向量的估计方法。本文借鉴Hansen和Seo(2002)的方法将Kapetanios等(2006)的阈值协整向量已知的假定扩展为未知,在此基础上,使用FNEC统计量实现阈值协整检验。进一步,本文设计仿真试验分析了使用本文方法估计的阈值协整向量的分布及其统计性质,以及阈值协整检验统计量F*NEC的有限样本性质。结果表明,本文方法估计的阈值协整向量具有近似无偏、对称的分布,估计的精度比Kapetanios等(2006)的方法估计的精度要高,并且其随

35、样本容量而变化的特征的符合一致性。进一步,本文的检验统计量F*NEC在有限样本下的水平扭曲与FNEC基本相同,但检验势比FNEC高。参考文献*1Andrews,D1W1K1,1993,TestsforParameterInstabilityandStructuralChangewithUnknownChangePoint,Econometrica,61,82185612Arranz,M1A1andEscribano,A1,2000,CointgerationtestinginthepresenceofstructuralbreaksJ,OxfordBulletinofEconomicsandS

36、tatistics,62,235213Balke,N1andFomby,T1,1997,ThresholdCointegrationJ,InternationalEconomicReview,38,62764514Caner,M1andHansen,B1E1,2001,ThresholdAutoregressionwithaUnitRootJ,JournalofEconometrica,69,1555159615Choi,I1andSaikkonen,P1,2004,TestingLinearityinCointegratingSmoothTransitionRegres-#150#5数量经济

37、技术经济研究62009年第1期6Enders,W1andGranger,C1,1998,Unit-rootTestsandAsymmetricAdjustmentwithanExam-pleUsingtheTermStructureofInterestratesJ,JournalofBusinessandEconomicStatistics,16,30431117Engle,R1F1andGranger,C1W1J1,1987,Co-integrationanderror-correction:Representation,estimationandtestingJ,Econometrica,55,25127618Escribano,A1,2004,NonlinearErrorCorrectiontheCaseofMoneyDemandintheUnitedKing-dom(18782000)J,MacroeconomicDyna