第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

1、第五专题 矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知Ap×q, Bq×p, 则|Ip+AB|=|Iq+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。行列式是特征值的乘积，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一

2、些性质和不等式。定义：，etrA=exp(trA)性质：1. ，线性性质；2. ；3. ；4. ；5. 为向量；6. ;从Schur定理（或Jordan标准形）和（4）证明；7. ,则,且等号成立的充要条件是A=0；8. ,则，且等号成立的充要条件是A=B（）；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0,则tr(A)=0（从Schur定理或Jordan标准形证明）。若干基本不等式对于两个m×n复矩阵A和B，tr(AHB)是m×n维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz不等式x,y2x,xy,y 得定理：对任

3、意两个m×n复矩阵A和B |tr(AHB)|2tr(AHA)tr(BHB) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时0|tr(AB)|定理：设A和B为两个n阶Hermite阵,且A0，B0，则 0tr(AB)1(B)tr(A) tr(A)tr(B) 1(B)表示B的最大特征值。证明：tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) 0，又因为A1/21(B)I-BA1/20，所以1(B)tr(A)A1/2BA1/2，得tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)tr(1(B) A)=1(B) tr(A)tr(A)tr(B)推论：设A为Hermi

4、te矩阵，且A>0，则tr(A)tr(A-1)n另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考矩阵论中不等式。三、矩阵的秩矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。定义：矩阵A的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(A)性质：1. ；2. ；3. ；4. ，其中X列满秩，Y行满秩（消去法则）。定理（Sylvester）：设A和B分别为m×n和n×l矩阵，则 Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的矩阵论中不

5、等式，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。四、相对特征根定义：设A和B均为P阶实对称阵，B>0，方程|A-B|=0的根称为A相对于B的特征根。性质：|A-B|=0等价于|B-1/2AB-1/2-I|=0(因为B>0，所以B1/2>0)注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。定义：使(A-iB)li=0的非零向量li称为对应于i的A相对于B的特征向量。性质： 设l是相对于的A B-1的特征向量，则A B-1l=l 或 A (B-1l)=B( B-1l)B-1l 为对应

6、的A相对于B的特征向量（转化为求A B-1的特征向量问题）。 设l是相对于的B-1/2AB-1/2的特征向量，则B-1/2AB-1/2l=l 可得A (B-1/2l)=B(B-1/2l)则B-1/2l 为对应的A相对于B的特征向量（转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。五、向量范数与矩阵范数向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。1. 向量范数定义：设V为数域F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数，并满足以下三个条件： （1）非负性 ，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 （3）三角不等式。则称为V中向量x的范数，简称为向量范数。

7、定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。例1. ，它可表示成， 就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。证明：（i）非负性 ，当且仅当时，即x0时，0 （ii）齐次性 （iii）三角不等式 ， 根据Hölder不等式：， 2. 常用的向量范数（设向量为） 1-范数：； -范数：；P-范数： （p>1, p=1, 2,）;2-范数：;椭圆范数(2-范数的推广):，A为Hermite正定阵.加权范数：， 当，证明：显然满足非负性和齐次性 （iii），应用Hölder不等式 即 3. 向量范数的等价性定理 设、为的两种向量范数，则必定存在正数m、M，使得 ，（m、M与x无关

8、），称此为向量范数的等价性。同时有注：（1）对某一向量X而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。（2）不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。4、矩阵范数向量范数的概念推广到矩阵情况。因为一个m×n阶矩阵可以看成一个mn维向量，所以中任何一种向量范数都可以认为是m×n阶矩阵的矩阵范数。1. 矩阵范数定义：设表示数域C上全体阶矩阵的集合。若对于中任一矩阵A，均对应一个实值函数，并满足以下四个条件： （1）非负性： ，等号当且仅当A=0时成立； （2）齐次性： （3）三角不等式：,则称为广义矩阵范数； （4）相

9、容性：,则称为矩阵范数。5. 常用的矩阵范数（1）Frobenius范数（F-范数）F-范数： = =矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。定义：如果矩阵范数和向量范数满足则称这两种范数是相容的。给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。（2）诱导范数设ACm×n，xCn, 为x的某种向量范数，记 则是矩阵A的且与相容的矩阵范数，也称之为A的诱导范数或算子范数。（3）p-范数：，,x为所有可能的向量， ，可以证明下列矩阵范数都是诱导范数：（1） 列（和）范数；（2） 谱范数；的最大特征值称为的谱半径。当A是Hermite矩阵时，是A的谱

10、半径。注：谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。（3） 行（和）范数（ ，）定理 矩阵A的任意一种范数是A的元素的连续函数；矩阵A的任意两种范数是等价的。定理 设ACn×n，xCn, 则和是相容的即 证明：由于成立。定理 设ACn×n，则是酉不变的，即对于任意酉矩阵U,VCn×n，有证明： 定义 设ACn×n，A的所有不同特征值组成的集合称为A的谱；特征值的模的最大值称为A的谱半径，记为(A)。定理 (A)不大于A的任何一种诱导范数，即(A) 证明：设是A的任意特征值，x是相应的特征向量，即 Ax=x则|·|x|= |Ax|A|·|x

11、|, |x|0即 |A|试证：设A是n阶方阵，|A|是诱导范数，当|A|<1时，I-A可逆，且有|(I-A)-1|(1-|A|)-1证明：若I-A不可逆，则齐次线性方程组(I-A)x=0有非零解x，即x=Ax，因而有|x|=|Ax|A|x|<|x|但这是不可能的，故I-A可逆。于是 (I-A)-1= (I-A)+A (I-A)-1=I+A (I-A)-1因此|(I-A)-1|I|+|A(I-A)-1|=1+|A(I-A)-1|1+|A| (I-A)-1|即证 |(I-A)-1|(1-|A|)-1补充证明|I|=1：由相容性可知：|A|A-1|A A-1|=|I|对于诱导范数( )。

12、六、条件数条件数对研究方程的性态起着重要的作用。 定义：设矩阵A是可逆方阵，称|A|A-1|为矩阵A的条件数，记为cond(A)，即cond(A)= |A|A-1|性质：（1）cond(A) 1,并且A的条件数与所取的诱导范数的类型有关。因cond(A)= |A|A-1|A A-1|=|I|=1（2）cond(kA)= cond(A)=cond(A-1)，这里k为任意非零常数。当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如：cond1(A)= |A|1|A-1|1cond(A)= |A|A-1|cond2(A)= |A|2|A-1|2=，其中分别为AHA的特征值的模的最大值和最小值。谱条件数特别地

13、，如果A为可逆的Hermite矩阵，则有cond2(A)= 这里分别为A的特征值的模的最大值和最小值。如果A为酉阵，则cond2(A)= 1例 求矩阵A的条件数cond1(A)，cond(A) 解：|A|1=max6;14;4=14;|A|=max8;3;13=14;故|A-1|1=17/4;|A-1|=47/4;cond1(A)= |A|1|A-1|1=14×17/4=259/2;cond(A)= |A|A-1|=611/4。例 设线性方程组Ax=b的系数矩阵A可逆。讨论当b有误差b时，解的相对误差x的大小。解：因矩阵A可逆，所以Ax=b有唯一解x=A-1b，设解的误差为x，由A(x+x)=b+b得 Ax=b或x=A-1b得 （1）又Ax=b，可得，或 （2）所以由（1）和（2），得 这说明相误差的大小与条件数cond(A)密切相关；当右端b的相对误差一定时，cond(A)越大，解的相对误差就可能越大；cond(A)越小，解的相对误差就可能越小。因而条件数cond(A)可以反映A的特性。一般来说：条件数反映了误差放大的程度，