定积分习题与答案

1、第五章定积分学习帮手（A层次）TE1. 2 sin xcos xdx；-0'2. x2Ja2 -x2dx； - 0'3.dxx2-1-x24.5 -4x54 dxi a+i6.1 dx3 Vix -1'7.dxx d In x '8.0 dx ?x2 2x 29.冗 1 <1 十 cos2xdx;10二 4x sin xdx冗JI4.11.12r74cos xdxJ JL一212.32x sin xx4 2x2114.4 ln x , Lx；15.xarctgxdx;16.胃2%我收；17.（xMxfdx；18 . 1 sin In xdx； c 行3,1

2、9. f 2HVcosx -cos xdx;420.n4 sin x0 1 sin x二 xsin x0 1 - cos2-dx ； xT 1 x22kxlndx；-1 x223.rdx;"1 x4n24 . 121nsinxdx；- 0'25.二dx0 1 x2 1dx (a 2 0 )。 x-（B层次）1 .求由edt+costdt=0所决定的隐函数y对x的导数曲00dxx.2.2 .当x为何值时，函数I（x）=te"dt有极值？03.ddxcosxJsin xcos 二t2 dtx1,x_124 .设f(x)="2，求ff(xdx。x,x102x20

3、arctgtdt5. lim'。x,二,x211 .八sinx,0三x_1一x6 .设f(x)=«2,求中(x)=ff(tdto、0,其它°,当x至训之7 .设f(x)=<1+x，求10f(x1dx。V，当x<0时°1 ex9.n求 lim ,二 nk38. lim-12-Vn+d2n+Vn2)。n"en2knnen110.设f(x)是连续函数，且f(x)=x+21of(tdt,求f(x)求x。12.证明:11=272e 2<2e、dx< V2。一 213.已知limx 二二=J 4x2exdx, a求常数a 。14.设

4、f (x )= «1 x2-xe ,x :二 0x -03，求 11f (x-2dx。15 .设f(x)有一个原函数为1+sin2x,求xfQxdx16 .设f(x)=ax+b-lnx,在1,31上f(x)20,求出常数a,b使J：f(xdx最小。2117.已知f(x)=e",求°fx)f”(xdx。22118 .设f(x)=xxj。f(xdx+2力f(xdx,求f(x)。19 .广f(cosxCosx-fkosxSin2xdx。020 .设xt0时，F仅)=x(x2-12f"(tdt的导数与x2是等价无穷小，试求0f"(0)。（C层次）1 .

5、设f(x)是任意的二次多项式，g(x)是某个二次多项式，已知fxdx=61f(0)+4f2)+f(1)L求jg(xdx。2 .设函数f(x)在闭区间a,b】上具有连续的二阶导数,则在(a,b)内存在*b''a+b'1-q一"一-,使得f(xdx=(b-af|+(b-aIf(-)。a<2J243.f(x)在kbi上二次可微，且f'(x0,f7x)>0o试证b-afa：fxdx:b。a-f-bf-a-。a24.设函数f(x)在a,b】上连续，f'(x)在kb】上存在且可积，1.b.f(a)=f(b)=0,试证f(xjwJf(xdx(a&

6、lt;x<b)。2，5 .设f(x)在0,11上连续，Jof(xdx=0,xxxf(xdx=1,求证存在一点x,0<x<1,使f(xj>4。6 .设f(x)可微，f(0)=0,f'(0)=1,F(x)=J：tf(x2-12dt,求.Fx四不。7 .设f(x)在a,b】上连续可微，若f(a)=f(b)=0,则b -af I f (x idxLaE maxa ix ibf (x )o8 .设f(x)在A,B】上连续，A<a<b<B,求证lim尸。+k)f(x.k0ak=f(b)-f(a>9 .设f(x)为奇函数，在5f内连续且单调增加，xF(

7、x)=lx-3tf(tdt,证明：(1)F(x)为奇函数；(2)F(x)在b,z)上单调减少。10 .设f(x)可微且积分%仅)+乂”右曲的结果与*无关，试求f(x)0011 .若f"(x肛0产】连续,f(0)=2,f(.)=1,证明：f(x)+f"(x)binxdx=3。x12 .求曲线y=1(t-1(t-2dt在点(0,0)处的切线方程。-a13 .设f(x)为连续函数，对任意实数a有sinxf(xHx=0,求证a“2冗-x)=f(x)。x-y。.d2y14 .设方程2x-tg(x-y)=Jsectdt,求一2。0dx15 .设f(x)在kb】上连续，求证：limfth

8、-ftdt=fx-fa(a:x:b)hQ.ha16 .当x0时，f(x旌续，且满足j，")f(tdt=x，求f。17 .设f(x)在b,1M续且递减，证明九1f(xdxEjf(xdx,其中九w(0,1)。x18 .设f(x)连续,F(x)=ff(t><2a-tht,f(0)=0,f(a)=1,试证：0F(2a)-2F(a)=1。19 .设g(x)是a,b1上的连续函数，f(x)=Jxg(tdt,试证在(a,b)内方程,ag(x)-f3=0至少有一个根。b-a20 .设f(x)在a,b】连续，且f(x)0,又F(x)=fxf(tdt十fdt,证abft明：(1)F'

9、(x注2(2"&)=0在匕笛)内有且仅有一个根。21 .设f(x)在b,2a】上连续，则f(xdx=pf(x)+f(2ax山x22 .设f(x)是以兀为周期的连续函数,证明：2二二(sinx+x)f(xdx=2(2x+n)f(x)dx。23.设f(x)在B,b】上正值，连续，则在a,b)内至少存在一点七，使匚b1bCf仪dx=f£f(xdx=-(af(xdx。1x24 证明 101n f-Nfu117du+Inf(udu。fu025 .设f(x)在a,b】上连续且严格单调增加，则bb(a+b%fxdx<2Jaxf(xdx。26 .设f(x)在a,b1上可导，且

10、f'(x)EM,f(a)=0,则bM2(f仅dx<M(b-a)o27 .设f(x)处处二阶可导,且f*(x论0,又u(t)为任一连续函数,则1 oaf ut dt - f 1 a 0aa°utdt(a >0 )。'a +b ' iI 2 )28.设f(x)在a,b上二阶可导，且f"(x)<0,则bfxdxM(b-aaf f (x dx - 0 ,证明在Q,b】上必 a29.设f(x)在a,bl上连续，且f(x)0,有f(x>0030.f(x)在l,b1上连续，且对任何区间l,b1有不等式Bff(xdx<MP-a1(M,6

11、为正常数)，试证在b,b】上f(x)三0。第五章定积分(A)n32sinxcosxdx0ji解:原式二-2 cos3 xdx 二一14-cos x4ji22.a 2_22 ,x a -x dx- 0解："v x =asint,贝U dx = acostdt当 x = 0 时 t=0,当 x = a 时 t=?2原式二0JI 22.2 ,a sin t acost a costdt2. 22 s in- 042tdt -02 Lco&t dta4 二1 sin4tji2二 4二一 a163.3 dx当x=1,J3时8分别为ji原式二4tg2-sec1=3sin-dsin-rJL

12、3'34.1xdx51o1斛：令J54x=u,贝(Jx=u,dx=udu442当x=1,1时，u=3,111c1原式二-5-udu=一3865.4 dx解：令Jx=t,dx=2tdt当x=1时，t=1;当x=4时，t=222tdt原式=二211-t=2t2-ln(1+t"=2+2ln21136.1dx.34J-x-1解：令d1x=u,贝Ux=1u2,dx=2udu,3一.1当x=3,1时u=1,042一1,一丁o-2u二u-11原式二1du=22du=1-2ln22u-10u-17.dxx 1 In xe21e21解：原式=f.dInx=J/d(1+In1-1Inx11Inx

13、=2- 1 Ine2=2 3 -28.dxx2 2x 2解：原式=fdx-=arctg(x+1口"1x12"=arctg-arctg-1=z冗9. 1cos2xdx-0解：原式=fx;-2cosxdx=22cosxdx二22cos<dx.2Jcoscdx2=22|sinx|02sinx怪1=2，2_2410. xsinxdxJ”解：:x42 2/* x 2x 1sinx为奇函数.二4/xsinxdx=0-ji11. 2-4cos4xdxJJL2一一，、二，二C2解：原式=42f2cosxdx=2j2(2cosx)dx-o-oTETt=2j02(1+coJ2xfdx=2

14、f02(1+2cos>x+cos2xixTt-W=2x|02+2102coi八一U,n,1*,=n+2sin2x2+22cos4xd4x024°3什上1337T+sin4x=一2402-3.212.dx5xsinx解：.32xsinx2x21为奇函数5-53_/xsinxx42x21dx=013.xx才Fdx解:原式二一3xdctgx4ctgg：jctgxdx一41一由二lnsinxji34<413In 2 2ln三ln二、,3-7T914.解:4_原式=2lnxd.x-1In=2 4ln 2 -41 i x dx1 x4.=8ln2-21x2dx=8ln2一415.1o

15、xarctgxdx解:、11原式=-0arctgxdxW"gx；1x201x2dx111dx1dx1x2larct21x0二14一216 .02e2xcosxdxJt解：原式=Ge2xdsinx2e2xdxJI冗2x2=esinx2-f2sinx0J。2 十X2e- -2 Vcosn5=e7r+2e2xcoac2-2f2cosc2e2xdx0031=e1-2402e2xco以dx故：e2x1Lcosxdxe具一2517 .广(xsinxfdx0解：原式=fo(xsinx2dx=(x2-8s2xdx=1x2dx-x2coSxdxo001二2.八-xdsin2x40-2冗立ixsin2x

16、C-ssin2x2xdI0%二31二一xdcos?x6403_3n1一八几尸八，1冗冗一ixcos2xn-cos2xdx=一64010J6418.1esin1nxdx解:e原式=xsinInx1-xcosInx-dx1xe=esin1一cosInxdx-1=esin1-xcosInx!;ee1xsinInxdx1xe=esin1-ecos11-sinInxdx-1ee故sinInxdx=sin1cos111219.T!2.cosx-cos3xdxJL4解:n原式二2,cosx1-cos2xdx0二二二cos(7Mxdx3coscsinxdx平cos4_3一-cosx320.解:原式sinx0

17、Ico s x,2Tg x dxJi .4 d cosx2cos x31 ,04 SeEx-1dxco sxnf-ttx1,2,27sinx4dx01sinx21.二xsinx,2dx01cosx解：令x=±t,则2-tsin-/i-2Un"it、21+COS-tI<2【JT71一coStcoSt1sin211sin21dtcoS21Sintrct(Sint照1，x22.2xlndx01-x解：原式=-in±di01-x21x2,1+x2Ax21-x1_x_(1+xj_1)二一in-2一2dx2 1-x0021+x(1-xf12in 3，12 dx801 x

18、2in3一2in二dx12 dx0 x2 -18 0x2-1-ln3-11nx-1解:-3ln323.x4x2dx二1一x2原式二y01x4-hedX=2012xdx2x12x-he=2。.大dxw24.f2lnsinxdx0r-r、kXX 1 x20OfT*X解：原式=f2ln2sin-cosdx*24(ln2+Insint+IncostdtJ0、22J0二Icc*.i.=ln2+2f4Insintdt十4Incosdt20JoJotmu:2ln2+2H4lnsintdt+Hlnsinudu2l10IJL4二一一、.=ln222lnsintdt20-n故2lnsinxdx=-ln20225.

19、dx- 八0 1 x2 1 x:一1一1斛：令x=,贝Udx=一方dttt20-5dtt:1 t2 1 ft2 t:二 t:dt0 1 t2 1 t 二二dx_二dx二xdx01x21x：=01x21x：01x21x：JI二1.,二-be 故0dx1 x2 1 x:4(B)2dx=arctgx1 .求由i/etdt+(costdt=0所决定的隐函数y对x的导数dy00dx解：将两边对x求导得ey出cosc=0dx,dycosx.二-dxey一x,22 .当x为何值时，函数I(x)=te'dt有极值？-02解：I'(x)=xe,令I'(x)=0得x=0当xA0时,IXx)

20、>0当x<0时，I'(x)<0当x=0时，函数I(x箱极小值dcosx23. fcos(Mdtodxsinx解：原式=cost一 I ( cos的 dt + (cosntdx ?sinx，a2 dt=-cossin2xsinxcoscosxcos:=-cosrsin2cosx+co金cosxsinx)-cos二sin2xcosx-sinxcos二-二sin2x=sinxcosxcos二sin2x4.设 f (x )=，x 1, 1 2 、2x ,2求 j0 f (x dx。2121解：f(xdx=(x+1dx十一xdx1,13x060-0-122x20arctgtdt

21、5.lim：二，x21x21(astgt)dt血lim2arctgx11-22x=lim/"arctgxxi二x=limxJ二；1+(arctg2*x)x=limx)二二1c.c、n-sin6.设f(x)=彳20，x,其它求巴x)=i0”tdt。解：当x<0时,:x=0ftdtx00出=0x1当°wx0时，&)=。/日出=1-cosx2当xAn时，9(x)=f(tdt=广f(tdt+f(tdt=f-0-0(二1.x_,sintdt，i0dt=12二0,故x=11-21，当：二0时cosx)当0ExEn时。7.设f(x)=，1x1J+ex,当x<0时2求f

22、(x-1dxo-0当x一1时解：f(xT)=,x17M，当x<1时xJ+edx11x-111.ex，-ex'01exx八一11,12dx=1-ln1ex4卜ln2=In1e8. lim2Lnf：n解：原式=limJ=lim Jn一i J nxdx = 20 '39 .求 lim £ n-1k4nken2k °ne解：原式=lim £n立匕k en2kn01 - e2xdx = arct g%JTa r ct g e10 .设f(x)是连续函数，且f(x)=x +12。f(t dt ,求 f(x)。.1解：令 f f (tdt =A, - 0则

23、 f (x )=x + 2A,1从而0 f x dx =11o x 2Adx =- 2A则 t = In 1 u2dt 二二u1即A2A2.fx=x-12ln2dt11.若当t=2ln2时,当t=x时,u=eet -1-12|n2dt32uduxtwe-1二e、41u2u,<3=2arctgu-fex4/n=2-arctgex-1二ji从而x=In212.证明：也e项2,xedx<42。证：考虑一2.2上的函数y=e"y=-2xe"tr1v当xw0,7I时，y<0_x2在x=0处取最大值y=1处取最小值1e'13.即.2e22dx：2edx:2e&

24、#39;dx已知limxj-bcx-a<x+a求常数a。解：左端=lim2a-2a右端二-2x2e“xd-2xi=2-2xe-He-2x2dex2xe,xdxO2-2a=2ae-2xdexC24a=2ae-2-2x-Hedx二(2a22a1e*2a22a1e0=e*解之a=0或a=T。r,2-1 11+x,x<0,314.设f(x)=,，求f(x-2dx0、e：x至01解：令x2=t,则31001.71fx-2dx=ftdt=1tdt，Ie'dt=-一1-11-03en15.设f(x)有一个原函数为1+sin2x,求12xf'(2xdx。F角单：令2x=t,且f(x

25、)=(1+sin2x)=sin2x2xf2xdx=-ft1dt=1tftdt0-02240=1j"tdf(t)=1tf(t/J"f(tdt14J。40=1|tsin2t0(1十sin2t)：=016.设f(x)=ax+b-lnx,在1,31上f(x心0,求出常数a,b使f(xdx.1最小。33解：当ff(xdx最小，即f(ax+blnxdx最小，由f(x)=ax+blnx之0-11知，y=ax+b在y=lnx的上方，其间所夹面积最小,则y=ax+b是y=Inx的11.切线，而y=-，设切点为(x°,lnx°),则切线y=(x-x0)+Inx0,故xx。=

26、In x0 -1 o13一 In xdx- 1a=一，x0于是I=3axb-lnxdx=-x2bx121=4a-21|na-.Jnxdx“21令ia=4=0得a=a2从而x0=2,b=ln21一2一.一3一，又ia=>0,此时ff(xdx取小。a12117.已知f(x)=e6,求(xf"(xdlx。2解：f'(x)=-2xe*111fxf”dx=，f'(xdfG)=-fJ0I。Q2021,18.设 f (x)=x x0 f(xdx + 210 f (xdx ,求 f(x )o12解：设0f(x)dx = A, of(xdx=B,则 f(x)=x Bx+2A. .

27、A= 1fxdx= 1x2-Bx 2Adx-1B 2A- 0- 03222 o8 .B = f xdx= x2Bx 2Adx2B 4A003-14 一解得：A=1, B=f ,于是33242f x = x -x - 3319 . 广f (cosx Cosx - f'(cosx Sin2 xdx。 -0解:原式= f cosx cosxdx sin xf cosx d cosx , 0, 0=0 f cos: coscdx sinxf cosc。- 0 f cos: coscdx二020 .设xT0时，F（x）=-12 Ntdt的导数与x2是等价无穷小，试求f 70 )。解:xx2 -t

28、2 f tdt , 03xx.2xf t dt=lim -x Q x2x2.of tdt=lim x 0 x0,x=2 f 0 = 11故 f ” 0 =2（C）1.设f(x)是任意的二次多项式，g(x)是某个二次多项式，已知h,求 fa g（x dx。1r,10fxdx=6f04f角单：设x=(bat十a,则I=agxdx=0gb-atab-adt1=；!b-aJigb-atadt令gb-ata=ft于是f（0）=g（a）,f；）=9?"2另）f"）=g（b）由已知得I=-a|g（a）+4gba+g（b）l6e2Jy2.设函数f（x）在闭区间Q,b1上具有连续的二阶导数,

29、则在（a,b）内存在-,使得f（xdx=（b-af-b+,（ba3f"（E）。a<2J24证：由泰勒公式f(x)=f(x0)+f1x0lx-x0)+工)(x-x0)22!其中x0,xw(a,b),£位于x0与x之间。两边积分得：bf2,a 丁 idxafxdx=afx0dxf%x-xodx；=(ba)f(x0)+f(b .而 f (x )= J f 气 dt, 一 f (x 尸 J f t dt'a' x。)b_x0)_(a_x0j1+f(-)b-x03-(a-x0/】26bfxdx = b-afa"+f4"b.a2.< 22

30、 Ja+b、2a i2 J令x。=誓,则a+b'3ai2'41f23b>3.f(x)在a,b】上二次可微，且f'(x0,fM(x)>0o试证bb-afaiifxdx二b-a-a证明：当xw(a,b)时，由ftx)A0,f"(x)>0知f(x)是严格增及严格凹的，从而f(x)>f(a及f(x)<f(a)+f(b)f(a)(xa)b-a一bb故fxdx不fadx虫b-afafxdx:a-aafaffAlb-a 2 二 b.a fb fab-a224 .设函数f(x)在a,b1上连续f '(x)在Ab】上存在且可积，1bf(a)

31、=f(b)=0,试证f(xi<-JjfP(xdx(a<x<b)证明：因为在a,b】上f(x)可积，故有于是 f(xftdt-ftdtfxdx=ftdtftdt'a'a-x1-xb71bf(xU-jfVtMt+f<ttat=-fft)dt2|JaxxI2Ja5.设f(x施0,1】上连续，hf(xdx=0,foxf(xdx=1,求证存在一点x,0<x<1,使f(xj>4。证：假设f(x睁4,xw0,111由已知Lf(xdx=0,J°xf(xdx=1,得1111(11=fxf(xdxff(xdx=Cx-if(xdx1x dx20q2

32、SJ02J1 11<fxf(x)dxM4fJ021J0=4- 1A '1r 2 - - x dx + <2J Jx - - dx = 1201f x dx = 4- 01 从而(x J0x-ldx2口 f (x H -4 dx = 0 2因为f(x)在0,1】连续，则f(x)=4或f(x)=Y。从而J；f(x)dx=4或1-4,这与of(xdx=0矛盾。故f(x、4。6 .设 f (x)可微，f(0)=0 ,f <0) = 1 , F(x)= ftf(x2 -t2 dt ,求- 0 F xlim 4。X Q x41 x2解：令x t =u 则 F(x) = J f(u

33、 du ,>2 0>显然 F x )=xf x24x3=limx )0f x24x2= lim£f 0x 0 4 x 0447.设f(x)在a,b】上连续可微，若f(a)=f(b)=0,则b -af | f (x jdxLaE maxa ix ibf (x )o证:因f(X)在ia,b上连续可微，则f(x)在向alb和白，b上均满足一 2 一 2拉格朗日定理条件,设M=maxf<xj),则有a:x:bf x dx 二abb22|f(x|)dx+a-b|f(x)dx.b=Ja2|f(a)+f1lx-aJdx+Ja*|f(b)+fK2fxb)dxabb=22f*1lxa

34、Hx十fa/fX-2lx-bjdxLa2x -adx M一 bdx = M(b-af4 b故2- f f (x Jdx < M o(b-a 2 a -8 .设f(x)在(A,B】上连续,b f x k )T x ,A < a < b < B ,求证 lim dxk-0 ak=f (bf (a Jobfx k-fx,1 b1bq .证： dx=J f(x+kdx f(xdxa kk ak abb k令x+k=u,则 f f(x + kdx=J f(udu' a' a -'k工曰b f x k )- f k,1于是 dx =一a kkb k1ba k

35、f xdx-；af xdxk1 b kkb1 a kf x dx 一 k af x dx+， bf x k - f x1 b k1 a k故 lim dx = lim f x dx -lim f x dxJ0 - akk0 k bk )0 k - a=f b -fa9 .设f(x)为奇函数，在 H内连续且单调增加，F(x)= 4(x-3t f(t dt ,证明：(1)F(x)为奇函数；(2) F(x)在 b,F)上单调减-xx证：(1) F( x)=J (x3tf(tdt f(x+3u)f(udu00f(x产函数J。(x+3u)f(udu=-f0(x-3u)f(udu=F(x).F(x)为奇函

36、数。FFXx)=/f(tdt-3而(tdt1x=ftdtxfx)3xfx-0x=ftdt-2xfx-0-ft-fxdt-xfx由于f(x)是奇函数且单调增加，当x>0时，f(x)A0,1f(t)一f(x)dt<0C0<t<x),故F'(x)<0,xW(0,y),即F(x)在0,y)上单调减少10.设f(x)可微且积分Jf(x)+xf(xt诙的结果与x无关，试求f(x)解：记f(x)+xf(xt%t=C,则fxxfxtdt=fxLifudu=C-0-0由f(x)可微，于是fxfx=0解之f(x)=ke(k为任意常数)若f”(x肚0产】连续,f(0)=2,f(

37、n)=1,证明:,f(x)十f"(x)Sinxdx=3。解:- 0inxf X ； - 0 f xe05KdX因fxsinxdx=sinxdfx一 "f x sinxdx0,0=-fxcosxdx-0二一coscdfx=-fxcosc,0=firJf0)fxsinxdx0JTJT=12-fxsinxdx=3-fxsinxdx-0-0所以广“(x)+f«x盅访xdx=3。-0x12.求曲线y=£(t1'(t2dt在点(0,0)处的切线方程。解：yyx_1x_2),则y<0)=2,故切线方程为:y0=2(x0),即y=2x。求证-a13.设f(

38、x)为连续函数，对任意实数a有sinxf(xHx=0,*f(2n-x)=f(x)。证：两边对a求导sin1af，一a-1sin二-af二-a=0令a=冗一x,即得f(2n一x)=f(x)。14.设方程 2x-tg(x-y.2x_y2d y)=J sec tdt, 求一2"o0dx解：方程两边对x求导，得2-se(2x-y1-y=seCx-y1-y从而y=1-cos2x-y=sin2x-yy-2sinx-ycosx-y1-y=2sinx-ycosx-y15.设f(x)在4,b】上连续，求证:,练小:皿+力伏诙=f(xAf(a)(a<x<b)证：设F(x)为f(x)的原函数，

39、则左边=limFxh-FahFxLFa】h0-h=limFxhFxFahFah07hh=f(xf(a)=右边。16 .当x之0时，f(x旌续，且满足冲)f(tdt=x，求f。0解：等式两边对x求导，得fx21x2x3x2=1令x2(1+x)=2得x=1将x=1代入得：f(2)-5=11故f(2)=1。517 .设f(x)在b,1L续且递减，证明1.%J0f(xdx<10fxdx,其中00(0,1)。证：九f(xdx=九。'f(xdx十1f(xdx-0,01，贝卜fxdx-fxdx-0-01，=fxdx-：<1fxdx0=M1，Jf91H九(九1)母2),。三七1),九)-1

40、f1-f21由于f(x)递减,f(-1)<f(-2)1,故fxdx-fxdx-0-001'即九f(xdxwf(xdxo-0-0试证:18 .设fix)连续，F(x)=fxf(t><2a-tklt,f(0)=0,f(a)=1,0F(2a)2F(a)=1。2aa证：F(2a)2F(a)=J。f(t)f12atdt21f(t)r(2at)dt2aa=ftf2a-tdt-ftf2a-tdt-0-02aa=-ftf2a-td2a-t-ftf2a-tdta-02a2aa二一ftf2a-tftf2a-t-ftf2a-1dta-a-0在第一个积分中，令2a-t=u,则2aaftf2a

41、-tdt=fuf2a-udua-0而-ftf2a-t2a=-f2af0f2a1Ia故F2a-2Fa=119 .设g(x)是a,b】上的连续函数，f(x)=fg(tdt,试证在(a,b)内方程-ag(x)-上9=0至少有一个根。b-a证：由积分中值定理，存在Xw(a,b)使fb=gtdt=gi：ib-a/a即g一fA=0b-a故之是方程g(x)-3=0的一个根。b-a20 .设f(x)在kb】连续，且f(x0,又F(x)=ff(tdt+f-dt,证abft明：(1)F'(x庐2(2"&)=0在匕笛)内有且仅有一个根。1证：(1)F(x)=f(x)+之2fxa1b(2)F

42、(a)=(dt<0,F(b)=Jf(tdt>0bf(t)La又F(x)在Lb】连续，由介值定理知F(x)=0在(a,b)内至少有一又F'(x)A0,则F(x)单增，从而F(x)=0在(a,b)内至多有一根故F(x)=0在(a,b)内有且仅有一个根。21 .设f(x)在b,2a】上连续，则。f(xdx=faf(x)+f(2ax由x。-0-0、2aa2a证：0fxdx=0fxdxafxdx令x=2a-u,dx=-du,2aaafxdx=f2a-udu=jf2a-xdxa00故°fxdx-fxf2a-xdx22.设f(x促以n为周期的连续函数,证明：2.(sinx+x)

43、f(xdx=fo(2x+n)f(x)dx°2：-,证：0sinxxfxdx门2：-:=sinxxfxdx，Isinxxfxdx-0.二令x=n+u,WJsinxxfxdx-sin二u1uf二udu.二0TT-=*(u+n-sinu开(udu(.,f(x)以冗为周期)2-故sinxxfxdx=2x，ifxdx-0023.设f(x)在Q,b】上正值，连续，则在a,b)内至少存在一点：，使匚b1bff(xdx=/f(xdx=-f(xdx。a,2也*xb证：令F(x)=Jf(tdt-jf(tdta-x由于x三kb1时，f(x)0,故Fa=-bftdt：0aFb=bftdt0a故由零点定理知，存在一点"w(a,b),使得F)=0b即ftdt-.ftdt=0- abfxdx=fxdx- a-bb又fxdx=fxdxfxdx=2fxdx- a-aa匚b1b故ff(xdx=%f(xdx=-ff(xdx。- a-2'a24.1x证明 0ln f x tdt = 0ln证：设x+t=u+1,贝1xInfxtdu=iI