温州地区数学学科教学资料 算术平均数与几何平均数1 浙江省温州地区高二数学 算术平均数与几何平均数课件{整理二课时}人教版 浙江省温州地区高二数学 算术平均数与几何平均数课件{整理二课时}人教版

1、引入新课引入新课例题：某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为例题：某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m3, 深为深为3m，如果池底每，如果池底每1m2的造价为的造价为150元，池壁每元，池壁每1m2的造价为的造价为120元问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少？元问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少？重要不等式及其应用重要不等式及其应用一、重要不等式的推导一、重要不等式的推导课题课题ii重要不等式重要不等式1 1 如果如果a a、bR,bR,那么那么 a a+b+b2ab2ab ( (当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“=”=”号号) ) 以公式以公式(

2、1)为基础为基础,运用不等式的性质推导公式运用不等式的性质推导公式(2)这种由已这种由已知推出未知知推出未知(或要求证的不等式或要求证的不等式)的证明方法通常叫做的证明方法通常叫做综合法综合法。i如果如果a、bR,那么有那么有 ( a-b ) 0 ( 1 )把把(1)式左边展开，得式左边展开，得 a -2ab+b 0 a+b 2ab ( 2 )(2)式中取等号成立的充要条件是什么？式中取等号成立的充要条件是什么？公式公式2、探索、探索设设a、b、cR，依次对其中的两个运用公式，依次对其中的两个运用公式(2)，有，有a +b 2ab;b +c 2bc;c +a 2ca.把以上三式叠加，得把以上三

3、式叠加，得 a +b +c ab+bc+ca ( 3 ) (当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号号) 从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法和式问题的数学思想与方法迭代与叠加迭代与叠加.a+b2ab (a、bR，当且仅当，当且仅当a=b时取时取“=”号号)由于 a+b=(a+b)(a-ab+b), 启示我们把公式(2)变成 a-ab+bab, 两边同乘以a +b，为了得到同向不等式，这里要求a、b0, 得到 a+bab+ab。 ( 4 )重要不等式2 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (当且仅当a=b=c时取

4、“=”号)公式3、再探索 考查两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？考查三个实数的立方和又具有什么性质呢？ 由公式(3) 的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c , c、a 迭代(4)式，并应用公式(2)，得 2(a+b+c)a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) a 2bc+b 2ca+c 2ab=6abc a+b+c3abc ( 5 ) (当且仅当a=b=c时取“=”号）a+b2ab (a、bR当且仅当a=b时取“=”号)4、定理、定理 定理定理1 1的推广的推广 如果如果a a、b b、c c0,0,那么那么(a+b+c)/3 (a+b+c)/3 ( (当且仅当当且仅

5、当a=b=ca=b=c时取时取“=”=”号号) ) 定理定理1 1：如果如果a a、b b0,0,那么那么(a+b)/2 (a+b)/2 ( (当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“=”“=”号号) )( 6 ) (当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)在公式在公式(5)中用中用 、 、 分别替换分别替换a、b、c，可得可得 ( ) + ( ) + ( ) 3 a + b +c 33a3a3a3b3b3b3c3c3c3abc （a+b+c)/3 ( 7 ) (当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号）号）3abca+b2ab (a、bR当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)公式公式a

6、+b+c 3abc (a,b,c R+当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号号) 问题：若问题：若a,b都为正数，试比较都为正数，试比较 与与 的大小关系的大小关系.2ab ab2211()() 2222abababab 2abab 重要不等式及其应用重要不等式及其应用重要不等式重要不等式1 1 如果如果a a、bR,bR,那么那么a+b2aba+b2ab ( (当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“=”=”号号) )重要不等式重要不等式2 2 如果如果a a、b b、c 0,c 0,那么那么a+b+c a+b+c 3abc 3abc ( (当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取时取“=

7、”=”号号) )定理定理1 1 如果如果a a、b 0,b 0,那么那么(a+b)/2 (a+b)/2 ( (当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“=”“=”号号) )ab定理定理1 1的推论的推论 ： 如果如果a a、b b、c 0,c 0,那么那么(a+b+c)/3 (a+b+c)/3 ( (当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取时取“=”=”号号) )3abc5 5、两、两 个个 概概 念念公式公式 如果如果a1，a2，an 0 ，且，且 n1，那么，那么 (a1+a2+an ) / n 叫做这叫做这n个正数的个正数的算术平均数算术平均数 ， 叫做这叫做这n个正数的个正数的几何平均数几

8、何平均数 。 a1a2a nn定理表明：两个正数的算术平均数不小于（即大于定理表明：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。或等于）它们的几何平均数。a+b2ab (a、bR当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)公式公式a+b+c 3abc (a,b,c R+当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号号) 说明说明公式公式（1） a+b2ab 成立的条件是成立的条件是a、bR，而均值不等式，而均值不等式 成立的条件是成立的条件是a、b R 2abab（2）若把）若把 看作是正数看作是正数a,b的等差中项，的等差中项， 看作是正数看作是正数a,b的等比的等比中项，那么这个

9、定理可叙述为中项，那么这个定理可叙述为“两个正数的等差中项不小于它们的等两个正数的等差中项不小于它们的等比中项比中项” 2abab（3）若以）若以a+b为直径作圆，在直径上取点为直径作圆，在直径上取点C，使，使ACa,CB=b,过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，连接，连接AD,BD.可知可知 Rt ACDRt DCB 2DCAC BC故故有有 CDab即即 2abr又又（4）不等式）不等式 的变式有的变式有这些变式对我们今后解题会有很大的帮助的这些变式对我们今后解题会有很大的帮助的. 2abab 2a bab 2()2abab例例1：例例2：已知：已知x,y都为正数，求证：都为正数，求证：（1）如果积）如果积xy为定值为定值P，那么当，那么当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值2 P（2）若）若x+y为定值为定值S，那么当，那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值214S例例3：已知：已知a,b,c,d都为正数，求证：都为正数，求证： ()()4abcdacbdabcd课本：课本：P11练习