数学实验报告(赛车跑道)

1、数学实验报告 王伟晨 材料22学号 2120201041 一.实验问题 赛车道路路况分析问题先要在一旷野区域举行一场自行车比赛，问了了解环形道路的路况，现对一选手的比赛情况进行监测。该选手从A地出发向东到B地，再经C,D回到A地(如图所示)。现从选手出发开始计时，每隔15min观测其位置，所得相应各点坐标如下表（假设其体力是均匀分配的） 由A到B各点的位置坐标（单位千米）横坐标x 0.24.966.559.7113.1716.2318.3620.5323.1526.49纵坐标Y6.665.284.685.192.346.945.559.865.283.87横坐标x28.2329.130.653

2、0.9231.6733.0334.3535.0137.5纵坐标Y3.042.883.6820.382.062.582.161.456 由D到C到B的位置坐标（单位千米）横坐标x1.84.906.519.7313.1816.2018.9220.5023.2325.56纵坐标Y19.8924.5234.8240.5437.6741.3830.0019.6814.5618.86横坐标x28.3129.4530.0030.9231.6733.3134.2335.8137.5纵坐标Y18.5522.6618.2815.0613.4211.867.689.456假设：1车道几乎是在平地上，但有三种路况(根

3、据平均速度v（km/h）大致区分)；平整沙土路（v>30），坑洼碎石路（12<v<30）,松软泥泞路(v<12);2车道是一条连续的可用光滑曲线来近似表示的闭合路线；3选手的速度是连续变化的。求解：1模拟比赛车道的曲线和选手的速度曲线； 2估计车道的长度和所谓区域的面积； 3分析车道上相关路段的路面状况（在车道上用不同的颜色标记出来）； 4对参加比赛的选手提出合理化建议。二 问题分析由给定的一系列x,y坐标采用插值法，获得一条严格通过个数据点的曲线。共有三种插值法;1多项式插值对于已知的n个数据点；（,）,可唯一的确定一条n-1次多项式y= + +, 令则所求的多项式系

4、数为方程组Ax=y的解。故x=利用命令y0=polyval(p,x0)可求得多项式函数任一点的函数值。该种方法得到的曲线容易出现“龙格现象”，故一般不用该方法模拟曲线。2分段线性插值在每一个子区间上利用一次多项式分段线性插值，几何图形上的表示为相邻两个数据点之间用直线相连。在数据点个数较多时，他们之间的距离较小，利用线性插值就较为精确。其线性插值命令为y0=interpl(x,y,x0)3三次样条插值该种方法是利用某些光滑的，变化平缓的曲线来拟和数据点。常用一个三次多项式，来对相继数据点之间的各段建模，使其满足相邻的三次多项式在节点处的1阶2阶导数都相等，这样就可以确定内部各段的3次多项式，且

5、该三次多项式在节点处的斜率和曲率是连续的。该插值方法的命令格式为yo=spline(x,y,xo)要求比赛车道的曲线和选手的速度曲线利用以上三种插值方法即可。三.程序的设计首先分析AB的赛道情况1描点clf;clearx=0.2 4.96 6.55 9.71 13.17 16.23 18.36 20.53 23.15 26.49 28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5;y=6.66 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55 9.86 5.28 3.87 3.04 2.88 3.68 2.38 2.06 2.58

6、2.16 1.45 6;plot(x,y,'k.','markersize',15);axis(-5 40 0 45);grid2绘图利用三次样条插值clf;clearx=0.2 4.96 6.55 9.71 13.17 16.23 18.36 20.53 23.15 26.49 28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5;y=6.66 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55 9.86 5.28 3.87 3.04 2.88 3.68 2.38 2.06 2.58 2.16 1.45

7、 6;plot(x,y,'k.','markersize',15);axis(-5 40 0 45);grid;hold on t=-5:0.5:40;u=spline(x,y,t);plot(t,u)s=trapz(x,y);l=sqrt(diff(x).2+diff(y).2);L=sum(l);fprintf('s=%.2f,L=%.3fn',s,L)s=177.20,L=51.832再分析ADCB的赛道情况1描点clf;clearx=0.2 1.8 4.90 6.51 9.73 13.18 16.20 18.92 20.50 23.23

8、25.56 28.31 29.45 30.00 30.92 31.67 33.31 34.23 35.81 37.5;y=6.66 19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38 30.00 19.68 14.56 18.86 18.55 22.66 18.28 15.06 13.42 11.86 7.68 9.45 6;plot(x,y,'k.','markersize',15);axis(-5 40 0 45);grid;2绘图利用三次样条插值clf;clearx=0.2 1.8 4.90 6.51 9.73 13.18 16.20

9、18.92 20.50 23.23 25.56 28.31 29.45 30.00 30.92 31.67 33.31 34.23 35.81 37.5;y=6.66 19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38 30.00 19.68 14.56 18.86 18.55 22.66 18.28 15.06 13.42 11.86 7.68 9.45 6;plot(x,y,'k.','markersize',15);axis(-5 40 0 45);grid;hold on t=-5:0.5:40;u=spline(x,y,t);plo

10、t(t,u)s=trapz(x,y);l=sqrt(diff(x).2+diff(y).2);L=sum(l);fprintf('s=%.2f,L=%.3fn',s,L)s=903.96,L=107.350 最后在分析选手由ABCDA的运动情况1描点clf;clearx=0.2 4.96 6.55 9.71 13.17 16.23 18.36 20.53 23.15 26.49 28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5 1.8 4.90 6.51 9.73 13.18 16.20 18.92 20.50 23.23

11、25.56 28.31 29.45 30.00 30.92 31.67 33.31 34.23 35.81 37.5;y=6.66 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55 9.86 5.28 3.87 3.04 2.88 3.68 2.38 2.06 2.58 2.16 1.45 6 19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38 30.00 19.68 14.56 18.86 18.55 22.66 18.28 15.06 13.42 11.86 7.68 9.45 6;plot(x,y,'k.','markersize&#

12、39;,15);axis(-5 40 0 45);grid2绘图利用三次样条插值x=0.2 4.96 6.55 9.71 13.17 16.23 18.36 20.53 23.15 26.49 28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5;y=6.66 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55 9.86 5.28 3.87 3.04 2.88 3.68 2.38 2.06 2.58 2.16 1.45 6;plot(x,y,'k.','markersize',15);axis(-5 40

13、 0 45);grid;hold on t=-5:0.5:40;u=spline(x,y,t);plot(t,u)hold onx1=0.2 1.8 4.90 6.51 9.73 13.18 16.20 18.92 20.50 23.23 25.56 28.31 29.45 30.00 30.92 31.67 33.31 34.23 35.81 37.5;y1=6.66 19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38 30.00 19.68 14.56 18.86 18.55 22.66 18.28 15.06 13.42 11.86 7.68 9.45 6;plot(

14、x1,y1,'k.','markersize',15);axis(-5 40 0 45);grid;hold on t1=-5:0.5:40;u1=spline(x1,y1,t);plot(t1,u1)速度曲线clear;clcv1=19.8240 6.7978 12.8036 17.9306 22.0993 10.1737 19.3018 21.1058 14.5017 7.7113 3.5384 6.9771 5.3110 3.2617 5.8241 5.5408 3.8775 20.7471;v2=53.3056 22.2879 41.7003 26.25

15、62 17.9508 19.1351 46.8022 41.7610 23.2094 19.5628 11.0697 17.0607 17.6576 13.3954 7.2134 9.0538 17.1202 9.4905 15.3668;a=size(v2);b=size(v1);t=0:0.25:(0.25*(b(2)+a(2)-1);for i=1:a(2) v1(b(2)+i)=v2(a(2)+1-i);endplot(t,v1,'k.','markersize',15);axis(0 9.30 0 56);grid;hold onk=0:0.1:(0.

16、25*(b(2)+a(2);u=spline(t,v1,k);plot(k,u)路面状况曲线clear;clcx=0.2 4.96 6.55 9.71 13.17 16.23 18.36 20.53 23.15 26.49 28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5;y=6.66 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55 9.86 5.28 3.87 3.04 2.88 3.68 2.38 2.06 2.58 2.16 1.45 6;x1=0.2 1.8 4.90 6.51 9.73 13.18 16.20 18.9

17、2 20.50 23.23 25.56 28.31 29.45 30.00 30.92 31.67 33.31 34.23 35.81 37.5;y1=6.66 19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38 30.00 19.68 14.56 18.86 18.55 22.66 18.28 15.06 13.42 11.86 7.68 9.45 6;b=size(x1);a=size(x);for i=1:a(2)-1 v1(i)=sqrt(x(i+1)-x(i)2+(y(i+1)-y(i)2)/(15/60); X=x(i),x(i+1);Y=y(i),y(i+1)

18、; hold on if v1(i)>30 plot(X,Y,'r-.','linewidth',3) elseif v1(i)<12 plot(X,Y,'g-','linewidth',3) else plot(X,Y,'m-','linewidth',3) endendfor i=1:b(2)-1 v2(i)=sqrt(x1(i+1)-x1(i)2+(y1(i+1)-y1(i)2)/(15/60); X=x1(i),x1(i+1);Y=y1(i),y1(i+1); hold on if v2(i)>30 plot(X,Y,'r-.','linewidth',3) elseif v2(i)<12 plot(X,Y,'g-','linewidth',