函数的单调性与导数（Word）

1、113函数的单调性与导数一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程（一）复习引入1增函数、减函数的定义一般地，设函数 f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数2函数的单调性如果函数 yf(x) 在某个区间是增函数或

2、减函数，那么就说函数 yf(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 yf(x) 的单调区间在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的例1讨论函数yx24x3的单调性解：取x1x2，x1、x2R， 取值f(x1)f(x2)(x124x1+3)(x224x2+3) 作差(x1x2)(x1x24) 变形当x1x22时，x1x240，f(x1)f(x2)， 定号yf(x)在(, 2)单调递减 判断当2x1x2时， x1x240，f(x1)f(x2)，yf(x)在(2, )单调递增综上所述yf(x)在(, 2)单调递减，yf(x)在(2, )单调递增。能否利用导数的符号来判断函数

3、单调性？一般地，设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数； 如果f(x)0，则f(x)为减函数例2教材P24面的例1。例3确定函数f(x)x22x4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数解： f(x)2x2 令2x20，解得x1因此，当x(1, +)时，f(x)是增函数令2x20，解得x1 因此，当x(, 1)时，f(x)是减函数例4确定函数f(x)2x36x27在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数解：f(x)6x212x令6x212x0，解得x0或x2因此，当x(, 0)时，函数f(x)是增函数，当x(2, )时， f(x)也是增函数令6x212x0，解得0

4、x2因此，当x(0, 2)时，f(x)是减函数利用导数确定函数的单调性的步骤：2 / 14(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f (x)0，得函数的单调递增区间；解不等式f (x)0，得函数的单调递减区间练习1：教材P24面的例2利用导数的符号来判断函数单调性:设函数yf(x)在某个区间内可导(1)如果f (x)0 ，则f(x)为严格增函数； (2)如果f (x)0 ，则f(x)为严格减函数思考：（1）若f (x)0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？若f (x)0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件例如 f(x)x3，当x=0，f (x)=

5、0，x0时，f (x)0，函数 f(x)x3在(,)上是增函数（2）若f (x) 0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？若某个区间内恒有f (x)0，则f (x)为常数函数练习2. 教科书P.26练习(1)练习3. 教科书P25例3（三）课堂小结1判断函数的单调性的方法； 2导数与单调性的关系； 3证明单调性的方法.（四）作业习题1.3第1，2题132 函数的极值一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.二、教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤.三、教学过程：（一）函数的极值与导数的关系1、观察下图中的曲线可以看

6、出：a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小2、观察函数 f(x)2x36x27的图象思考：函数yf(x)在点x0，x2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在x0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说 f(0) 是函数的一个极大值；（2）函数在x2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，则f(2)是函数的一个极小值函数y2x36x27 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)函数y2x36x27 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )3、极值的概念：一

7、般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值4、观察下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正函数的极值点xi是区间a, b内部的点，区间的端点不能成为极值点函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小

8、值不一定小于极大值函数在a, b上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点5、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么，f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么，f(x0)是极小值；思考：导数为0的点是否一定是极值点？导数为0的点不一定是极值点如函数f(x)x3，x0点处的导数是0，但它不是极值点例1求函数解：yx24(x2)(x2)令 y0，解得 x12，x22当x变化时，y，y的变化情况如下表因此，当x

9、2时， y极大值 ，当x2时，y极小值求可导函数f (x)的极值的步骤： 求导函数f (x)； 求方程 f (x)0的根； 检查f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值例2求函数的极值例3 求函数y(x21)31的极值解：定义域为R，y6x(x21)2.由y0可得x11，x20，x31当x变化时，y，y的变化情况如下表： 当x0时，y有极小值，并且y极小值0例4的极值例5的极值思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？练习：求函数的极值（三）课堂小结1考察函数的单调性的方法；2导数与单

10、调性的关系；3用导数求单调区间的步骤.（四）课后作业 作业习题1.3第4，5题133 函数的最大值与最小值一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.三、教学过程：（一）复习引入1、问题1：观察函数f(x)在区间a，b上的图象，找出函数在此区间上的极大值、极小值和最大值、最小值2、问题2：观察函数f(x)在区间a，b上的图象，找出

11、函数在此区间上的极大值、极小值和最大值、最小值 （见教材P30面图1314与15）3、思考： 极值与最值有何关系？ 最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？ 4、求函数y在区间0, 3上的最大值与最小值（二）讲授新课1、函数的最大值与最小值一般地，设yf(x)是定义在a，b上的函数，在a，b上yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。2、求yf(x)在a，b上的最大值与最小值，可分为两步进行： 求yf(x)在(a，b)内的极值； 将yf(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值

12、，最小的一个为最小值例1求函数yx42x25在区间2, 2上的最大值与最小值解： y4x34x4x(x1)(x1)令y0，即 4x(x1)(x1)0，解得x1，0，1当x变化时，y，y的变化情况如下表：故 当x2时，函数有最大值13，当x1时，函数有最小值4练习1.教科书P.31练习例2求函数y在区间-2, 上的最大值与最小值例3. 求函数的最大值和最小值.例4. 求函数的最大值和最小值.（三）课堂小结已知函数解析式，确定可导函数在区间a, b上最值的方法；（四）课后作业 作业习题1.3第4，5题导数在函数中的应用习题课一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调

13、性的方法. 理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 求函数的极值 求函数的最值及求实际问题的最值教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性；严格套用求极值的步骤；求实际问题的最值三、教学过程题型一：函数的单调性1确定下列函数的单调区间： yx39x224x； yxx3（3）f (x)2x39x212x32讨论二次函数yax2bxc (a0)的单调区间3在区间(a, b)内f(x)0是f (x)在(a, b)内单调递增

14、的 ( A )A充分而不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件题型二：求参数的取值范围：例1要使函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围。例2若函数在区间（1，4）上是减函数，在区间 上是增函数，求实数a的取值范围题型三：证明不等式例1. 已知x1，求证：xln(1x).例2已知x0，求证：1+2x.题型三.求极值和已知极值求函数的解析式练习：已知函数f (x)x3ax2bxc，且知当x1时取得极大值7，当x3时取得极小值，试求函数f (x)的极小值，并求a、b、c的值题型四.求最值和已知最值求函数的解析式例1求函数的最大值与最小值。练习：求函数的最大值与最小值。例2设

15、，函数的最大值为1，最小值为，求：a、b的值练习：已知函数。若f（x）在-1，2上的最大值为3，最小值为29，求：a、b的值小结：函数的导数的三个应用，求单调性，求极值和求最值，这三个方面是密切联系的，一定要掌握方法和步骤，多去做题，熟能生巧。14 生活中的优化问题（一）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-面积、容积最大（最小）问题教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值教学过程：例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相

16、等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为xcm，则箱高箱子容积(0x60)解得 (不合题意，舍去) 并求得 由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f (x)0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值 这里所说的也适用于开区间或者无穷区间求最大（最小）值应用题的一般方法： 分析问题中各量之间的关系，把实际问

17、题化为数学问题，建立函数关系式； 确定函数的定义域，并求出极值点； 比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点练习1把长为60 cm的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？2把长为100 cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？ 变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？练习2.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积例2教材P34面的例1。课后作业1 阅读教科书P.342 教科书P37B组第1题14 生活中的优化问题（二）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-用材最省的问题-教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值教学过程：例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S2pRh2pR2 则 从而 即h2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省例2 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C1004q