全国高中数学青年教师展评课圆锥曲线起始课教学设计(2)

1、“圆锥曲线起始课”教学设计1 【教学内容解析】1 圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容它是继学习了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法2 圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想3圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛

2、的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等因此圆锥曲线的学习对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值本节课的内容是选自北师大出版社高中数学选修2-1 第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课2 【教学目标设置】1 知识与技能目标本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）2过程与方法目标初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主学习以及相互协作

3、的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法3情感、态度与价值观目标通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发学习圆锥曲线的兴趣，能够自主学习、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观4重难点重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义难点：用Dandelin 双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义3 【学生学情分析】1 这节课的授课对象是高中二年级的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达的

4、能力在知识层面上，高一阶段已学习了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还学习了解析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理问题的能力在方法的层面，学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了数形结合的思想与类比与转化思想2学生在学习过程中, 也可能会遇到诸多困难：从空间的圆锥截出平面图形的转化问题，特别是通过Dandelin 双球发现椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及动态问题4 【教学策略分析】各种情景，让学生很自然进入学习圆锥曲线的学习，为后面采用解析的方法学习埋下了伏笔.2 .由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观 感知、

5、操作确认，避免过度抽象 .思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用.3 .在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节 引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出 结论，鼓励学生表达自己的见解.4 .从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力.采用 模型和软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学 实效性.五.【教学过程】环节1.课题引 入2.复习和 准备教学过程和师生活动通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线.师生活动：让学生踊跃发言.意图，理念与备注1.从实际生活出

6、 发，直观感知各种 圆锥曲线的存在， 使学生在头脑中 产生各种曲线的 初步印象，为下一 步的数学抽象做 准备.2.特别是“愤怒 的小鸟”这个抛物 线段片让学生马 上产生兴趣，积极 参与发现与探索， 加深直观印象.1.复习圆锥的形成2.由圆锥的形成过 程引入圆锥面注：这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形，并引入顶角的一半«,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出不同的曲线留下知识.师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。1 .对以前知识回 顾，教师引导，学 生回顾。2 .注意新旧知识 的联系与发展，注 重知识的系统性， 使学生带着为什 么要复习这个知 识的疑惑走入课 堂。

7、3.新介绍圆锥曲线的发展史本课以圆锥曲线课传 1.最初发现授PPT播放结合教师的介绍:圆锥曲线的发展史：1 .最初发现早在公元前5世纪-公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数 学家提出了 “化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意 角”三大不可能尺规作图问题.化圆为方问题一一作一个正方形使其具有给定圆的面积. 立方倍积问题一一作一个立方体使其具有给定立方体两倍体积. 三等分任意角问题一一把一个给定的角分为三个相等的角.欧几里得（公元前330-公 高斯（1777年-1855年， 元前275,古希腊数学家）德国数学家，物理学家）I教师附加介绍：这些问题在两千多年的时间里，有多数学大师研究过，比如早到欧几里

8、得，晚到高斯.直至 19世纪，这三个作图问 题才被最终证实为不可能只用圆规和直尺作出.不知什么缘故，数学的美不在乎它的答案而在于它的方法，“不可解”似乎像是一个令人失望的答案，然而得到这一结论的思维过程却是极具魅力的， 人们屡遭失败之后， 一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑跳出尺规作图的框框，而是借助于另外一些曲线，是不是可解决这些问题呢？我们今天学习的圆锥曲线，就是从这里开始被发现的。圆锥曲线的发展史:1 .最初发现一 一”公元前4世纪古希腊数学家梅内克缪斯在在研究“立方倍积”问题 ，用平面截不同的圆锥，发 现了圆锥曲线.梅内克缪斯（公兀前当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，

9、375-公兀前325,古上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得希腊数学家）至ij,这就是圆锥曲线的“雏形”.教师附加介绍：不同的圆锥是轴截面顶角分别为直角， 锐角和钝角， 但都是拿和母线垂直的平面截圆锥， 从而形成不同的曲线，这就是 圆锥曲线的“雏形” .2.奠基工作的发展史为主线， 在其中创设各种 情景，引导学生进 入圆锥曲线的学 习1 .由第一个环节 “最初发现”中的古老问题的提出 来介绍圆锥曲线 的发现，即增加了 学生的兴趣和探 索欲望，又能让学 生感受到数学发 展过程中的魅力.2.引出圆锥曲线 的“雏形”为了 让学生明白探知 的过程，进一步激 发学生的好奇和 兴趣.为下一步的“圆锥曲线”的

10、 定义做好铺垫.3.总结古希腊对圆锥曲线的发展史:阿波罗尼的著作圆锥曲线论与欧几 里得的几何原本同被誉为古希腊几 何登峰造极之作，它将圆锥曲线的性 质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余 地.2 .奠基工作圆锥曲线的认识， 说出不足，为学生 以后用解析的方 法进一步学习圆 锥曲线的理由顺 理成章.阿波罗尼（约公元前 262190年，古希腊数 学家，与欧几里得、阿 基米德齐名.）总而言之，在古希腊对圆锥曲线的 研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由 于没有坐标系统，所以在表达形式上存 在着不容忽视的缺陷.4.创 设情 景，突 破概 念（一）1.实验：利用手机中的闪光灯，绕线筒和纸板，把光线投影到纸板观察

11、影子的变化师生活动：让学生参与，看到现象，探究原因.这里学生很容易认识到这个模型 ，把圆和椭圆说出，但是对于抛物 线和双曲线的形成和位置的判别不太清楚 .这没有关系，等下还有 定性分析.2.探讨问题1:用过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？师生活动：学生很容易回答 “点”，容易忽视“两条相交直线”问题2:用不过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？师生活动：学生也很容易回答出“圆”思考：当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，还能得到哪些不同的截线？师生活动：通过学生上台来控制动画，直观认识不同平面截圆锥 得出的曲线1 .学生对手机和 绕线筒非常熟悉， 这个试验马上能 引起学生注意，也 定会感

12、叹设计的 巧妙和数学的无 处不在.2 .利用身边的实 物来做个试验，揭 示三种曲线的形 成，但对抛物线和 双曲线的显示不 足,这为我们下面 的定性分析做了 铺垫3.从特殊位置考 虑，培养学生分类 讨论的思想，提高 数学的严密性.4.学生先有直观 感受，让学生动手 实验，通过自主探3.定性的分析总结： 圆锥曲线的定义索活动，让学生参 与到教学活动的 全过程中来，体现 学生参与的主体探讨用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个圆锥面，当平面与圆锥面的所成角 e与轴截面顶角的半角 a大小关系不 同时，截线的不同情况如下： 一%（1）椭圆（2）双曲线（3）抛物线椭圆、双曲线及抛物线统称为圆锥曲线.教师的讲解

13、要清地位，使学生手， 脑，口并用，主动 地获取知识，培养 学生自主探究学 习的能力5.重点的突破在 这里显得很自然， 但是对于学生理 解上还是有f 难度，教师要注意 好这个环节.师生互动：这里对学生而言埋解会有一定的困难 晰，细致，不要着急.5.创1.回到圆锥曲线的发展史，阐述阿波罗尼对椭圆的研究发现1.利用史料和传设情 景，突 破概 念 （二）圆锥曲线的发展史：椭圆：1,椭圆上任意一点M有|MF1| 十|MF2| =数,（F1,F2 为定点，阿波罗尼约/日?后人称为焦点，常数FF2|）262190年，古希腊数1 21学家，与欧几里得、阿基米德齐名.）说小故事，弓1出椭 圆的画法，能提高 学生

14、学习的兴趣 和积极性，又能普 及数学史培养正 确的价值观.2.联系中国古代的事物和数学家的介绍 ,用一个刘徽传授椭圆画法 的传说故事和自述的 “木工师傅做椭圆镜框” 一小故事来引出椭圆 的画法.2.在处理画椭圆 的环节，创造条件 让学生亲自动手 回出椭圆，并安排 了一系列情节引 导学生在操作过 程中注意细节，鼓刘徽（约公元225295, 魏晋期间伟大的数学家， 他的杰作九章算术和海岛算经，是中国最 宝贵的数学遗产.）励学生通过动手 实验、独立思考、 相互讨论等手段 得出结论，鼓励学 生表达自己的见 解.3.有意安排画出 不同的椭圆为随 后的椭圆的性质 研究累计素材.还 安排一种特殊情 况让学生

15、自己发 现并提出问题，加 深学生的印象，培 养学生思维的严 密性.3 .画椭圆学生分组利用纸板，钉子和绳子来动手自己画椭圆.引导学生在画的过程中要注意的细节，如绳子要绷直，两个钉子要稳定等细节.安排其中一个组领到的纸板上两个钉子的绳子已经是绷直的.在教师展示其他组画的不同形状的椭圆时，这个组的成员会提出问题：老师，我们组的画不出椭圆，而是画出了一条线段.借此教师那那组的纸板加以解释，当绳子的长度和两个定点距离相 等时，画出的只是一条线段，继续提问，当绳子的长度小于两个定点的距离呢？学生马上反应过来，这时应该画不出任何图形.4 .总结：椭圆的定义：4.学会有数学语 言来描述定义.一般地，平面内到

16、两个定点 F1 , F2的距离的和等于常数（大于 F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点 F1 , F2叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .用数学表达式体现：MF1 - MF2 =2a（2a . F1F2）对为什么用2a的表示常数，我们后面会知道它的作用 （为求标准方 程打下基础）5 .论证：论证在圆锥截出的椭圆就是我们画出来 的椭圆5.这个环节对学 生而言有一定难 度，对空间立体几 何的认知要求颇 高，是本节课的一 个难点.在圆锥曲线的众多研究者中，19世纪的法国数学家 Dandelin是非常著名的一位.19世纪初，法国数学家Dandelin利用与圆锥面和截面均相切的两个球

17、（Dandelin双球），给出了研究椭圆定义 的一种巧妙的方法.Dandelin在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切（切点分别为Fi , F2）,且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆。和圆O.设点Ml是平面与圆锥面的截线上任一点，过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O和圆O于P, Q两点.问题1:图中所示线段之间的长度有什么关系？学生：因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以MF=MPMF=MQ故 MF+MF=MP+MQPQ问题2: PQ长有什么特点.（学生思考，教师展示 M点在截线上运动时的动画.）学生：PQ常数.总结：截线上任意一点到两个定点 Fi , F2的距离的和等于常

18、数.就是我们刚刚画的椭圆的定义 .例.已知？ABC中，B （-3, 0）, C （3, 0）,且 AB, BC, AC成等差数 列.试问：点A在一个什么样的圆锥曲线上运动？说明理由教师巡视学生作答情况，并要学生作答，注意答题细节6 .类比学习思考：当平面上的点M满足MF1 -MF2 =常数（F1, F2为平面上的两个定点）时，M将是什么样的轨迹呢？/L人引入拉链和双曲线继续以动画为载体，演示拉拉链这个实验，在这个过程让学生发现 问题，并加以总结.例1.如图,取 一条拉错.打 开它的一部 分,在一边减 掉一段.赭后 把两头分别固 定在点两点, 随着拉血逐渐 粒开或者闭 桂，庄城头所 经过的点就画

19、 出一条曲线一6.这个环节能让 学生体会到从空 间事物抽象到平 面的一个过程，有 利于培养学生的 转化能力.小试牛刀，熟悉定 义下一 步8.这里安排利用 拉链实验类比推 理出双曲线的定 义，不但加深了椭 圆定义的理解和 记忆，也为以后由 椭圆类比学习其 他曲线埋下伏笔 和打下基础.9.再次利用动态 事物帮助学生理引导学生从实验抽象出数学性质解轨迹的形成10.注意双曲线的 两支.培养学生 的学习能力，让他 们学会归纳，学会 学习。7.由学生类比总结出双曲线定义：一般地，平面内到两个定点 F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于F1 F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1 ,6.回

20、归数 学史叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 用数学表达式体现:|MFi - MF2 |= 2a（0 ：二 2a :二 F F?）提示学生同样要注意这个定义成立的条件圆锥曲线的发展史:PPT展示结合教师的讲评3 .长期停滞又经过了 500年，到了 3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作汇 篇中，才完善了关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了 证明。这时，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了在这之后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究几乎没有 什么进展.4 .有所突破有两件事促使人们对圆锥曲线的进一步研究1.感受数学发展 的漫长和艰辛.圆锥曲线的发展史：2.鼓励学生敢于

21、 探索，敢于突破.4,有所突破德国数学家开普勒继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道绕圆锥曲线的发展史:4.有所突破5.别开生面伽利略得出斜抛运动的轨道是抛物线， 突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古 希腊人的证明方法太缺乏一般性，几乎每个 定理都是要想出一个特殊的证明方法.于是,对圆锥曲线的处理方法开始有了变化.伽利略 （1564-1642, 意大利数学家、物理 学家、天文学家）圆锥曲线的发展史：5 .别开生面解析几何的创立，使人们对圆锥曲线的 研究方法不同于以前，而是朝着解析方法的 方向发展.即建立坐标系，得出圆锥曲线的方 程，再利用方程研究圆锥曲线的性质，以摆 脱几何直观而达到抽

22、象化的目标，也可以求 得对圆锥曲线研究的高度概括与统一.在这方面，笛卡儿等解析几何的鼻祖作出了巨大的 贡献.笛卡尔 （ 1596-1650 ,法国数学家、物理学家，解析几何创始人）4.由“别开生面” 这个阶段，介绍我 们为什么学习解 析几何，了解其由 来，为后面建立坐 标系到求标准方 程，再来研究其性 质这个过程做了 个很好的铺垫.5.这个是离我们 实际最近的一个 阶段，也是和我们 生活最紧密的一 个阶段，再次拿出 一些我们现实生 活中的圆锥曲线 让学生再次体会 数学的实际应用圆锥曲线的发展史:6 .系统总结18世纪，牛顿、伯努力和等先后提出不同的坐标系，尤其影 响深刻的是极坐标系，随着坐标系

23、的系统化，关于圆锥曲线性质 研究逐渐系统化起来.牛顿（1643-伯努利 （1623-1727,英国物理学1708,瑞士数学家，数学家）家）6.这里还讲了个 关于欧拉的小故 事，培养学生学习 数学的意志品质圆锥曲线的发展史:欧拉 （ 1707-1783 ,瑞士数学家、自然科学家）欧拉1745年发表的分析引 论，被誉为解析几何发展史 上的重要著作，系统地研究了 圆锥曲线的各种情形，并证明 通过坐标变换，一定可以把任 何圆锥曲线化为某种标准形式欧拉之后，三维解析几何的研究 蓬勃开展，由圆锥曲线导出了圆 锥曲面.至此，关于圆锥曲线的理 论被广泛应用，直至今天.“嫦娥一号"探月变轨轨道图,二

24、_ 二”工2叫、n火电厂及核电站的冷却塔冷却塔的轴截面是 双曲线，从底部到中部直径变小，是将 蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可以降 低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽 可能的留在塔内，提高冷却回收率 .7 .小结8 .作业小结:和学生一起小结通过本节课的学习，你了解到什么？1 .在AABC中，BG2, | AB AC |=1 ,那么点 A在怎样的曲线 上运动？2 .已知 MBC中，BC长为6,周长为16,那么顶点A怎样的曲线 上运动？3 .如图，圆F1在圆F2的内部，且点F1, F2 不重合.求证：与圆F1外切，且与圆F2内切的圆的圆 心C的轨迹是椭圆.4 .（探究题）将一个半径为 R的篮球放在地进一步巩固课题 的重，难点。让学 生在作业中中发 现不足、弥补不 足，加深对知识理 解，真正把学到的 知识转化成能力。面上，被阳光斜照留下的影子是椭圆 .如果将光源换成电光源， 那 么影子可能是抛物线吗？精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获 . 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；