【三维设计】2013届高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第二章 函数与方程教学案（含解析）新人教A版

1、第九节函数与方程知识能否忆起1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc (a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数

2、yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法小题能否全取1(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()答案：C2若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0,2B0，C0， D2，解析：选C2ab0，g(x)2ax2axax(2x1)零点为0和.3(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析：选C设函数f(

3、x)exx2，从表中可以看出f(1)f(2)0，因此方程exx20的一个根所在的区间为(1,2)4用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(填区间)解析：由f(2)f(3)0可知x0(2,3)答案：(2,3)5已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)x2xa在(0,1)上有零点f(0)f(1)0.即a(a2)0，解得2a0.答案：(2,0)1.函数的零点不是点：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函

4、数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标2对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(a)f(b)0.函数f(x)在R上单调递增f(1)e1(1)45e10，f(0)30，f(1)e14e30，f(1)f(2)0，故零点x0(1,2)答案C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点以题试法1(2013衡水模拟)设函数yx3与yx2的图象交

5、点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选B设函数f(x)x3x2，f(1)f(2)0，且f(x)为单调函数，则x0(1,2)判断函数零点个数典题导入例2(1)(2012北京高考)函数f(x)xx的零点的个数为()A0B1C2 D3(2)(2012北京东城区模拟)已知函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数是()A4 B3C2 D1自主解答(1)在同一平面直角坐标系内作出y1x与y2x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)xx只有1个零点(2)由f(f(x)10可得f(f(x)1，又由f(2)f1.可得f(

6、x)2或f(x).若f(x)2，则x3或x；若f(x)，则x或x，综上可得函数yf(f(x)1有4个零点答案(1)B(2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数以题试法2(2012湖北高考)函数f(x)xcos x2在区间0,

7、4上的零点个数为()A4 B5C6 D7解析：选C令xcos x20，则x0，或x2k，又x0,4，因此xk (k0,1,2,3,4)，共有6个零点函数零点的应用典题导入例3(2011辽宁高考改编)已知函数f(x)exxa有零点，则a的取值范围是_自主解答f(x)exxa，f(x)ex1.令f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是增函数故f(x)minf(0)1a.若函数f(x)有零点，则f(x)min0，即1a0，得a1.答案(，1若函数变为f(x)ln x2xa，其他条件不变，求a的取值范围解：f(x)ln x2xa，f(x)2.令f(x)0，得x

8、.当0时，f(x)1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.2设f(x)x3bxc是1,1上的增函数，且ff0，则方程f(x)0在1,1内()A可能有3个实数根B可能有2个实数根C有唯一的实数根 D没有实数根解析：选C由f(x)在1,1上是增函数，且ff0，f(3)0，f(5)0，所以y2x没有零点，同样y2x也没有零点；f(x)xx1，当x0时，f(x)2，当x0时，f(x)2，故f(x)没有零点；令f(x)xx10得x1，故选D.5(2012北京朝阳统考)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,

9、3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：选C由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解之得0a3.6(2013哈师大模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2，函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点个数是()A5 B7C8 D10解析：选C依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象，结合图象得，当x5,5时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点个数是8.7用二分法研究函数f(x)x33x1的零

10、点时，第一次经计算f(0)0可得其中一个零点x0_，第二次应计算_解析：因为f(x)x33x1是R上的连续函数，且f(0)0，则f(x)在x(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号答案：(0,0.5)f(0.25)8若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)的零点个数就是函数yax与函数yxa的图象交点的个数，易知当a1时，两图象有两个交点；当0a1时，两图象有一个交点答案：(1，)9(2013南通质检)已知函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是_解析：因为(1k)24k(1k)20对一

11、切kR恒成立，又k1时，f(x)的零点x1(2,3)，故要使函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)f(3)0，即2k3.答案：(2,3)10已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0，则应有f(2)0，又f(2)22(m1)21，m0)的解集为P，则P中所有元素的和可能是()A3,6,9 B6,9,12C9,12,15 D6,12,15解析：选B如图，函数y|x26x|的图象关于直线x3对称，将直线ya从下往上移动可知：P中所有元素的和可能是6,9,12.2已知函数f(x)满足f(0)1，且

12、f(0)2f(1)0，那么函数g(x)f(x)x的零点个数为_解析：f(0)1，c1.又f(0)2f(1)0，f(1)1b1，得b.当x0时，g(x)2x20有唯一解x1；当x0时，g(x)x2x1，令g(x)0，得x2(舍去)或x，即g(x)0有唯一解综上可知，g(x)f(x)x有2个零点答案：23已知二次函数f(x)ax2bxc.(1)若abc，且f(1)0，试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x1，x2R，且x1bc，a0，c0，即ac0，方程ax2bxc0有两个不等实根，函数f(x)有两个零点(2)令g(x)f(x)f(x1)f(x2)，则g(x1)f(x1)f(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)0.g(x)0在(x1，x2)内必有一实根即f(x)f(x1)f(x2)在(x1，x2)内必有一实根1对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间Ma，bD(ax，故函数f(x)2x不存在等值区间；由于x3x有三个不相等的实根x11，x20，x31，故函数f(x)x3存在三个等值区间1,0，0,1，1,1；由于sin xx只有唯一的实根x0，结合函数图象，可知函数f(x)sin x不存在等值区间；由于log2x1x有实