人口增长模型一

1、差分方程建模示例1:人口增长模型 Malthus Malthus 模型模型 设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人口数成正比,从而xn+1 xn r xn即 xn+1 = a xn其中 a=r+1. 这是一个如下线性线性映射的迭代 f (x) = a x从而 xn= a xn1= a2xn2 = an x0 Malthus的结论：人口增长呈几何级数 约35年增加一倍，与17001961年世界人口统计结果一致 与近年统计结果有误差，由a 1,xn趋向无穷，模型在人口长期预测方面必定是失效的. Logis

2、tic Logistic模型模型 生存资源是重要的因素，修改的模型为：xn+1 xn= r xn b xn2其中 b xn2为竞争或约束项，r、b 称生命系数记a=r+1，那么 xn+1= a xn- bxn2数据观察数据观察 (迭代计算与国家统计局发表数字比较)基本接近存在极限值这是一个如下非线性映射的迭代 f(x)=ax-bx2四问题的讨论和分析 Logistic Logistic映射映射通过变量代换简化为logistic 映射 f(x)=a x(1- x)， x在0,1内变化相应的迭代为 xn+1=a xn(1-xn) 从0,1内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成了一个序列，即

3、xn=f n(x0), n = 0,1,2,序列xn称为x0的轨道轨道 数值迭代数值迭代1倍周期分叉现象 当0a 1时，由于0 xnaxn+1 xn 0 物种逐渐灭亡 当1a3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于 x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点(周期1点)例：a=1.5时 xn 1/3.两个不动点x1*, x2* ,一个稳定(吸引),另一个不稳定，轨道xn趋向稳定点 这两个数满足 当3a1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动, 例a =3.2 x2k-1 0.799455 x2k o.513045 当1+61/2a3.5440903506时,

4、 从任意的点x0出 发的轨道将逐渐沿着四个数值振动例a=3.45 x4k 0.44391661 x4k+1 0.84768002 x4k+2 0.44596756 x4k+3 0.85242774也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期点失稳)(),(2xfxxfx这四个数满足),(),(),(),(324xfxxfxxfxxfx称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点又失稳) 若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依次出现周期16点，周期32点. ，(请考虑什么是周期n) 这种过程称为倍周期分叉倍周期分叉.相应的分叉值c1=

5、3, c2=1+61/2构成一个单调增加的数列ck.其极限值为c*=3.569945557391。分叉值如何求? 任务：求分叉值和画分叉图依赖于数值方法2浑沌与遍历性 当c*a4时，Logistic映射进入浑沌区域.反映出的是： 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何一个子区间(a,b)内都会出现无数次.这是浑沌的 敏感性： 轨道表现出对初始条件的强烈敏感性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的轨道也终将以某种方式分离. 存在周期小窗口 浑沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如a3.835附近 Feigenbaum常数 比值(ck-c

6、k-1)/(ck+1-ck)在k 趋于无穷时，趋于常数 q =4.6692016这常数的意义在于普适性，例如周期3窗口也适用，还适用其他映射任务：验证遍历性、敏感性 周期3窗口的分叉、(结合Feigenbaum常数 )五. 图象方法 蛛网迭代蛛网迭代 在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作抛物线弧： xn+1a xn(1- xn) 作图的过程 任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代的数值序列xn,从而也通过图象直观地看出由 x0出发的轨道的变化. 这作图的过程颇象蜘蛛织网,故称为蛛网迭代蛛网迭代. 1a3 从(0,1)中任何初值出发的轨道趋向不动点 (周期1点) 3a61/2

7、+1 从任何初值出发的轨道趋向周期2点61/2+1a 3.54409035从任何初值出发的轨道趋向周期4点 a=3.58轨道进入浑沌状态 a= 4 轨道的浑沌性表现充分 蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节 密度分布图密度分布图 密度 从一个初始点 x0出发，由迭代所 产生的序列xn (n一般很大)在区间 0,1上的概率分布密度. 具体算法 将0,1区间分成m个长度为h=1/m的小区间，序列xnnN=0 落在各个小区间ih,(i+1)h的个数为ki,则该序列落在各小区间的概率（即密度)为pi=ki/N i=0,1,2,m 密度图 横轴为区间 0,1, 纵轴

8、为概率 p.每个小区间上的细柱线的高度等于该区间上密度 a=3.2 (m=100 N=10000 x0= 0.1) a=3.45(这是周期4情况)(这是周期2情况) a=3.55(周期8的情况) 以上密度图显示在 0ac*的情况下,xn只有极少数落在周期点以外的小区间,而最终以几乎相等的概率落在周期点所在的小区间。 a=3.6(进入浑沌区) (最浑沌状态) a= 4任务：用蛛网迭代的方法在计算机上作图, 考察Logstic映射在a逐步变化时由同 一点出发的轨道情况.任务：用密度图的方法在计算机上作图,考 察Logstic映射在a逐步变化时由同一 初值点出发的xn的分布.考察映射1 , 0),sin()(xxf进一步的任务 试考察当a逐渐增大时, 有没有倍周期分叉情况出现? 求出第一个分叉值和第二个分叉值 利用Feigenbaum常数估计第三个分叉值和浑 沌可能在何时出现 验证第