第二讲 实数（一）-2024-2025学年八年级数学北师大版上册

PAGEPAGE5第二讲实数一、知识梳理（一）平方根:如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根），就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根.这里，a是x的平方数，它是一个非负数，即a≥0。1．平方根的表示方法: (1)当a>0时，a的平方根记为±；(2)当a＝0时，a的平方根是，即＝0；(3)当a<0时，a没有平方根.2．平方根的性质:一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它就是0本身；负数没有平方根.3．算术平方根:正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0.4．算术平方根的性质:非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，≥0.5．开平方:开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫被开方数。平方与开平方互为逆运算.6．(1)()2＝a，(a≥0)(2)（二）立方根：若，则x叫做a的立方根；每个实数都有一个立方根，记作1．立方根的性质：(1)正数有一个立方根，仍为正数；(2)零的立方根是零；(3)负数有一个立方根，仍为负数。2．开立方：正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算.求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数。3．(1)(a>0),(2)(3)（三）实数：1．有理数：整数和分数统称有理数。有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。2．无理数：无限不循环小数叫做无理数。无理数必须满足三个条件：①小数；②是无限小数；③不循环，三者缺一不可。3．有理数和无理数统称为实数.4．实数的分类：二、重难点突破1、重点：（1）平方根和立方根的概念。（2）开平方、开立方的书写步骤。2、难点：（1）算术平方根；（2）解方程中解的个数；（3）根式是否有意义。三、典例剖析专题一：无理数的产生例1：（无理数）将下列各数填在相应的大括号内：0；π；；3.14；；；；；整数集合{}；分数集合{}；负数集合{}；无理数集合{}；【变式】在数0.222；－；2.110110110…；π-3；－；1.1351335…；3.1416；；(－1)2；－1.424224222…其中无理数的个数为（）。 A．1个 B.2个 C.3个 D.4个专题二：平方根、算术平方根、立方根求解例2：求下列各题。(1)的平方根是_________； (2)(－)2的算术平方根是_________； (3)－512的立方根是_______；(4)的算术平方根为_________；例3：求下列各式的平方根和算术平方根。 （1）36； （2）2； （3）10－4； （4）|－|；例4：求下列各式的立方根。（1）216；（2）－0.729；（3）；(4)0【变式】(1)a的平方根是,则a=________； (2)a的算术平方根的平方根是，则a=__________；(3)一个数的立方根的算术平方根为2，则这个数为__________；(4)一个数的算术平方根的立方根为，则这个数为__________；

专题三：根式的化简例5：计算下列各题（1）=_____；（2）=____；（3）=______；（4）=____；（5）=_____；（6）=____；（7）=_______;（8）=_____；（9）()2＝_____;(a≥0)（10）=_____；(11)=______;(12)=_____.【变式】化简下列根式：（1）=（2）=（3）=(4)=(5)=(6)=专题四：根式的意义例6：若有意义，则x的取值范围是____________..例7：若有意义，则的值是_____.【变式1】.（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）的算术平方根是a，（4）的算术平方根是，（5）算术平方根不可能是负数，正确的个数有____________个。【变式2】若｜x－4｜+=0,那么x=________,y=_________.【变式3】（2011成都中考）在函数自变量的取值范围是(A)(B) (C)(D)专题五：根式在解方程中的运用例8：求下列各式中的x:（1）2(x2-1)＝30；（2）（x+1）2＝49（3）=－2 （4）27(x+1)3+64=0专题六：根式拓展运用例9：6．若m<0，则m的立方根是（）A. B.－ C.± D.◆变式拓展训练◆【变式1】求的值为【变式2】一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则这个数为多少？【变式3】已知y＝2003－2004，求的值.四、创新探究（名校、名书、名题、中考、培优、竞赛）1．（成都）在函数中，自变量x的取值范围是。2.（培优）已知3x+1的平方根为，则9x+19的立方根为。3.（西川）若和互为相反数，求的平方根。4.（七中嘉祥）已知2a－1的平方根为±3，3a＋b－1的算术平方根为4，求a＋2b的平方根。5．（培优）已知是m的立方根，而是x的相反数，且m=3a-7，求x与y的平方和的立方根。6.（培优）已知的值。第一部分：1．下列数中是无理数的是（）A.0.12 B. C.0 D.2．一个正偶数的算术平方根是m，则这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A.m+2 B.m+C. D.3．下列说法中，正确的是（）A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，14．判断下列各题的正误。（1）有理数包括整数、分数和零。（）（2）无理数都是开方开不尽的数（）（3）不带根号的数都是有理数（）（4）带根号的数都是无理数（）（5）无理数都是无限小数 （）（6）无限小数都是无理数（）第二部分：5．若，则6．若x<0，则=,=_.7.★若有意义，则x范围是;8.★当x=____