创意平板折叠桌最优设计模型

1、创意平板折叠桌最优设计模型摘要本文通过对平板折叠桌折叠变化的探究，得出折叠桌的重要参数，折叠桌模型的建立与求解，以及对不同形状的折叠桌的设计参数。针对问题一：由于对折叠桌整体不容易描述，所以将整体的变化过程转化成容易描述的钢筋上，对钢筋的动态进行描述钢筋是以31.2cm为半径，钢筋坐标从位置至位置，对于桌脚边缘线的描述因为空间的曲线不好描述，所以将此曲线分别投影到坐标面与坐标面上进行描述，最后得到参数方程为： ，其中针对问题二：建立坐标系，根据几何关系列出方程组，然后根据模型的稳固性好，用材最少，加工方便列出约束条件及目标函数，最后用lingo10优化出最优结果，当桌面圆的直径为，高为时，代入

2、上面的模型用lingo10优化得平板的尺寸为 钢筋位置为距离圆心处。针对问题三：折叠桌设计软件其计算方法与问题二大致相同，本模型以桌面形状是椭圆为例，给出其八张折叠过程中的动态过程图，给出椭圆的长轴长为，短轴长为，条宽固定为，高固定为，可求出重要参数矩形平板的尺寸为 ，钢筋的位置在距离椭圆中心44.7cm的位置。关键词：折叠桌 投影 拟合 lingo10 优化 1.问题重述随着社会的发展，房价的升高，造型美观、节约空间、形状各异的折叠桌随处可见。现已知一折叠桌桌面呈圆形，桌腿木条分成两组分别用2根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿最外侧的两根木条上，沿木条有空槽保证可以滑动，桌腿随着铰链的

3、活动可以平摊为一张长方形平板。现已知一长方形平板的尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽为2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。要求建立数学模型描述此折叠桌的动态变化过程，并给出此折叠桌的设计加工参数和对桌脚边缘线进行数学描述。另外，对于任意给定折叠桌的高度和圆形桌面的直径，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数（平板尺寸、钢筋位置、开槽长度）。要求做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。并对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的具体情形，确定最优设计加工参数。最后，为了满足更多类型人群的需要，要求通过建立数学模型，设计

4、出一款软件，使得可以按客户需求任意设定折叠桌的高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。在此基础上给出几个自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。 2.问题分析2.1问题一的分析由于连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，并且在折叠过程中，钢筋在空间中只做平行移动，不会发生旋转，所以，我们可以在建立适当空间直角坐标系的基础上，用钢筋所在直线的运动轨迹来描述折叠桌的动态变化过程。图1：桌子锯齿形边界尖点的连线另外，通过对所给示例图的观察，我们可以假设桌子锯齿形边界尖点的连线为

5、圆形，如图1中红线所示。进一步根据平板的宽度合理假设出中间长条形桌腿对应圆桌部分的长度，然后利用平面几何知识，可以求出对应每一条桌腿的圆桌部分的长度，由此确定折叠桌边缘一系列折点的坐标。对于每根桌腿木条开槽长度的确定，首先，在平板形状时，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，钢筋与内侧每根桌腿木条的交点即为靠近圆桌方向的一个开槽端点，它们与相应折点的距离很容易得到；当折叠桌形成以后，钢筋与内侧桌腿的交点即为远离圆桌方向的一个开槽端点，并且由于它们都位于钢筋所在的直线上，容易求取每个点的坐标，然后，由两点间的距离公式求出它们与相应折点的距离；以上两个距离相减可得每根木条的开槽长度。折

6、叠桌成形以后，在已知每根桌腿的折点和开槽远端点的基础上，可以求出每根桌腿所在直线的方程，然后结合桌腿的长度可以求出桌脚点的坐标，将这些点分别投影到两个坐标面上，利用MATLAB拟合出投影点在相应平面上的曲线方程，最后，合成桌脚边缘线的空间直线方程。2.2问题二的分析题中要求我们对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径得出长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。对于平板材料可以用第一问中的材料和木条宽度。而最优加工参数的求解我们需要建立模型找出体现稳固性好、加工方便、用材最少的目标函数和约束条件然后用lingo10求其最优解。然后再对题中具体的数据：桌高.桌面直径的情形代入模型求其对应的最优加工

7、参数。2.3问题三的分析对于问题三：我们根据客户折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状我们就可以求出所任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数,使得生产的折叠尽可能满足客户需求。即我们要建立模型：客户给出需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。3.问题假设(1)钢筋不会变形；(2)长方形的宽度是圆的直径;(3)平铺时木条之间没有间隙;(4)题中将木条宽度默认为(5)桌面的厚度默认为3。4.符号说明(cm)：第根桌腿的长度； :第根桌腿折叠点坐标；(cm)：第根桌腿开槽内端点与对应折叠点间的

8、距离;(cm): 第根桌腿开槽外端点与对应折叠点间的距离;5.模型的建立与求解5.1 空间直角坐标的建立 为了方便描述，我们忽略长方形平板的厚度，把它看成一个平面，以平板的中心为原点，长边方向为轴，短边方向为轴，垂直平板向上方向为轴正方向，其中坐标面具体情况如图2所示。并且假设桌子锯齿形边界尖点的连线为圆形。1钢筋 图2：坐标面5.2 问题一5.2.1折叠桌的设计加工参数给定长方形平板的尺寸为120cm50cm3cm，每根木条宽为2.5cm，则一共有20根桌腿木条，根据圆桌的对称性，以下建模过程中我们可以只讨论部分10根桌腿木条的数据，则其他三个部分的数据对应可得。 12345678910图3

9、：桌腿从里向外依次编号首先，如图3所示，我们将这10条桌腿从里向外依次编号为第根，且以每根桌腿外侧边缘线上的数据来计算这根木条的设计加工参数。由于桌面呈圆形，且平板宽度为50cm，所以我们不妨设第根桌腿对应锯齿形边界尖点（桌腿折叠点）的坐标为，由此可得圆桌半径cm，设第根桌腿对应锯齿形边界尖点的坐标为，则，第根桌腿的长度可由公式求出。由于连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧(第10根)木条的中心位置，平板形状时钢筋与每根桌腿的交点即为开槽的内端点，它们与对应折叠点间的距离可以由公式得出。此时，钢筋所在空间直线的一般式方程为。图4：折叠桌成形后桌腿的平面折叠桌成形以后，每一对桌腿所在的平面应该都垂

10、直于轴（如图4所示），并依次相差一个木条的宽度2.5cm。其中蓝色梯形上的点是此时钢筋与最外侧第10条桌腿的交点，它位于桌腿的中心位置。由于我们把平板的3cm厚度忽略不计，所以此时折叠桌的高度应该由53cm变为50cm，由几何知识易得点坐标为。此时，钢筋所在的直线仍然平行于轴，一般式方程为，它与第根桌腿的交点即为开槽的外端点。结合两点间的距离公式可以求出第根桌腿开槽外端点与对应折叠点间的距离(cm)，则()(cm)即为第根桌腿的开槽长度。2以上数据见表1所示（保留小数点后一位）。表1 折叠桌的设计加工参数(cm)：第根桌腿的长度； :第根桌腿折叠点坐标；(cm)：第根桌腿开槽内端点与对应折叠点

11、间的距离;(cm): 第根桌腿开槽外端点与对应折叠点间的距离;()(cm)：第根桌腿开槽长度第根桌腿12345(cm)3535.4363738.2开槽外端点坐标(cm)26.326.226.225.825.5(cm)6.36.77.38.39.52019.518.917.516第根桌腿678910(cm)39.94244.848.857.5开槽外端点坐标(cm)25.225.025.025.628.8(cm)11.213.316.120.128.81411.78.95.505.2.2 折叠桌动态变化过程描述在折叠过程中，钢筋在空间中只做平行移动，不会发生旋转，所以，我们用钢筋所在直线的运动轨迹

12、来描述折叠桌的动态变化过程。由5.2.1中的数据可知，当钢筋沿以轴为旋转轴，半径为31.2cm的圆柱面，从直线平行移动到直线时，折叠桌完成从平板到桌子的变形。5.2.3 桌脚边缘线的参数方程要想描述桌脚边缘线的形状，首先我们来求每个桌脚点的坐标，以最里侧第1根桌脚木条为例。当折叠桌成形以后，第1根桌腿折叠点和第1根桌腿开槽外端点的连线，即为第1根桌腿所在的直线，方程为；此时，要求第1根桌腿桌角点的坐标，就转化为了如下数学问题：当时，在直线上找一点，使得它到（第1根桌腿折叠点的坐标）的距离为35（第1根桌腿的长度）。利用高等数学知识求解可得此点坐标为，同理可得其它每个桌脚点的坐标见表2所示。表2

13、：桌脚点的坐标第根桌脚点1234坐标第根桌脚点5678坐标第根桌脚点910坐标我们把每根桌脚点分别投影到坐标面和坐标面，得其投影点坐标见表3。表3：投影点坐标第根桌脚点12345面投影坐标面投影坐标第根桌脚点678910面投影坐标面投影坐标 利用投影点坐标对坐标以及坐标进行二次拟合，得桌脚边缘线的参数方程：，其中（拟合程序及图见附录1）。5.3 问题二本问要求在考虑折叠桌稳固性、加工方便、用材最少等因素的前提下，对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，给出长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。设长方形平板的长、宽、高分别为cm、cm、cm，折叠桌高度为cm，圆形桌面直径为cm，每

14、根木条的宽仍取cm。记表示桌腿木条的根数，则考虑用材最少时，则。折叠桌的设计加工参数表达式当为偶数时，根据对称性，只考虑的情况，则设计加工参数的计算方法与5.2.1中基本相同。（1）从里向外第根桌腿对应锯齿形边界尖点（桌腿折叠点）的坐标为，第根桌腿的长度可由公式求出。（2）设折叠桌平铺时钢筋所在直线方程为，由于平板形状时钢筋与每根桌腿的交点即为开槽的内端点，它们与对应折叠点间的距离 得。（3）折叠桌成形以后，每一对桌腿所在的平面应该都垂直于轴（如图4所示），并依次相差一个木条的宽度2.5cm。此时，钢筋所在的直线仍然平行于轴，一般式方程为，它与第根桌腿的交点即为开槽的外端点。结合两点间的距离公

15、式可以求出第根桌腿开槽外端点与对应折叠点间的距离(cm)，则()(cm)即为第根桌腿的开槽长度。（4）由常识可知折叠桌的稳固性与桌腿最外侧的一根木条的倾斜角密切相关，倾斜角较小时折叠桌能承受的压力小容易复原，倾斜角大于时容易推倒。因此我们认为倾斜角在范围内稳固性比较好。加工方便要求木条开槽长度在满足要求的情况下最短。（5）我们以开槽长度之和最短为目标函数建立优化模型：min： 当桌面圆的直径为，高为时，代入上面的优化模型，使用lingo10程序（见附录2）优化得平板的尺寸为 钢筋位置为距离圆心，开槽长为见下表4： 表4：每根木条开槽长度（cm）条数12345678槽长20.820.720.52

16、0.320.019.619.118.5条数910111213141516槽长17.716.615.313.711.68.74.50桌腿的长度见下表5：表5：桌腿的长度（cm）条数1234567832.632.833.233.834.535.436.537.9条数91011121314151639.441.343.54649.253.158.672.5由表5可以看出桌子最外侧的桌腿的长度是72.5即这根木条是一分两半的我们可以不要以便达到用料最少，此时的平板的尺寸为。（6）当为奇数时，思路及方法相同，只不过需要将桌面圆上每根木条的外尖点的坐标改为。其他都不变。5.4 折叠桌模型的开发与应用5.4

17、.1 模型的建立（1）客户的需求。因为现实生活中客户要求的图形多种多样形状不一，有的是规则的形状可以用一个方程式表示有的是不规则的可以用多个方程式表示，但总体思路和求解过程和上两问一样只不过改一下图形方程表达式即桌面上木条的截点的变化。（2）设图形的方程。因不同客户要求的桌面形状可能不同，我们要建立模型就得求出通用的式子，因此我们要先设出顾客要求桌面图形的坐标方程：（3）图形的设计及建立坐标系。以平板材料的下平面所在的平面为XOY面、以平板的长为X轴、以平板的宽为Y轴、以平板材料的中心为原点O、以原点O向下引一条垂线为Z轴建立空间坐标系。由于图形有可能不是关于X轴和Y轴对称的我们就得考虑怎样设

18、计图形，例如椭圆：我们是将平板材料的宽设计成椭圆的短轴还是设计成椭圆的长轴，这个就得通过比较做到用材最省。我们要用极限法分别比较两种方法的面积大小然后选择用材最少的方法，具体比较方法如下： 设椭圆的方程为：（其中、分别为椭圆的长轴、短轴）.要求桌面的高度为. 求当我们将平板材料的宽设计成椭圆的短轴时所用面积.我们需要取平板材料的极限长，当平板材料的长至少得大于等于桌面的高度的二倍即.我们就取这个极限然后算出所需平板材料的最小面积. 求当我们将平板材料的宽设计成椭圆的长轴时所用面积.同理可求出所需平板材料的最小面积 比较选择用材最省的方法。通过上面的计算数据比较后知将平板材料的宽设计成椭圆短轴时

19、用料最省。（4）确定所需木条的根数及图形过截边的那一部分的连线而成的。每根木条宽度 2.5cm。（5）确定图形截边的坐标。当为偶数时，桌面圆上每根木条的外尖点的Y轴坐标就知道即每根木条的纵坐标由图形的坐标方程：点（，）为图形上的任意一点，又由图形是由桌面上外尖点的连线相似而成的，现在知道了每根木条外尖点的纵坐标可以求出它们的横坐标：下面的步骤与模型二5.3.1中（2）以后的步骤相同。5.4.2模型的创意（1）我们可以将桌面的图形定为椭圆，给出椭圆的加工参数为：椭圆的长轴短轴桌面的高。计算得折叠椭圆桌的参数为：矩形平板的尺寸为，钢筋的位置在距离椭圆中心44.7cm的位置，开槽长度为下表6（从内到

20、外） 表6：开槽长度木条数1234567891011开槽长29.829.629.128.327.125.523.621.218.214.60（2）当桌面是椭圆时的动态图3及其重要参数下图 6.模型的评价与推广6.1模型的优点：1.计算简便，结果合理；2.具有适用性，可以推广至不同形状的计算；3.通过MATLAB求解精确性高；4.模型通过lingo10求最优解减少了人为干预；5.考虑了各种因素对模型的要求，当有因素因进一步的研究导致特性改变时，能够及时的做出变化，体现前沿性。6.2模型的缺点： 1.在第一问中对折叠桌的动态变化过程的描述中，没有对所有对象进行描述，仅对其中的钢筋为研究对象；2.

21、在第二问与第三问中将槽宽默认为与第一问的相同。6.3模型的推广：1.可以将该模型推广到图形是任意形状及其他情况；2.可以将此模型用于折叠玩具的设计与加工。 7.参考文献1 王慧 孙建香，AutoCAD 2012机械制图实例教程，人民邮电出版社；2 史洁玉 孔玲军，MATLAB R2012a 超级学习手册，人民邮电出版社；3 潘祖聪，ProE应用教程，上海科学技术出版社。8.附录附录1 三次拟合x=14.0 13.9 13.9 13.9 14.1 14.7 15.8 17.9 19.8 30.9; y=2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25; z=-33.2 -

22、33.8 -34.6 -35.4 -37.4 -39.4 -41.9 -44.7 -48 -50; plot(x,y,*) a=polyfit(x,y,4)a = 1.0e+003 * -0.0000 0.0015 -0.0452 0.5968 -2.8887 x1=0:0.1:35;y1=polyval(a,x1);plot(x,y,o,x1,y1)Y-Z 拟合：plot(y,z) d=polyfit(y,z,2)d = -0.0269 -0.0421 -32.7867 y1=0:0.1:30; z1=polyval(d,y1); plot(y,z,o,y1,z1) 附录2：最优化求解sets: g/1.16/:x; h/1/:m,a; n(g