6.3.1+平面向量基本定理（教学课件）-高一数学（人教A版2019）

高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）6.3.1平面向量基本定理第

6章平面向量及其应用学习目标理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．目录CATALOG01.平面向量基本定理03.题型强化训练02.用基底表示向量的一般方法04.小结及随堂练习6.3.1平面向量基本定理01平面向量基本定理学习新知上节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？学习新知向量的加法三角形法则中强调“首尾相连”；平行四边形法则中强调的是“共起点，不共线”.OABACB向量的减法(三角形法则)(1)起点相同；(2)减向量的终点指向被减向量的终点.学习新知

一般地，我们规定实数λ与向量a

的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa

，它的长度与方向规定如下∶设λ、μ为实数，那么:(1)λ(μa)=(λμ)a(2)(λ+μ)a=λa+μa(3)λ(a+b)=λa+λb(1)|λa|=|λ||a|；(2)λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是向量.学习新知我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？学习新知

我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的合力.类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？学习新知探究如图(1)，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量.如图(2)，在平面内任取一点O，作，.将按的方向分解，你有什么发现？图(1)图(2)学习新知如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，根据向量的平行四边形法则，有由共线可知,存在实数

，使得：所以即也就是说，与都不共线的向量都可以表示成的形式.当与或共线的非零向量时，也可以表示成的形式；当是零向量时，同样可以表示成的形式.（为什么？）学习新知当是与或共线的非零向量时，也可以表示成的形式.当是零向量时，同样可以表示成的形式.综上所述：平面内任一向量都可以按的方向分解,表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的.

（为什么是唯一的？）学习新知综上所述：平面内任一向量都可以按的方向分解,表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的.

（为什么是唯一的？）如果

还可以表示成

的形式，那么可得：所以如果

不全为0，不妨设

，那么由此可得

共线，这与已知

不共线相矛盾.

所以即有且只有一对实数

，使

学习新知平面向量基本定理

如果e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a=λ1e1+λ2e2．学习新知【练习】判断正误(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．(

)(2)基底中的向量可以是零向量．(

)(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也

是唯一确定的．(

)(4)已知e1，e2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2

＝0，则λ＝μ＝0.(

)√ⅹ√√学习新知平面向量相等的充要条件

如果e1，e2不共线,且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2,那么【练习】已知e1，e2不共线，且a=

e1+

2e2，b=ke1-e2，若a//b,则实数

k的值为：

.

02用基底表示向量的一般方法6.3.1平面向量基本定理学习新知例1：OABP图6.3-4解：学习新知平面向量的等和线，“爪”字型图及性质：ABCD学习新知ABCD学习新知学习新知学习新知例2：CABD图6.3-5学习新知CABD向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一．例2：学习新知学习新知03题型强化训练6.3.1平面向量基本定理能力提升题型一：平面向量基本定理能力提升题型一：平面向量基本定理能力提升题型二：用基底表示向量能力提升题型二：用基底表示向量能力提升题型三：平面向量基本定理的应用能力提升题型三：平面向量基本定理的应用能力提升题型三：平面向量基本定理的应用04小结及随堂练习6.3.1平面向量基本定理课堂总结1平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a=λ1e1+λ2e2．平面向量相等的充要条件

如果e1，e2不共线,且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2,那么课堂总结2用基底表示向量平面向量基本定理的应用课堂总结3作业习题6.31,11(1)题6.3.