2021年高考数学全真模拟预测考试卷(含解析)

1、1 .已矢口集合A = x|（x+l）（x4）W。 , B = x|log2x<2,贝Ac8=（）A. 2.4 B.l,+8）C. （0,4D.2,一）2若复数二满足，j）（i是虚数单位），则|z|为（）A二B. 1C. 1 D, 13.已知4 = 33,。=晦6 ,。=喝2 ,则4、b、c的大小关系为（）A. a>h>cB. a>c>bC. b>a>cD.c>b>a4 .在护一学的二项展开式中,若第四项的系数为-7 ,贝（h=（）A. 9B. 8C. 7D. 65 .已知 x*log32 = 1 ,则 4x =（）A . 4 B . 6C

2、 . 4Los32D . 96 .在SBC 中，若 sinB = 2sinAcosC ,那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形7 .宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有秦【九韶】、李 （冶】、杨【辉】、朱【世杰】四大家，朱世杰就是其中之一.朱 世杰是一位平民数学家和数学教育家.朱世杰平生勤力研习九章算 术，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家.他全面继承了前人 数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各 种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总 结和普及当时各种数学知识为宗旨的算学启蒙，其中有关于松 竹并

3、生的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的，分别为3 , 1 ,则输出的=（）A.2B. 3C.4 D. 59.设函数/（刈=。1门+法2（4>0/>。），若函数/的图象在X = 1处的切线与直线3 =。平行，则卜揄最小值为（）A. 1B. 1c. 3-272 D. 3+2点TT10 .已知函数 f (x) =sin ( 3X+(P ) ( 3 > 0 ,)的最小正JT周期为TT，且关于(今，0)中心对称，则下列结论正确的是()OA.f(1) <f(0) <f(2)B . f(0) <f(2)

4、 <f ( 1)C . f(2) <f(0) <f(l)D.f(2) <f(1) <f (0)11 .函数/W = sinr(4cos0-1)的最小正周期是()A. yB.C. %D. 2112 .定义在R上的可导函数f(x)满足/(2-x)"(x)-2x + 2，记/(x)的导函 数为r(x),当 xWl时恒有r*)<l .若,则m的 取值范围是A . (oo,iB . (,i|C , i,+oo)D . 1,33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 .函数/3 =冒力式针则/'(9)=.x 2 0,14已知X , y满足

5、x+y>4,若x + 2y的最小值为 .15 .已知抛物线V = 2px(p> 0)与椭圆J+ / = 1(“ > b>。)有相同的焦点 尸，尸是两曲线的公共点，若|PF| = :P ,则此椭圆的离心率为. 16、已知正三棱锥P-W，点P、人以嘟在半径为小球面上，若"、 PB、P。两两相互垂直,则球心到截面胸：的距离为 .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检

6、n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表:质量指标值等级频数频率60,75 )二笺口 T±uu100.175 , 90 )田口口30b90 , 105 )一笺口 田口口a0.4105 , 120 )百笺口 T寸寸口口200.2合计n1（1）求a , b , n ;（2 ）从质量指标值在90,120 ）的产品中，按照等级分层抽样抽 取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽 到的概率.18 . （ 12分）,BC的内角A , 3，。的对边分另“为J忆。，设与皿A + C) = c°s述. 22(I )求sinB ;(n )若“BC的周长为8 ,求“BC的面

7、积的取值范围.19 .(12分)如图 在四棱锥尸-48CD中，底面A8CQ是矩形，侧棱尸0，P底面"8 , PD = OC ,点七是尸。的中点.代、(I)求证：尸A/平面80E ； ,(H )若直线8。与平面P8C所成角为3。，求二面角C-心-，/二20 .(12 分)设函数/(x) = lnx-(a-l)x(aeA).(I)讨论函数“X)的单调性；(H )当函数x)有最大值且最大值大于3时，求。的取值范围.21 .( 12分)中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线。:丁 =今的焦 点关于直线' = '对称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为(2,0).(I)求椭圆E的标

8、准方程；(n )过点(0，-2)的直线| (直线的斜率k存在且不为0 )交E于A , B两点，交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D ,直线BD交x 轴于点Q.试探究 op 是否为定值？请说明理由.8 / 20(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为J21 5/2V =-1 + t2(t为参数)，以原点。为极点，X正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的 极坐标方程为。、击(1 )求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2 )设P ( 0 ,),直线I与C的交点为M , N ,线段MN的中点 为Q

9、,求|丽-丽|.23,已矢口函数/(幻=卜一2| .(1)解不等式：x)v4-/(x + l)(2 )若函数g(x) = /7,(xN4)与函数y = ?-/(x)-2/(x-2)的图象恒有 公共点，求实数机的取值范围参考答案I、【答案】C【解析】算出集合A8后可求AflB.详解A = x|(x+1)(x-4)<0 = -1,4 , B = x|log2x<2=(0,4 /故Ac8 = (0,4,故选C.2、【答案】B【解析】利用复数的除法运算求得z=,问题得解.【详解】由z(i)2=i可得："& =匚五7 = -；所以向6故选：B3、【答案】A【解析】利用指数函

10、数和对数函数的单调性比较。、以。与1和;的 大小关系，从而可得出实数。、人。的大小关系.【详解】由于指数函数V = 3、是增函数，贝必=3； >3。=1 ；对数函数> =1叫/,是增函数，则log?应<.右<log?2，即;v<l ;对数函数)'=1吗X是增函数，贝!k = 1唱2 < 1唱3 =；.因此，">>C.故选：A.4、【答案】B【解析】% = *(亚尸(声=_"*芳，* = -7忑=5修喂粽=56 .解得：n = 8，故选B.5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解.解:,/x*log32 =

11、1 , /.x = log23 ,/.4x = 410Sz3= 41o?49 = 9 ,故选：D .6、B解 r/sinB = sinn -( A+C ) = sin( A+C )= sinAcosC+cosAsinC= 2sinAcosC ,/.cosAsinC - sinAcosC = sin ( C - A ) =0,即 C-A = 0,C=A,二.a二c,即aABC为等腰三角形.故选：B .7、【答案】C【解析】按流程图逐一执行即可.【详解】输入的分别为3 , 1时，依次执行程序框图可得：22Z? = 2xl = 2不成立 =1 + 1=29 1 9 27 =+ X =一2 2 2 4

12、=2x2=4。不成立 =2+1 = 327 1 27 81a =F x =一0=2x4=8不成立77 = 3+1 = 4也+L町史8 2 8160 = 2x8 = 16a<b成立输出 =4故选：C8、【答案】D【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可 得到函数的图象.【详解】当x<0时，f(x) <0 .排除AC, ,3x2(ex +)-x3ex /(3/+3-6')f'(x)= .+1)2，令豺+3-"=g(x)g* (x) =3, -(Z)e、=( 2-x)e1当 X£ ( 0,2 ), g' ( X ) &

13、gt; 0 ,函数 g(x)是增函数，当 X£ (2, +8),g'(x) <0,函数 g(x)是减函数，g(0)=6>0,g=3>0, g(4)=3-e4<0,存在/ <3,4)，使得 g(x0) = 0 ,且当X£ (0, %),g(x)>0,即F(x) >0,函数f (x)是增函数， 当乂£ (见，+8), g(x)<0,即F(x) <0,函数f(x)是减函数， .B不正确，故选D .9、【答案】D11 / 20【解析】由/(x) =，lnx + /”2 可得：fx) = - + 2bx t又函数

14、/(X)的图象在X = 1处的切线与直线X - - 2，=。平行,所以r=。+加=1当且仅当。=0-1/=1-£时，等号成立乙所以的最小值为3+ 2点 a b故选：D10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可.解：.函数的最小周期是TT，等二口，得3 = 2 ,则 f ( x ) =sin ( 2x+(p ),TTf (x)关于(二，0冲心对称， Oc / 兀、I._/.2x ( - -) +(p = kn f kGZ ,即(p = kn+9,keZ ,今 乙.当 k = 0 时，cp 二子，即 f ( x ) =sin ( 2x+子)，则函数在

15、-专，与上递增，在专，爷上递减，f(0)二f(卷)， 兀 T C.f (子)>f (1) >f (2), 即 f (2) <f (1) <f (0), 故选：D .11、【答案】B【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将.f(x)化简为y=Asin(皿+0)的 形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.详解】解：/(X)= sin a (2cos- x + cos2x) = sinx(2cosx- cosx + cos2x)=sin 2x cos x+sin x cos 2x = sin, 可得其最小正周期为科，故选B.12【答案】D解析】构造函数 f(m)-/(1-

16、2/n)23m-1 =/(I-2m)-(1-2m),所 以 构 造 函 数 F(x) = f(x)-x , f(2-x) = f(x)-2x+2=> f(2-x) -(2-x) = f(x)-x , E(2-x) =/(x)所以尸(x) 的对称轴为x=l ,尸")=/")-1所以,四(x)>(x)是增函数； xe(-sl,尸3<0,/")是减函数。,解得：13【答案】1.【解析】根据分段函数的解析式逐步代入求解可得结果.【详解】由题意得/(9)=f(f5) = f(5-4)=/U) = 2xl-l = l .故答案为：1 .14、【答案】5【解析

17、】式组表示的平面区域，再将目标函数Z = x+2y对应的直线进行平移, 可得当x = 3且y = 1时，z取得最 '值.【详解】作出不等式组、+)亚4表示的平面区域, x-2y<其中L 2、-1解得人(3，1)设z二x+2y，将直线I : z = x+2y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当I经过点A时，目标函数z达到最小值.z 最小值= 3+2 = 5故答案为：5 .15、【答案】吁；【解析】通过抛物线和椭圆性质得到P点坐标，将P点坐标代入椭 圆得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为耳，由题意抛物线的准线方程为2 2 ）2 7由抛物线的定义知点P到准线的距离为IP ,可得点P的横

18、坐标为5 P P _ P6 2 3，纵坐标为粤则有（用+闺2=附（阀呼，所以2 =阀卜W ,贝隆，=2 a p 2故答案为。；16、【答案】f【详解】正三棱锥P - ABC , PA , PB , PC两两垂直,.此正三棱锥的外接球即为以PA , PB , PC为三条棱的正方体的外接 球，球的半径为了,二正方体的边长为2 ,即PA = PB = PC = 2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h则正三棱锥P - ABC的体积V = ；S3BCxh = |sPABxPC = |xJx2x2x2 = JABC为边长为2在的正三角形，SSBC = 1 x （

19、2窗）2 =4小_ § _2第一”Sobc也 3亨.球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为由-学=咚，故答案J J17、解：（1）由 10+0.1 = 100 , SD n = 100 ,.,.a = 100x0.4 = 40 ,b = 30-100 = 0.36分（2 ）设从特等品产品中抽取x件，从一等品产品中抽取y件，由分层抽样得:强喻喻，解得 x = 2 , y = 4 ,.在抽取的6件中，有特等品2件，记为Al , A2 ,有一等品4件，记为Bl , B2 , B3 , B4 ,则所有的抽样情况有15种，分别为：A1A2 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A1

20、B4 , A2B1 , A2B2 , A2B3 ,A2B4 , B1B2 , B1B3 , B1B4 , B2B3 , B2B4 , B3B4 ,其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：A1A2 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A1B4 , A2B1 , A2B2 , A2B3 ,A2B4 ,至少有1件特等品被抽到的概率为：P =.12分J.O D18 （1） .£加（人 +。）= 32?且 乙乙sin(A + C) = sin B .-sin B = 2sin cos = cos2 22222. nA . /T 0°B 75B7Tn 加 n

21、7： sin >0/. 73 sin = cos/. tan =;.B = ：. sin B =2222 32632(2)由题意知 ：b = S-(a + c)cosB= "丁：二，=二'二2" 2ac2ac/. 3ac = -64 +16(a + c) > -64 + 32y/ac ,/. 34c 32y/ac + 64 > 0 /. (3>fac - S)(yfac -8) > 0疝工:或/之8（舍”4。工景厂.5»忒.=；4八由8 =一戊年，当"=c 时取=）综上，的面积的取值范围为（0,苧12分19、（ 1

22、）连接4c交8。于。，连接。七，由题意可知，PE = EC,AO = OC t ：.PAHEO ,又以在平面8瓦）外，EOu平面8七。，所以PA/平面3EO.4分（2）以。为坐标原点，QADGQP所在直线分别为工轴，），轴，二轴，建 立空间直角坐标系。-型，设PD = CD = 1 , AD = a ,贝|JA（d0,0）, 831,0）, C（0,l,0）,尸（0,0,1）,丽=（兄1,0）,方=（,1,一1） , PC = （0,l,-l）,23 / 20设平面P8C的法向量弁= （x，y,z）,由、PBii = 0pen = 0，得ax + y - Z = 0 )1 = 0,取方=(0,

23、1,1),又由直线8。与平面PBC所成的角为30 ,8分得辰（丽河卜鼎=局款=!，解得"=|, 同理可得平面/W的法向量帚= （-1,1,0）,/- - ？ 1 1由向量的夹角公式，可得侬（3 =丽=反至=5 , 又因为二面角c-必-。为锐二面角，所以二面角心-。的大小为12分20 . （ 1 ）函数/"） = 1【】工-（4-1）以4£穴）的定义域为（0,+8）, =1 j”.XX当4-l«o ,即。时,ff（x）0 ,函数“X）在（0,+巧上单调递增.当_10时，令r（x） = 0 ,解得A,当0xv 一时，/。， a -1。一 1函数单调递增，当x

24、一时，/'（力0 ,函数单调递减. « - 1综上所述：当时,函数“X）在（0,+8）上单调递增，当g时，函数"X）在|上单调递增，在上单调递减 .6分（2 ）由（1）知,当函数有最大值时，”1 ,且最大值/（X）皿=/1）=皿1-1 ,此时in±-1>”一3 ,即 ln（a-1） + -2<0,令g（a） = ln（a-1） + a-2,a > 1. g，（a）=+ 1 >0a -1故g（4）在a+8）上单调递增,且g= 0，gS）0等价于g（a）vg（2），二1“V2 ,故a的取值范围为（1,2）.12分21 .（1）因为椭圆E的一个焦点与抛物线C：/ =分的焦点关于直线 yf对称,所以椭圆E的右焦点为（1,。），所以c = l.又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为。），所以"2 ,又 .972 分lr =a-c =3 ,所以椭圆E的标准方程为+4=14分（2波直线1的方程为，=日-2 ,女00则点P；joJ设4&方）,8（毛，%）£,21 = 1则点。（x，f）,联立直线I与椭圆E的方程有，T T- z y = kx-2得（3 + 416履+ 4 =。，所以有A = 48（4父-1）>。，即公16k3 + 4