固体物理_倒格子及布里渊区_2013

1、面间距：面间距：晶面晶面:(101)22a11222aaaaHa2aa求简立方布拉菲格子（求简立方布拉菲格子（101101）晶面的面间距）晶面的面间距面间距：面间距：晶面晶面:(111)33a111132232322aaaHaaa2a求简立方布拉菲格子（求简立方布拉菲格子（111111）晶面的面间距）晶面的面间距6-1 6-1 倒格子倒格子一、引入倒格子的目的一、引入倒格子的目的晶面族晶面族= =面间距面间距+ +法线方向矢量法线方向矢量倒格矢倒格矢矢量点矢量点= = 模量模量 + + 方向方向 hkdn2hkdhhknk 引入这样一个引入这样一个矢量来表征晶格中矢量来表征晶格中某一晶面族的特

2、征某一晶面族的特征，该矢量的方向代，该矢量的方向代表了晶面族的法线方向表了晶面族的法线方向, ,该矢量的模该矢量的模量正比于晶面族面间距的倒数。量正比于晶面族面间距的倒数。 二、倒格子二、倒格子 设布喇菲格子的基矢设布喇菲格子的基矢 为正格子基矢，称由为正格子基矢，称由 决定的空间为正格子，若定义决定的空间为正格子，若定义231312123222aabaabaab其中，其中， 。以。以 为基矢进行平移便可得到一个为基矢进行平移便可得到一个周期性的空间格子，称为周期性的空间格子，称为倒格子空间倒格子空间。1、定义：、定义：123,a a a 123,a a a 123()aaa 123,b b

3、b 矢量的运算：矢量的运算：121212o,c sa aaaa a 121212,sina aaaa a 点乘：点乘：内积内积 标量标量外积外积 矢量矢量叉乘：叉乘：0,i iijk ikj 1,0,0i ii ji k右手定律右手定律2、验证：倒格矢能代表一族晶面吗？、验证：倒格矢能代表一族晶面吗？晶面族晶面族(h1h2h3) 中中最最靠近靠近坐标原点的晶面坐标原点的晶面ABC在基矢在基矢 上的上的截距截距为为 123,a a a 312123,aaahhh2hkdhhknk(1)(1)倒格矢倒格矢K Kh垂直与晶面族垂直与晶面族(2)(2)倒格矢的模量等于面间距的倒数成正比。倒格矢的模量等

4、于面间距的倒数成正比。3133223aaCAOAOChhaaCBOBOChh 由图可知，矢量由图可知，矢量: : 和和 两个矢量都在两个矢量都在ABCABC平面上。平面上。CA CB (1)方向方向要证明要证明 与晶面族与晶面族(h(h1 1h h2 2h h3 3) )垂直，垂直，只需证明只需证明 与与ABCABC面内两条不互相面内两条不互相平行的直线垂直就可以了，即：平行的直线垂直就可以了，即：hkhk0,0hKCAKCB311 1223 311133() ()0hKCAaahbh bh bhhbaba321223232233() ()0hKCBaah bh bh bhhbaba 所代表的

5、方向就是所代表的方向就是晶面族晶面族(h1h2h3)法线方向。法线方向。hK(2)模量模量图中图中ABC面是晶面族面是晶面族(h1h2h3)中距离原点最近中距离原点最近的一个晶面，因此，这的一个晶面，因此，这一族晶面的一族晶面的面间距面间距d h1h2h3 就等于原点到就等于原点到ABC面的面的垂直距离。垂直距离。由于晶面族由于晶面族 (h(h1 1h h2 2h h3 3) ) 法线法线方向可用倒格矢方向可用倒格矢 1 1223 3hKhbh bh b1 2 311hh h hhadhKK1 1223 311()2hhhbh bh baKKh表示，所以表示，所以: :123,a a a ()

6、hkl2311233121231231232()2()2()aabaaaaabaaaaabaaa123hhkbKb lb3.怎么计算倒格子矢量？怎么计算倒格子矢量？正格子空间中的一族晶面可以用倒格子空间中的一个倒格矢表示。面间距：面间距：法线方向：法线方向：22hkikaa 晶面晶面:(101)倒格矢：倒格矢：面间距：面间距：法线方向：法线方向：22an222hhkak hhkijk 面间距：面间距：法线方向：法线方向：222hkijkaaa 晶面晶面:(111)倒格矢：倒格矢：面间距：面间距：法线方向：法线方向：33an233hhkak hhkijkk 正格子正格子基矢基矢格矢格矢元胞体积元

7、胞体积倒格子倒格子倒格子基矢倒格子基矢倒格矢倒格矢倒格子元胞体积倒格子元胞体积三、正格子和倒格子的相互关系三、正格子和倒格子的相互关系123aaiaajaak什么是倒格子（空间）？什么是倒格子（空间）？基矢基矢变换变换2311233121231231232()2()2()aabaaaaabaaaaabaaa123222biabjabka（1）正格子基矢与倒格子基矢）正格子基矢与倒格子基矢220ijijab()()ijij 以以 所组成的平行六面体（即原胞）所组成的平行六面体（即原胞）的体积为：的体积为：其中，其中， 为平行六面体的底面积，为平行六面体的底面积，h h为平行六面为平行六面体的高，

8、而体的高，而h h又正好等于晶面族又正好等于晶面族a a1 1a a2 2的面间距的面间距d d3 3。 123,a a a 2aa aSh 1 2a aS即：即：1 212a aSaa312d aa 因为，因为， 的方向与的方向与 的方向相一致，因的方向相一致，因此：此：3b12aa1232 ()aab332ab31/20ab所以：所以：312()aaa 采用同样的方法，我们可以得出：采用同样的方法，我们可以得出：3221132 ()2 ()abaaab220ijijab()()ijij222ab21/30ab112ab12/30abP63P63习题习题6 6：1(3 )2aaij2(3 )

9、2aaij 3ack 对于六方密堆积结构，初基元胞基矢为：求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。 11222(3 )(3 )2bijaaaij22222(3 )(3 )2bijaaaij 33222bkckca 312bb b 、12bb =12b b /解：可知：，并且之间的夹角为60，作图可知倒格子也是六方结构。（2）正格矢与倒格矢）正格矢与倒格矢正格矢正格矢112233lRl al al a 倒格矢倒格矢1 12233hkh bh bh b 正格子空间中的一个格点正格子空间中的一个格点倒格子空间中的一个倒格点倒格子空间中的一个倒格点正格子空间中的一族晶面正格子空间中的一族晶面不同的倒

10、格矢代表正格子空间中的不同的晶面族。不同的倒格矢代表正格子空间中的不同的晶面族。2lhRk （ 为正整数）为正整数）正格子空间的点和倒格子空间的点有什么关系呢？正格子空间的点和倒格子空间的点有什么关系呢？ 如果两个矢量点积为如果两个矢量点积为 的整数倍，那么它们互为倒格矢，即：其中一的整数倍，那么它们互为倒格矢，即：其中一个为正格矢，另一个必为倒格矢。个为正格矢，另一个必为倒格矢。1 1、代表意义、代表意义2 2、相互关系、相互关系2（3）正格子元胞与倒格子元胞）正格子元胞与倒格子元胞倒格子元胞体积：倒格子元胞体积：123()bbb 32331123(2 )() () ()aaaaaa()()

11、()ABCA CBA BC31123121311211() ()()()0aaaaaaaaaaaaaa 323133(2 )()(2 )aaa正格子元胞与倒格正格子元胞与倒格子元胞体子元胞体积成反比积成反比课堂练习：课堂练习：试证体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。 1()2aajk2()2aaki 3()2aaij 面心立方晶格的初基原胞基矢为：面心立方晶格的初基原胞基矢为：P1012()bijka 22()bijka 32()bijka面心立方晶格的倒格子基矢如下：面心立方晶格的倒格子基矢如下：给出的面心立方晶格的倒格子矢量与给出的面心立方晶格的倒格子矢量与体心立方晶格的初基原胞基矢

12、体心立方晶格的初基原胞基矢方向相方向相同，模量不同，反映了相同的格点排同，模量不同，反映了相同的格点排列的周期性列的周期性。 123()2()2()2aaijkaaijkaaijk 体心立方晶格的初基原胞基矢为：体心立方晶格的初基原胞基矢为：P10面心立方晶格的初基原胞体积为：面心立方晶格的初基原胞体积为：123333()() ()()2221() ()81(1 0000 1)814aaaaaajkkiijajkjikaa 123333333333333()222() ()()(2 )() () ()(2 )() (000)2(2 )() ()2(2 )( 000 1 1 0)4(2 )(2

13、)14bbbijkijkijkaaaijkijkijkaijkkjkijiaijkkjaaaa 因此，面心立方晶格与体心立方互为倒格子。因此，面心立方晶格与体心立方互为倒格子。倒格子基矢原胞体积为：倒格子基矢原胞体积为：作业：课后习题：课后习题：P63P63习题习题7 7、8 8 对于给定的晶格，首先选定其布喇菲格子的原对于给定的晶格，首先选定其布喇菲格子的原点与基矢点与基矢 ；求出对应的倒格子基矢；求出对应的倒格子基矢 并由倒格矢并由倒格矢 （ 取一切整数）取一切整数）确定出该晶格的倒格子；作所有确定出该晶格的倒格子；作所有倒格矢倒格矢 的垂直的垂直平分面平分面，这些平面将倒格子空间分割为许

14、多区域，这些平面将倒格子空间分割为许多区域，这些区域称为布里渊区。这些区域称为布里渊区。6-2 布里渊区布里渊区一、定义：一、定义：123,a a a 123,b b b 1 1223 3hKhbh bh b123,h h hhK1、第一布里渊区：、第一布里渊区： 在倒格子点阵中，做某一倒格点到其在倒格子点阵中，做某一倒格点到其最近邻最近邻倒格点连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所倒格点连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所围成的多面体就是第一布里渊区。围成的多面体就是第一布里渊区。二、特性：二、特性： 除第一布里渊区之外除第一布里渊区之外,还有第二布里渊区、第还有第二布里渊区、第三布里渊区以及

15、更高阶的布里渊区。三布里渊区以及更高阶的布里渊区。2、第二、第三布里渊区可以由平移倒格矢的、第二、第三布里渊区可以由平移倒格矢的 整数倍至第一布里渊区。整数倍至第一布里渊区。3、每个布里渊区的体积都等于倒格子原胞的、每个布里渊区的体积都等于倒格子原胞的 体积。体积。4、布里渊区应选尽可能高的对称性。、布里渊区应选尽可能高的对称性。三、典型晶格的倒格子与布里渊区三、典型晶格的倒格子与布里渊区1、一维格子的布里渊区、一维格子的布里渊区aai2bia 二维正方格子的原胞基矢为：二维正方格子的原胞基矢为： 则其相应的倒格子原胞基矢为：则其相应的倒格子原胞基矢为：12,aai aaj1222,bi bj

16、aa2 2、二维正方格子的布里渊区、二维正方格子的布里渊区在倒格子空间中，距离原点最近的倒格点在倒格子空间中，距离原点最近的倒格点有四个，其相应的倒格矢为：有四个，其相应的倒格矢为： 这四个倒格矢的垂直平分线的方程为：这四个倒格矢的垂直平分线的方程为：1122,bb bb ,xykkaa 由这四个垂直平分线所围成的区域就是第一布由这四个垂直平分线所围成的区域就是第一布里渊区。里渊区。第一布里渊区第一布里渊区原点的次近邻四个到格点相应的倒格矢为：原点的次近邻四个到格点相应的倒格矢为：它们的垂直平分线以及第一布里渊区边界它们的垂直平分线以及第一布里渊区边界所共同围成的区域称为第二布里渊区。所共同围

17、成的区域称为第二布里渊区。12121212, (), ()bbbbbbbb第二布里渊区第二布里渊区3、体心立方格子的布里渊区、体心立方格子的布里渊区正格子正格子原胞基矢：原胞基矢：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk 倒格子倒格子原胞基矢为：原胞基矢为：1232()2()2()ajkaaikaaija体心立方正格子的倒格子原胞为体心立方正格子的倒格子原胞为面心立方面心立方，离原点最近的有离原点最近的有12个倒格点，它们分别为：个倒格点，它们分别为：222(1,1,0),(1, 1,0),( 1,1,0)222( 1, 1,0),(1,0,1),(1,0, 1)222( 1,0,1),( 1,0, 1),(0,1,1)aaaaaaaaa 由这由这12个倒格矢的中垂面围成个倒格矢的中垂面围成菱形菱形12面面体体，该菱形，该菱形12面体就是体心立方正格子的第面体就是体心立方正格子的第一布里渊区。一布里渊区。（P43 图图1-53）4、面心立方格子的布里渊区、面心立方格子的布里渊区正格子正格子原胞基矢：原胞基矢：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk 倒格子倒格子原胞基矢为：原胞基矢为：1232()2()2()aj