第九章 梁弯曲(2)应力(于英1001)

1、9-2 9-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力剪力和弯矩剪力和弯矩 9-3 9-3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图用内力方程法绘制剪力图和弯矩图9-4 9-4 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图用微分关系法绘制剪力图和弯矩图9-5 9-5 用叠加法画弯矩图用叠加法画弯矩图9-69-6 梁弯曲时的应力及强度计算梁弯曲时的应力及强度计算 9-7 9-7 梁的变形梁的变形 9-8 9-8 梁的应力状态梁的应力状态 第九章第九章 梁的弯曲梁的弯曲9-1 9-1 平面弯曲平面弯曲一、梁横截面上的正应力一、梁横截面上的正应力三、梁的强度条件三、梁的强度条件四、四、提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施(了解了

2、解) 9-6 9-6 梁弯曲时的应力及强度计算梁弯曲时的应力及强度计算二、梁横截面上的剪（切）应二、梁横截面上的剪（切）应力力MV MVM 9-6 9-6 梁弯曲时的应力及强度计算梁弯曲时的应力及强度计算 V梁弯曲时横截面上的应力梁弯曲时横截面上的应力弯曲正应力弯曲正应力弯曲剪（切）应力弯曲剪（切）应力剪（切）应力剪（切）应力 正应力正应力 梁的内力：梁的内力：梁的应力：梁的应力：Fa(+)M图图Fa横力弯曲横力弯曲梁弯曲变形梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又时，横截面上既有弯矩又有剪力（有剪力（ ）。）。0,0MV FFFV图图(+)(-)F纯弯曲纯弯曲梁弯曲变形梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩

3、时，横截面上只有弯矩而无剪力（而无剪力（ ）。）。0,0MV 纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲一、梁横截面上的正应力一、梁横截面上的正应力FFlaaABDC实验现象实验现象1122cabd1122cabdMMabcd1212MM平平截截面面假假设设单单向向受受力力假假设设一、梁横截面上的正应力一、梁横截面上的正应力 （1）平截面假设平截面假设 各横向线代表横截面，各横向线代表横截面，变形前后都是直线，表变形前后都是直线，表明横截面变形后仍保持明横截面变形后仍保持平面，且仍垂直于弯曲平面，且仍垂直于弯曲后的梁轴线。后的梁轴线。 （2）单向受力假设单向受力假设 将梁看成由无数纤维组将梁

4、看成由无数纤维组成，各纤维只受到轴向成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相拉伸或压缩，不存在相互挤压。互挤压。上边缩短上边缩短下边伸长下边伸长长度保持长度保持不变的纵不变的纵向纤维向纤维中性轴中性轴：中性层与横截面的交线。：中性层与横截面的交线。中性层中性层：既不伸长也不缩短：既不伸长也不缩短的一层纤维层。的一层纤维层。1 1正应力分布规律正应力分布规律结论结论: 纯弯曲梁段纯弯曲梁段横横截面上只有正应力无截面上只有正应力无剪应力剪应力MMMM梁弯曲时横截梁弯曲时横截面上的正应力面上的正应力沿截面高度呈沿截面高度呈线性分布规律线性分布规律变化变化 1 1正应力分布规律正应力分布规律zMyI

5、2 2正应力计算公式正应力计算公式距中性层为距中性层为 y 处的正应力处的正应力: minM max中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心梁的上下边缘处，有最大弯曲正应力，值为：梁的上下边缘处，有最大弯曲正应力，值为： zyxM maxmaxzzMM|(I / y)W zzmaxIWy Wz抗弯截面模量抗弯截面模量 minM maxM 3.3.横截面上最大正应力横截面上最大正应力maxmaxzM yI maxzMI / y zWM1.1.矩形截面矩形截面321226zzzbhIIbhWh/ 4.典型截面对中性轴的惯性矩和典型截面对中性轴的惯性矩和抗弯截面模量抗弯截面模量2.2.实心圆截面实心圆截

6、面4464264zzzdIIdWd / 3.截面为外径截面为外径D、内、内径径d(a a=d/D)的空心圆的空心圆: 44341641232zzzDI()IDW()D/ a a a a zbhzddzD)(Ddaz5.5.横截面上正应力的画法横截面上正应力的画法 线弹性范围线弹性范围正应力小于比例极限正应力小于比例极限 p； 精确适用于纯弯曲梁；精确适用于纯弯曲梁； ( )1( )( )zzM xyM xIxEI ，6.6.公式适用范围公式适用范围1zMEI 对于横力弯曲的细长梁对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比跨度与截面高度比 l / h 5)，上述公式的误差不大，但公式中的，上述公式的

7、误差不大，但公式中的M应为所研究截应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。面上的弯矩，即为截面位置的函数。 minM max minM maxzMyI zEI抗弯刚度抗弯刚度。 注意注意： （1 1）在计算正应力前，）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩面对中性轴的惯性矩；以及；以及所求的是该截面上哪一点所求的是该截面上哪一点的正应力的正应力，并，并确定该点到中性轴的距离确定该点到中性轴的距离。 （2 2）要特别注意）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性正应

8、力在横截面上沿高度呈线性分布的规律分布的规律，在中性轴上为零，而，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处在梁的上下边缘处正应力最大正应力最大。 （4 4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。性矩的计算式。 （3 3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定态来确定。 注意注意： V1 1剪剪( (切切) )应力分布规律假设应力分布规律假设（2）横截面上距中性轴等距离各点处剪）横截面上距中性轴等距离各点处剪(

9、切切)应力大小应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。相等，即沿截面宽度为均匀分布。*A（1）各点处的剪）各点处的剪(切切)应力应力 都与剪力都与剪力V方向一致；方向一致； 二、梁横截面上的剪二、梁横截面上的剪(切切)应力应力（3）剪）剪(切切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。 V1 1剪剪( (切切) )应力分布规律假设应力分布规律假设*zzVSI b bhzycyc*A2 2矩形截面梁的剪（切）应力计算公式矩形截面梁的剪（切）应力计算公式矩形截面梁矩形截面梁横截面上横截面上的最大剪（切）应力的最大剪（切）应力max31 52VV.bhA maxy z

10、3 3工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力 *zzVSI d 对于工字钢，对于工字钢，* maxzzIS可由型钢表中查得。可由型钢表中查得。翼缘翼缘 dmax maxmaxmax max*z*zzzVSVI d(IS)d zy腹板腹板bymax V3 3工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力1 1、弯曲正应力强度条件：、弯曲正应力强度条件：maxmax zMW可解决工程中有关强度方面的三类问题：可解决工程中有关强度方面的三类问题：（1 1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；, ,maxzWM（2 2）设计截面设计截面，即已知，即已知 可由可由 确定确定 截

11、面的尺寸；截面的尺寸；, ,maxMmaxMWz（3 3）求许可载荷求许可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。, ,ZWmaxzWM 三、梁的强度条件三、梁的强度条件maxmaxmaxz *zVSI b 与正应力强度条件相似，也可以进行与正应力强度条件相似，也可以进行有关强度方面的有关强度方面的三类计算：三类计算： 1、强度校核，、强度校核，2、截面设计，、截面设计，3、确定梁的许可荷载、确定梁的许可荷载 但通常用于但通常用于校核校核。特殊的特殊的：1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；、焊接组合截面，

12、腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。需进行切应力强度计算。需进行切应力强度计算。2.2.弯曲剪（弯曲剪（切）应力强度条件：切）应力强度条件：2.2.剪（剪（切）应力强度条件：切）应力强度条件： 在梁的强度计算中，必须在梁的强度计算中，必须同时满足正应同时满足正应力和剪（切）应力两个强度条件力和剪（切）应力两个强度条件。通常先按。通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪（切）应力强度条件进行校核。（切）应力强度条件进行校核。 三、梁的强度条件三、梁的强度条件1 1、弯曲正应力强度条件

13、：、弯曲正应力强度条件：maxmax zMWmaxmaxmaxz *zVSI b3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：（1 1）对于）对于细长梁细长梁的弯曲变形，的弯曲变形，正应力的强度条件是正应力的强度条件是主要的主要的，剪应力的强度条件是次要的剪应力的强度条件是次要的。但对于。但对于校粗的校粗的短梁短梁，当集中力较大时，截面上的，当集中力较大时，截面上的剪力较大剪力较大而而弯矩较弯矩较小小，或是，或是薄壁截面梁薄壁截面梁时，也需要时，也需要校核剪应力强度校核剪应力强度。例如例如:lABF0.9lABFF0.2l0.2l0.6lFV图图F+-V图图0

14、.9F0.1F+-M图图0.09Fl-M图图0.2Fl+【例例9-23】如图所示，一悬臂梁长如图所示，一悬臂梁长l=1.5m，自由端，自由端 受集中力受集中力F=32kN作用，梁由作用，梁由22a工字钢制成，工字钢制成， 自重按自重按q=0.33kN/m计算，计算， 。试校核。试校核 梁的正应力强度。梁的正应力强度。160MPa 3cm 309zW【解解】求最大弯矩的绝对值求最大弯矩的绝对值2 2查型钢表，查型钢表，22a22a工字钢的抗弯截面系数为：工字钢的抗弯截面系数为： 3 3校核正应力强度校核正应力强度 满足正应力强度条件满足正应力强度条件2max22132 1 50 33 1 548

15、 4 kN m2qlMFl. 6maxmax348 4 10157 MPa309 10zM.W FqlAB M图(kNm)34【例例9-24】一热轧普通工字钢截面简支梁，如图所示，一热轧普通工字钢截面简支梁，如图所示，已知：已知：l=6m，F1=15kN，F2=21kN，钢材的许用应力，钢材的许用应力，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。 170MPa 1)求支反力求支反力17kN()19kN()ABRR 【解】【解】1画弯矩图，确定画弯矩图，确定maxABF1l/3l/3l/3F2RARB33361cm 5 .223mm 105 .2231701038maxMWz由附录查型钢表得由附录

16、查型钢表得2020a工字钢的工字钢的z=237cm3，略，略大于所需的大于所需的Wz1 =237cm3，故采用，故采用20a20a号工字钢。号工字钢。2 2计算工字钢梁所需的抗弯截面系数为计算工字钢梁所需的抗弯截面系数为2)绘绘图，最大弯矩发生在图，最大弯矩发生在F2作用截面上，其值为作用截面上，其值为1)求支反力求支反力17kN()19kN()ABRR max38kNm3 3选择工字钢型号选择工字钢型号【解】【解】1 1画弯矩图，确定画弯矩图，确定maxmax【例【例9-24】【例【例9-25】 如图所示，如图所示，40a号工字钢简支号工字钢简支 梁，梁， 跨度跨度l=8m，跨中点受集中力，

17、跨中点受集中力F 作用。已知作用。已知F140MPa，考虑自重，求许用荷载，考虑自重，求许用荷载【解】【解】 1求最大弯矩求最大弯矩工字钢每米长自重工字钢每米长自重q67.6kgf/m676N抗弯截面系数抗弯截面系数Wz1090cm3 mN )25408(8418676814822maxFFFlqlM2由型钢表查有关数据由型钢表查有关数据AB4m4mFzmaxWM631014010109025408FkN 73.6N 73600F3按强度条件求许用荷载按强度条件求许用荷载 解得根据强度条件【解】【解】 1求最大弯矩求最大弯矩工字钢每米长自重工字钢每米长自重q67.6kgf/m676N抗弯截面系

18、数抗弯截面系数Wz1090cm3 mN )25408(8418676814822maxFFFlqlM2由型钢表查有关数据由型钢表查有关数据【例【例9-25】【例【例9-26】 一外伸工字型钢梁，字钢的型号为一外伸工字型钢梁，字钢的型号为22a，梁上荷载如图，梁上荷载如图a所示。已知所示。已知l6m，F30kN，q6kN/m， ， ，170MPa检查此梁是否安全。检查此梁是否安全。100MPa【解】【解】1绘剪力绘剪力 图、弯矩图，确图、弯矩图，确 定最大内力。定最大内力。Mmax39kNm Vmax17 kNm1)求支反力求支反力29kN()13kN()BDRR2)绘绘M、V图图BD2m3m3

19、mF=30kNACq=6kN/mRBRD121713V 图图(kN)1713+-39M图图(kN.m)12+-cm 9 .18*maxSzIMPa 170MPa 12610309103936maxmaxzWM 2由型钢表查得有关数据由型钢表查得有关数据 梁是安全的。梁是安全的。3校核正应力强度及切应力强度校核正应力强度及切应力强度b0.75cm Wz309cm3【例【例9-26】Mmax39kNm Vmax17 kNm【解】【解】1绘剪力图、弯矩图，确定最大内力绘剪力图、弯矩图，确定最大内力maxmaxmaxz*zVSI d 3171018 9107 5. 12MPa =100MPa 对于对于

20、T字形截面，字形截面，,max2max1yy则则,max11yIWzz1maxmaxzWMmaxmaxz2M,W 对于对于低碳钢低碳钢等材料，等材料，,因此只需计算因此只需计算1maxmaxzWM对于对于铸铁铸铁材料，材料，,因此需计算因此需计算1maxmaxzWM,2maxmaxzWMzmax2ymax1ymax22yIWzz4. 4. T字形截面梁的应力字形截面梁的应力( (了解了解) )200mm30200mmyczzcyD)(maxD)(maxzA)(maxA)(maxzAB2m1m3mP=20kNCDq=10kN/m10M图图(kN.m)20+-30kN()10kN()ADRR RA

21、RB例例:四、提高弯曲强度的一些措施四、提高弯曲强度的一些措施( (了解了解) )弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：maxmaxzWM在在 一定时，提高弯曲强度的主要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径：max,MWz（一）、选择合理截面（一）、选择合理截面（1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根据应力分布的规律选择：、根据应力分布的规律选择：z截面积相同时截面积相同时：工字形优于：工字形优于矩形，矩形优矩形，矩形优于正方形；环于正方形；环形优于圆形。形优于圆形。（一）、选择合理截面（一）、选择合理截面（2 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。）为降低重量，可在中性轴附近开孔。1、根据应力分布的规律选择：、根据应力分布的规律选择：2、根据材料特性选择、根据材料特性选择:ycz1y2y使最大拉、压应力同时达到