【厦大习题集】高等数学习题及详细解答1

1、1 .求满足下列条件的平面方程：uuuuu(1)过点Mo(2,9, 6)且与向量OM0垂直；解 所求平面的法线向量为n (2,9, 6)由平面的点法式方程，得所求平面的方程为2(x 2) 9(y 9) 6(z 6) 0 即2x 9y 6z 121 0(2)过点(3,0, 1)且与平面3x 7y 5z 12 0平行;解由于平行平面的法向量相同，法向量n (3, 7,5),故所求平面方程为3.求平面x 2y 2z 3 0与各坐标面的夹角的余弦3x3 7 y 05 z 10,即2x 7y 5z 121 0 过点(1,0, 1),且同时平行于向量a2i j k 和 b i j ；i解法向量n a b

2、21j k11 i j 3k ,所求平面方程为1 01 (x 1) 1 (y 0)3 (z 1)即 x y 3z 4 0(4)过三点 Mi(1,0,1)、M2( 1,3, 2)和 M3(0,2,3);解 我们可以用M1M2 M1M3作为平面的法线向量n因为 M1M 2 ( 3,4, 6) M1M 3 ( 2,3, 1)所以i j kn M1M2 M1M33 4 6 14i 9j k2 3 1根据平面的点法式方程得所求平面的方程为14(x 2) 9( y 1) (z 4) 0(5)求过点(1,1,1),且垂直于平面 x y z 7和3x 2y 12z 5 0的平面方程解 由条件，所求平面的法向量

3、n与平面x y z 7,3x 2y 12z 5 0的法向量ijk都垂直，因此n n1n211110i 15j 5k3 212取 n (2,3,1),所求方程为2 (x 1) 3 (y 1) 1 (z 1) 0即 2x 3y z 6 0(6)平行于xOy面且经过点(2, 5,3)解 所求平面的法线向量为 j(0,0,1)于是所求的平面为0 (x 2) 0 (y 5) 1 (z 3) 0,即z 3.过点(3,1, 2)和y轴解所求平面可设为Ax Cz 0因为点(3,1, 2)在此平面上 所以3A 2C 0将2c3A代入所设方程得 2Ax 3Az 0所以所求的平面的方程为 2x 3z 02 .指出下

4、列平面白特殊位置 ： y 0; 3x 1 0; 3x 2y 6 0;(4) x y 0; y z 1 ;(6) 2x 3y z 0解(1) xOz平面(2)垂直于x轴的平面 它通过x轴上的点(1,0, 0)3(3)平行于z轴的平面 它在x轴、y轴上的截距分别是 2和 3(4)通过z轴的平面 它在xOy面上的投影的斜率为 1(5)平行于x轴的平面 它在y轴、z轴上的截距均为1(6)通过原点的平面解此平面的法线向量为 n (1, 2,2)此平面与yOz面的夹角的余弦为coscos(n, i)n i|n| |i|122( 2)2 11此平面与zOx面的夹角的余弦为A n j22cos cos(n,

5、j)|n| |J|22 ( 2)2 113此平面与xOy面的夹角的余弦为coscos(n, k)n k|n| |k|222 ( 2)2114.分别在下列条件下确定l ,m,n的值:(1)使(l3)x (m 1)y (n 3)z 8 0 和(m 3)x (n 9)y (l 3)z 16示同一平面;(2)使2x my 3z 5 0与lx 6y 6z 2 0表示二平行平面;(3)使lx y 3z 1 0与7x 2y z 0表示二互相垂直的平面解：(1)欲使所给的二方程表示同一平面，则:m 2l 3 0n 2m 7 0,l 2n 9 0816解之得l1337(2)欲使所给的二方程表示二平行平面，则:2

6、 _ml 6(3)欲使所给的二方程表示二垂直平面，则:7l 2 3 0 所以：l5.求平面x y 110与3x 8 0的夹角；解设x y 11 0与3x 8 0的夹角为则 cos ,32 32所以 _. 46.求点(1,1,2)到平面2x y 2z 3 0的距离解利用点到平面的距离公式可得2 1 1 1 2 2 34，,22 12 2237.已知 A( 5, 11,3), B(7,10, 6C( 1, 3, 2),求平行于ABC所在的平面且与它的距离等于2的平面的方程.解设所求平面的法向量为 nuuu uur uuu因为 n AB, n AC, ABuuur(12,21, 9), AC(6,8

7、, 5)uuu uuurjj则 AB AC12 2168k933i 6j 30k5所以取n (11, 2,10),则设所求的平面方程为11x 2y 10z D 0由已知条件得11 1 2 ( 3) 10 ( 2) D2_ 2211( 2)10D 3 30, D1 33,D227所以所求平面方程为1仅2 y 10z 33 0 或11x 2y 10z 27 0习题6.4求下列各直线方程 通过点Mi(1, 2,2)和M2(2,1, 1)的直线uuuuuir解所求直线的方向向量为 s M1M 2 (1,3, 3)所求的直线方程为x 1 y 2 z 2133x 1 y 2 z 1过点(3,2, 1)且平

8、行于直线 y 的直线123解所求直线的方向向量为 s (1, 2,3)所求的直线方程为x 3 y 2 z 1123 过点A(1, 3,2)且和x轴垂直相交的直线因为直线过 A点和x轴垂直相交，所以交点为B(1,0, 0)，取s BA (0, 3,2)，所求直线 方程(4)通过点(1,0,2)且与两直线 土 y 11解所求直线的方向向量为 s n1n2所以，直线方程为：人 y 2 112为:2.通过点M (1,2, 1)且与x, y,z三轴分别成60,45,120的直线;解 所求直线的方向向量为：cos60 ,cos45 ,cos120x y求直线2x yz 1z ',的点向式方程与参数

9、方程3z 4解先求直线上的一点y z 2y 3z 2解此方程组得y即(1,2,0)就是直线上的一点再求这直线的方向向量以平面1和2x3z4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s :(i jk) (2i3k)4i j 3k因此所给直线的对称式方程为令v W。，得所给直线的参数方程为x 1 4t y 2 t z 3t求过点(1, 2,3)且与直线x 2y 4z 73x 5y 2z 10垂直的平面方程0解 所求平面的法线向量n可取为直线x 2y 4z 73x 5y 2z 10的方向向量即0n (1, 2,4) (3,5,2)16i 14j 11k所平面的方程为16(x1) 14(y 2)11(z3)

10、0,即 16x14y 11z 11 0，. x求直线l : 12x y z3 0的交点坐标和夹角.解直线l的参数方程为：t设交点处对应的参数为t0 ,代入得2t2 (金)(1 I) (1 2t0)0,t01 ,从而交点为(1,0, 1).又设直线l与平面的交角为，则：sin2 ( 1) 1 1 1 216 、6所以判别下列直线与平面的位置关系y 47y 22z一和4x3z 1工 和 I2y 2z 3(4)6x 4y 14z5x 3y2x y2z4x 3y 7zx ty2tz 9t3x4y7z 10解(1)所给直线的方向向量为s (2,7,3)所给平面的法线向量为n (4, 2, 2)因为 s

11、n ( 2) 4 ( 7) ( 2)2) 0所以s n，从而所给直线与所给平面平行又因为直线上的点(3, 4,0)不满足平面方程4x 2y 2z 3所以所给直线不在所给平面上(2)所给直线的方向向量为所给平面的法线向s (3, 2,7)量为n (6, 4,14)因为sPn所以所给直线与所给平面是垂直的(3)直线的方向向量为： s n1 n2平面的法向量为 n 4i 3j 7k ,而(5i9j所以直线与平面平行或者直线在平面上;取直线上的点5ik)9j(4i3j 7k) 0 ,2, 5,0),显然点在M ( 2, 5,0)也在平面上(因为4 ( 2) 3 ( 5)7 0),所以，直线在平面上(4

12、)直线的方向向量为s (1, 2,9),因为 3 1所以直线与平面相交但不垂直.6.求下列各平面的方程： 通过点M (2,0, 1),且又通过直线 上-y-21x 1解(1)解 所求平面的法线向量与直线 24(2) 7 9 02的平面；3上 上的方向向量s113(2, 1,3)垂直 因为点(2,0, 1)和(1,0,2)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量S2( 1,0,2) (2,0, 1) ( 3,0,3)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为i 5j kn s1s2所求平面的方程为(x 2) 5y (z 1)0,即 x 5y z 1 0通过直线2z且与直线151x 2y z 1

13、0x y z 1 0平行的平面;解直线x 2y z 1 0的方向向量为x y z 1 0j k21 i 2j 3k1 1i5 (1,2, 1) (1, 1,1) 11所求平面的法线向量可取为i j k13i 2j 3kn s1s2123151又平面过点(2, 3, 1),由平面点法式方程得,所求平面的方程为13(x 2) 2 y 3 3 z 10即 13x 2y 3z 17 0.求点(2, 1,0)在平面x y z 1 0.上的投影解平面的法线向量为 n(1,1, 1)过点(1,2,0)并且垂直于已知平面的直线方程为x 2 y 1 z将此方程化为参数方程x 2 t, yt 2 (t 1) t

14、1 01 t,zt，代入平面方程x y z 1 0.中得一22 8斛信t再将t代入直线的参数方程 得x-y333一，812、(2, 1,0)在平面x y z 1 0.上的投影为点(，-,-)3 3 3求点p(2, 1,1)到直线x y z LQ的距离2x y z 4 0解直线xxyyzzT。的方向向量为s (1,1, 1) (2, 1,1)3j 3k过点P且与已知直线垂直的平面的方程为3( y 1) 3( z 2) 0 即y z 1 0解线性方程组2x y z 4 0点P(2, 1,1)到直线xxyyzzL0。的距离就是点P(2, 1,1)与点(1, 分)间的距离d 1(2 1)2( 1 3(

15、1 2)2£9.设Mo是直线外一点 M L是直线L上任意一点且直线的方向向量为s试证 点Mo 到直线L的距离|MoM s|s|证 设点M0到直线L的距离为的方向 L向量s MN 根据向量积的几何意义以和MN为邻M0M边的平行四边形的面积为|M0M MN | |M 0M s|又以M0M和MN为邻边的平行四边形的面积为d |s| |M0M s|因此d |s| |M0M s| d 1MoM s|s|x y z 1 0求直线在平面2x y 2z 1 0上的投影直线的方程.x y z 1 0解设过直线xyz10, 一 ，、，的平面束万程为 (x y z 1)xyz10(x y z 1)即(1

16、)x (1 )y ( 1 )z这平面与已知平面2x y 2z 1 0垂直的条件是(1) 2 (1)(1) (1)(2) 0,解之得3代入平面束方程中得 x 2y 2z 2 0投影平面方程为,所以投影直线为x 2y 2z 2 02x y 2z 1 0习题6.51 .求以点(1, 2,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程解球的半径R。12 ( 2)2 22 3球面方程为(x 1)2 (y2)2(z2)29即 x2y2z2 2x 4y4z0.2 .方程x2y2z22x 4y2z20表示什么曲面？解由已知方程得(x1)2(y2)2 (z1)2 22所以此方程表示以(1,2, 1)为球心 以2为半径的球

17、面3 .将yOz坐标面上的抛物线 y2z绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的y换成. y2 x2得旋转曲面的方程y2 x2z24 . 将xOz坐标面上的椭圆x2 9z2 36分别绕x轴及z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解椭圆绕X轴旋转而得的旋转曲面的方程为22222x yx 9( y z ) 36.即)一62椭圆绕z轴旋转而得的旋转曲面的方程为2(x2 y2) 9z2 36.即 事 62625 .指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形 x 1; y x 2； x2y24； x2y24解(1)在平面解析几何中x 1表示平行于y轴的一条直线在空间解析几何

18、中x 1表示一张平行于 yOz面的平面(2)在平面解析几何中y x 2表示一条斜率是 1在y轴上的截距也是2的直线在空间解析几何中，yx 2表示一张平行于 z轴的平面(3)在平面解析几何中22y x 4表布中心在原点半径是4的圆 在空间解析几何f 22 22中 y x4表木母线平行于z轴准线为y x4的圆柱面(4)在平面解析几何中x2 y24表示双曲线母线平行于z轴的双曲面6.说明下列旋转曲面是怎样形成的：22222王上二1；y2二1；99444在空间解析几何中x2 y2 4表示222(z 1) x y解这是yOz面上的椭圆91绕z轴旋转一周而形成的或是xOz面上的椭4z 0;22士工；94/

19、 / /'-J 1idy ./z轴的圆柱面。22x z圆L M 1绕x轴旋转一周而形成的942这是xOy面上的双曲线 y2 1绕y轴旋转一周而形成的或是yOz面上的双422 Z 曲线 y 1绕y轴旋转一周而形成的 4(3)这是zOx面上的曲线(z 1)2 x2绕z轴旋转一周而形成的或是yOz面上的曲线(z 1)2 y2绕z轴旋转一周而形成的7.指出下列各方程表示哪种曲面，并作图：,222 x y ax 0 ； y222. 4x y z 4 ；(4) ziz J 4 I JJv/yx# a22_ . 一.一.(1) x y ax 0表小母线平行(2) y2 z 0表示母线平行x轴的抛物柱

20、面222(3) 4x2y2z24表小单叶双曲面222(4) x 2y z2表小双叶双曲面22x y ，一，一(5) z 匚表小椭圆抛物面xz948.画出下列各曲面所围成的立体的图形：x0,y0,z 0,x 2,y 1, 3x 4y2z 12 0x2y2z2 4, z，3(x2y2)222222x 0,y 0,z 0, x y R , y z R在第一卦限内解(1)所围成的图形是一个柱体。习题6.6画出下列曲线在第一卦限内的图形:h &2x2x2y2z解(1)(1)是平面x 1与y 2相交所得的一条直线;(2)上半球面z 4 x2一1 一一y与平面x y 0的交线为一圆弧;4(3)圆柱面

21、212a与x22.z a的交线.2x2.指出方程92y4x 3在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形。解在平面解析几何中2L 1 士一4表不椭圆321与其切线x43的交点(3,0)在空间解析几何中O4表不椭圆柱面3.4.x 32y 1与其切平面4x 3的交一 2.2求曲面x 4y 10z与yOz平面的交线。分别求母线平行于x轴及z轴而且通过曲线2y22y2z3z24x 4z 16的柱面方程8x 12z 0解 把方程组中的x消去得方程y2 z24z0这就是母线平行于x轴且通过曲线- 222y z 4x 4z 16 M 的枉面万程22y 3z 8x 12z 02_把方程组中的z消去得方程y 4x 0这就是母线平行于y轴且通过曲线c 222y z 4x 4z 16 M 的枉面万程22y 3z 8x 12z 05.将下列曲线的一