新教材第四章三角函数教学体会与设想

1、新教材第四章“三角函数”教学体会与设想 三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是中学后继内容和高等数学的基础。 本章教学时间约用36课时，具体分配如下(仅供参考)： 4.1角的概念的推广约2课时4.2弧度制约2课时4.3任意角的三角函数约2课时4.4同角三角函数的基本关系式约2课时4.5正弦、余弦的诱导公式约3课时4.6两角和与差的正弦、余弦、正切约7课时4.7二倍角的正弦、余弦、正切约3课时4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质约4课时4.

2、9函数y= Asin(x+)的图象约3课时4.10正切函数的图象和性质约2课时4.11已知三角函数值求角约2课时小结与复习约4课时一、内容与要求 (一)本章主要内容是：任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式；两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数；三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角等。 (二)具体安排：章头引言中安排了一个实际问题求半圆内接矩形的最大面积这个问题可以用二次函数来解决，如果设角度为自变量，会得到三角函数式 ，探索如何求它的最大值。 第一大节是“任意角的三角函数”。教科书首先推广角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角

3、(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦、余弦的诱导公式。教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用。 第二大节是“两角和与差的三角函数”。教科书先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明)，用距离公式推出余弦的和角公式，然后顺次推出(尽量用启发式)公式 ,同时安排了公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式，让学生有所了解。 第三大节是“三角函数的图象和性质”。教科书先利用正弦线画出函数（x0,2）的图象，并根据“终边相同的角有相等的同名三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦

4、曲线；在此基础上，利用诱导公式把正弦曲线向左平行移动/2个单位长度，得到余弦曲线。接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了函数y=Asin(x+) 的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质。最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了 arcsinx、 arccosx、 arctanx等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案。 (三)本章的教学要求是： 1使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算。 2使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式

5、(三个) ；掌握正弦、余弦的诱导公式。 3使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。 4使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。 5使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+) 的简图，理解 A 、

6、、 的物理意义。 6. 使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、 arccos x、 arctan x表示。二、本章的特点 (一)遵循“基本的，有用的” 原则,对传统的三角内容作了大幅度的精简。被明确删去的内容有：正切、余切的诱导公式；化 asinx+bcosx为一个角的一个三角函数的形式；余切函数的图象和性质；反三角函数和简单三角方程。被明确简化的内容(要求随之降低)有：对余切、正割、余割只要求了解其定义，不作其他延伸；只引出半角、积化和差、和差化积公式，但不要求记忆；余弦函数的图象不用余弦线画，而利用正弦曲线和诱导公式来画。经过这样的精简，原教材安排的76课时减为新大纲规

7、定的36课时。 (二)突出了数学思想和数学方法。本章教材突出的基本数学思想有：集合思想，例如引入象限角的集合，用集合表示符合某条件的角以及三角函数的定义域和值域等；对应思想，例如一个角的度数与弧度数一一对应，角与某一种三角函数的值的对应等；数形结合思想，例如用坐标来定义三角函数，用与单位圆有关的有向线段表示三角函数线，用单位圆引出正弦、余弦的诱导公式，利用图象来研究三角函数的性质、通过将正弦曲线上各点的坐标进行平行移动、伸长或缩短来画出函数的简图等；化归思想，例如研究一个角的正弦、正切值同时为负数的充要条件，将求任意角的三角函数值逐步转化为求锐角三角函数值(这是将未知问题转化为已知问题)，将画

8、正弦曲线逐步转化为画函数的简图(这是将已知问题转化为未知问题)，将由已知三角函数值求角的问题转化为先求出符合某条件的锐角(辅助角)等。突出的基本数学方法(通法)有：坐标法，例如在平面直角坐标系内定义三角函数，研究它们的图象和性质，建立适当的坐标系推出正弦、余弦的诱导公式以及余弦的和角公式等，这一方法的普遍使用，也为后面学习向量与解析几何进一步打好了基础(前面学习函数时已渗透)；换元法(设中间变量，包括设参数)，例如，由正弦曲线的形状和位置关系推测函数y = Asin(x + )的图象的形状和位置关系，在由三角函数值求角时先替换成求出符合某条件的锐角等，由于新大纲未专设参数方程这一项教学内容，所

9、以有关参数的知识及运用要在各章节中适当安排；五点法，这在画正弦、余弦函数以及与其相关的函数的简图时起着很大的作用；待定系数法，例如先写出函数式，再根据已知条件求出这里的系数A、，以及化简这样的式子等。除此以外，在本章的各部分内容中，还渗透了综合法、分析法以及观察、比较、抽象、概括等方法。例如用综合法、分析法证明简单的恒等式；观察三角函数的图象得出其单调性及正弦、余弦函数在一个周期上的五个关键点；比较角的两种单位制，比较正弦函数、余弦函数的图象和性质，比较正弦曲线与函数y = Asin(x + )的图象；从实际问题中抽象出O。到360。范围以外的角，从而将角的概念推广到任意角(包括正角、零角和负

10、角)，并按角的终边所在的位置概括出象限角或终边在坐标轴上的角；在推导出五组诱导公式后，将它们概括成一句话“k+a（kZ）的三角函数值，等于a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号”；在讲解画函数y = Asin(x + )的简图的过程时，概括成一段话“函数y = Asin(x + ) ，xR(其中A>0, >0)的图象，可以看作是用下面的方法得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当1时)或伸长（当0l时）到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A 1时)或缩短(当OA

11、1）到原来的A倍(横坐标不变)”等。 (三)注意提高学生的能力。提高学生的思维能力，除了上述要求学生会对有关对象进行观察、比较、分析、综合、抽象和概括，还培养他们会用归纳、演绎和类比进行推理，并小结出它们的内在联系和推导线索以供学生参考和记忆；在运算方面，虽然用科学计算器可以迅速求得任意角的三角函数值，但由于运用诱导公式的方法具有思维训练价值及运算训练价值，所以教科书仍按传统方法处理，但有所简化。关于空间想象，在本章中主要是指在平面(二维空间)内的数形结合，为此把单位圆与三角函数线的知识提前到用坐标定义任意角的三角函数一小节，这就强化了几何表示，对于后面讲诱导公式带来了方便；另外，在“函数y

12、= Asin(x + ) 的图象”一小节中。增加了一些关于判定如何进行平行移动、伸长或缩短，使一个图象变到另一个图象去的题目，这种训练渗透了近代几何学中的一个重要思想变换思想，也是义务教育初中几何教科书中“全等变换”、“位似变换”等“读一读”资料的延伸(见人教版初中几何第二册)。 (四)注意加强理论联系实际。章头引言安排了一个实际问题-求半圆内接矩形的最大面积。这个问题可以用学生学过的二次函数的知识来解决。但如果从角度出发，就会得到一个三角函数式，求这个三角函数式的最大值，只利用学生已经学过的锐角三角函数的知识是不够的。教科书还注意从实际问题中引出任意角的概念和弧度的概念以及加强它们的应用。有

13、的应用是很浅显的，例如“今天是星期三，那么7k 天后的那一天是星期几? 7k天前的那一天是星期几？”，就发生在学生的身边。作为本章的阅读材料，还介绍了“弧度制的由来”和“同频率正弦电流相加，频率不变”这些知识，后者用正弦的和角公式进行了推导，为以后学生学习物理中的有关电学知识打好了数学基础。 (五)注意符合学生的认识规律。除了从实际问题引入数学概念之外，在这方面的措施有：(1)重建数形结构。首先通过平面直角坐标系 (数形结合)定义任意角a的三角函数，在得到“终边相同的角的同名三角函数的值相等”即第一组诱导公式后，就引入与单位圆有关的有向线段，将任意角a的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形

14、式(三角函数线)表示出来；然后学习同角三角函数的两个基本关系式，其他诱导公式，以及两角和与差的三角函数，这一部分属于式的化简、求值、恒等关系的证明以及它们的简单应用，研究方法以数为主，以形为辅；最后学习三角函数的图象和性质、其应用包括已知三角函数值求角，这一部分的研究方法则以形为主，以数为辅。全章力求使知识来自实际，来自对数与形的共同的、互相配合的研究，同时利用并培养学生的形象思维和逻辑思维。(2)利用学生已有的认知结构。在引言中，首先利用二次函数的知识来解决问题；建立任意角的概念时，利用学生观看体操节目已有的例如对于“转体720度”的直觉和语词记忆；画余弦函数的图象时，利用正弦曲线和诱导公式

15、，已知三角函数值求角时，利用三角函数的图象和性质。以上这些都是与原教科书中处理不同的例子。可以说，本章的各项教学内容，基本上是环环相扣的，后面的知识均以前面的知识为基础，这样就能使学生在学习过程中可以较好地同化”和“顺应”。(3)精简认知结构，略去或简化不必要的程序。例如，从锐角三角函数直接推广到任意角三角函数，略去了讲钝角三角函数这一程序。这样做不仅节约了课时，而且密切了“任意角”与 “任意角三角函数”的联系，反而加强了后者这一知识的发生和形成过程。(4)在必要的地方增加台阶，让学生拾级而上。例如对于正弦曲线与函数y = Asin(x + )的图象之间的关系，后者如何从前者变化得到，对学生来

16、说是一个难点，新教科书增配了些练习题，帮助学生辨析“左移”、“右移”、“伸长”、“缩短”这些词语的涵义并学会使用。又如在“已知三角函数值求角”这一小节中，将每一道例题分成几道小题，使前面的小题成为解后面小题的基础。 三、教学中应注意的问题 (一)本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同角三角函数间的关系式、诱导公式及其运用；正弦、余弦的和角公式，正弦曲线的画法和正弦函数的性质。难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函数y = Asin(x + )的图象与正弦曲线的关系。关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清余弦的和角公式的特征

17、及其两角差公式、正弦的和角公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质。 由于课时较紧，教学中应遵循大纲所规定的内容和要求，不要随意补充已被删简的知识点。例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲三个；诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示那几个。求；在推导正切的和角公式以及画正切函数的图象时，出现了正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求记忆；积化和差与和差化积公式、半角公式也只是作为和(差)角公式的应用出现一下，结果不要求记忆，更不要求运用；此外，也不要补充“把 asinx+bcosx 化成一个角的三角函数”这样的例题和睦相处习题

18、。 (二)在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性。事实上，角的概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R及之间建立起一种一一对应的关系。说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一的。所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应。有的教师认为角度制的计量单位太小，而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致。(三)定义了任意角的三角函数

19、以后，严格地说，只有y=sinx 才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数，例如y=sin2x可以说是2x的正弦函数(这时可说它是三角函数)，也可以说是正弦函数与正比例函数的复合函数，但不能说是x的正弦函数。另一点是函数的定义域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说(或写)“正弦函数y=sinx，x0,2”，需知该函数只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体。 (四)关于已知三角函数值求角，在讲解第4.11小节的例2、例3(尤其是它们的第(2)小题)时，可以利用设辅助角(即通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用)来求解。把上述辅助角看作参变量(x为自变量)，那么所提供的方法就可看作参数的应用。新大纲把参数知识分散在有关的教学内容中，教学时适时提醒注意使用，这是有好处的。 (五)本章所使用的符