《角的平分线的性质》同步练习及答案

1、?角的平分线的性质?同步练习及答案一知识点1角平分线的性质1 如图 11.3-1 所示，在厶 ABC 中，/ C=90° , AD 平分/ BAC , BC=20cm , DB=17cm ,贝U D点到AB的距离是 .2. 如图11.3-2所示，点 D在AC上，/ BAD= / DBC, BDC的内部到/ BAD两边距离相等的点有 , BDC内部到/ BAD的两边、/ DBC两边等距离的点有 .图 11.3-3.如图 11.3-3,在 Rt ABC那么点D到AB的距离是°AC' B图 11.3-图 11.3-中/ 2=90 , / BAC的平分线3AD交BC于点CD

2、=2,D,BC. 34.图11.3-4,AC丄BC,DE丄AB ,AD平分/ BAC ,下面结论错误的是)A. BD+ED=BCB . DE 平分/ ADBC. AD 平分/ EDCD . ED+AC > AD图 11.3-图 11.3-5.如图11.3-54 Q是厶OAB的角平分线 OP上的一点，PC丄OA于C, PD丄OB于D, QE丄OB于E, FQ丄OQ交OA于F,那么以下结论正确的选项是A . PA=PB B . PC=PD C . PC=QED . QE=QF 垂足分别为 E、F, 点 O 是6 . 如图 11.3-6, AP 平分 / BAC , PE 丄 AC , PF

3、丄 AB ，证明：？?？ AP 平分/ BAC，二 OF=OE.以上证明过程是否正确？假设不正确，请改正C图13367. 如图11.3-7,在厶 ABC中，/ C=90° , AD平分/ BAC , D至U AB的距离为BD : DC=5 12, : 3 .试求 BC 的长.图 13.3-7知识点2:角平分线的性质与判定的综合应用8. 如图 11.3-8, DB 丄 AB , DC 丄 AC , BD=DC，/ BAC=80，贝U/ BAD=, / CAD=.9. 如图11.3-9,点C是/ AOB的平分线上一点，点 P、P分别在边OA、OB上，假设要得到OP=OP ;需要添加以下条

4、件中某一个即可，请你写出所有可能结果的序号：./ OCP=Z OCP;/ OPC=Z OPC : PC=PC;PPIOC.图 11.3-8图 11.3-910. 如图11.3-10, AB / CD, PE丄 AB , PF丄BD, PG丄CD,垂足分别E、F、G,且 PF=PG=PE，贝 U/ BPD= .11 如图 11.3-11 , DB 丄 AE 于 B, DC 丄 AF 于 C,且 DB=DC , / BAC=40°/ ADG=130，贝U / DGF=.1X7KTb_ DG I图 11.3-10图 11.31112 ?与相交的两直线距离相等的点是在()A . 一条射线上B

5、 . 一条直线上C?两条互相垂直的直线上D.以上都不对13.以下结论中，错误的选项是()A.至V角两边距离相等的点都在同一条直线上B.一条直线上有一点到角的两边距离相等，这条直线平分角C.至U角的两边距离相等的点，与角顶点的连线平分这个角D .角内有两点各自到角的两边的距离相等，经过这两点的直线平分这个角14.CD ,如图11.3-12, BD平分/ ABC ,AB=BC，点 P在 BD上，PM丄 AD ,PN丄M、N为垂足.求证：PM=PN .D1215.如图 11.3-13，AD 丄 DC，BC 丄 DC，E 是 DC 上一点，AE 平分/ DAB .(1)如果BE平分/ ABC，求证：点

6、E是DC的中点;如果E是DC的中点，求证：BE平分/ ABC .E图 133-13A ,C参考答案1. 3cm点拨：由角平分线性质，得 DE=DC=BC-DB=20-17=3cm2?无数；13. B 点拨：点D到AB的距离等于DC4. C5. B 点拨：只有PC、PD都是角平分线上的点到角两边的距离6. 不正确 AP 平分/ BAC , PF 丄 AB , PE 丄 AC ,二 PF=PE ,接着证 APEAA APF,得 AE=AF，再证 AOF AOE 即可.7. 由题意，得 DC=12 , BC=8DC=8 X12=32.338. 40 °40 ° 点拨：由 BD=D

7、C , DB 丄 AB , DC 丄 AC ,得 DA 平分/ BAC，所以 / BAD= / CAD= 1 11 / BAC=4029. 点拨：SSA不能判定两个三角形全等10. 90° 点拨：由 PE=PF 得/PBD=丄 / ABD，由 PF=PG 得/ PDB=丄 / BDC.IAB/CD，得/ ABD+ / BDC=180 , 二/ PBD+ / PDB=a X180°=90 °/ BPD=90II .150 ° 点 拨：由 DB=DC 得 / GAD= / BAD= 2 / BAC=20 ,/ DGF=Z GAD+ / ADG=130+2 &

8、#176; =150 °12. C 点拨：相交的两直线有两对对顶角13. B14. 先证 ABD CBD，得/ ADB= / CDB，由 PM 丄 AD , PN 丄 CD,得 PM=PN .15. 1如右图，过点E作EF丄AB , F为垂足.由角平分线性质得ED=EF ,EF=EC ,A ED=EC，即点E是DC的中点;2过点E作EF丄AB , F为垂足.由角平分线性质得 ED=EF ,又ED=EC,. EF=EC，由角平分线的得和是 BE平分2 2?角的平分线的性质?同步练习及答案二根底稳固 一、填空题1.如图1,在厶ABC中，/ C = 90° BC = 40, AD

9、是/BAC的平分线交BC于D，且DC : DB = 3 : 5,那么点D到AB的距离是。Ays.a、TlJf1lDA_Jr-CDB图亠F p$1 23题图2.如图2所示，在 ABC中，/ A= 90° BD平分/ ABC, AD= 2 cm,那么点D到BC的距离为cm.3.如图3,BD是/ ABC的内角平分线，CD是/ACB的外角平分线，由D出发， 作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG,垂足分别为E、F、G,贝U DE、DF、DG的关系是。4. 如图 4, AB / CD , O 为/ A、/ C的角平分线的交点，OE丄AC于E,且OE=2,那么两平行线间AB、CD的距离等

10、于5. ABC中，/ A=80° , / B和/C的角平分线交于 0点，那么/ BOC=、选择题6.如图5,在厶ABC中，AD是/ A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB= m , PC= n , AB = c , AC = b，贝U m n与b c的大小关系是0 ECD=9:7. Rt ABC 中，/C：9那么D，到AB边的距离为BAD 平分/ BAC 交 BC 于 D,假设 BC=32,且 BD :18B. 16C. 14D . 12(8. 如图6, AE丄BC于E, CA为/BAE的角平分线，AD=AE，连结CD,那么以下结论不正确的选项是A . CD=CE B .

11、 Z ACD= / ACEC . Z CDA =90° D . Z BCD= / ACD9. 在厶ABC中，Z B= Z ACB , CD是Z ACB的角平分线， ZADC=105，贝U ZA的度数为A. 40 ° B. 36 ° C. 70 ° D. 60 °10 .在以下结论中，不正确的选项是 A. 平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上B. 角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等C. 一个角只有一条角平分线D .角的平分线有时是直线，有时是线段二、解答题EB丄AB于B, EC丄AC于C, D是11. 如图7所示，AE是Z BAC

12、的角平分线, AE上一点，求证：BD=CD 。5A/XnxAF C图8112 .如图 8, BD=CD , BF丄AC于F, CE丄AB于E。求证：点D在Z BAC的角平分线上。13 .如图 9,Z AOP= Z BOP, AD 丄 OB 于 D , BC 丄 OA 于 C, AD 与 BC 交于点 P。求证：AP=BP。综合提高一、填空题14. 如图10,相交直线AB和CD,及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有 个。图1015. DEFAABC, AB=AC，且 ABC 的周长为 23cm, BC=4。口，那么厶 DEF的边中必有一条边

13、等于 。16. 在厶 ABC 中，/ C=90 ° BC=4CM，ZBAC 的平分线交 BC 于 D，且 BD : DC=5:3,那么D到AB的距离为。17. / B=Z C=90°, E 是 BC 的中点，DE 平分/ ADC，/ CED=350，如图 11,那么/ EAB的度数是。18. ABC中，AB=AC , / B、/ C的角平分线的交点为 0,连结A0,假设Sa AOB=6cm2,贝 U Saaob =。'选择题19. 如图12所示， ABC中，/ C=90 ° AC=BC , AD平分/ CAB,交BC于点D, DE丄AB于点E,且AB=6

14、cm,那么厶DEB的周长为A.9 cmB.5 cmC.6 cmD.不能确定20.以下命题中正确的选项是A .全等三角形的高相等C. 全等三角形的角平分线相等B.全等三角形的中线相等D.全等三角形对应角的平分线相等AOB内找一点P,使P到OA、OB的距离都等于A,做法如下：1 作0B的垂线NH,使NH=A,H为垂足.2过N作NM / 0B. 3作/ AOB的平分线OP,与NM交于P. 4点P即为所求.其 中3的依据是7>,35HB_图13A .平行线之间的距离处处相等C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等D .到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分22. 如图14, P是/ BAC的

15、平分线 AD上一点，PE丄 ABPF丄AC于F，以下结论中不正确的选项是C . ADE ADF D . AD=DE+DFABD图14线上于E ,23 .直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是A .45° B . 135 ° C . 45° 或 135 °D .都不对二、解答题24 .如图15, ABC的边BC的中垂线DF交厶BAC的外角 平分线AD于D, F为垂足，DE丄AB于E,且AB>AC，求证：BE AC=AE .1525 .如图16所示，AD为等腰三角形ABC的底角的平 分 线，/ C= 90°,求证：AB = AC + C

16、D .16拓展探究、解答题26 .如图17, ABC的边BC的中垂线DF交厶BAC的外角平分线 AD于D, F为垂足， DE丄AB于E,且AB>AC求证：BE AC=AE27. 如图18,AD II BC, / DAB和/ ABC的平分线交于E,过E的直线交AD于D ,交BC于C ,求证：DE=EC .28. 如图19,AC II BD、EA、EB分别平分I CAB和厶DBA , CD过点E,那么AB与AC+BD?相等吗？请说明理由.参考答案根底稳固一、填空题1.15;2. 2; 3. DE=DF=DG ;4. 4;5. 130 °二、选择题6.A 7.C 8.D9.A 10.

17、D三、解答题11 .证：先证 RtA ACE 也 RtA ABE ,推出 AB=AC。再证 ABD ACD(或 DCEAA DBE)，得出 DC=DB。BED "CFD =90 ,12. 证：在厶DBE和厶DCF中，匕BDE=NCDF,BD =CD,所以 DBE DCF(AAS)。二DE=DF。又v DE丄AB , DF丄AC , ?点D在I BAC的角平分线上。13. 证：vI AOP= I BOP, AD 丄 OB, BC 丄 OA，二 PC=PDACP 二 BDP =90 ,在厶 ACP 和厶 BDP 中,ipc 二 PD,，二 APCBPDAPC "BPD,? AP

18、=BP综合提高、填空题14.作I AOD、IAOC15. 4cm 或 9.5cm或/ BOD 的平分线与 EF 的交点；1 ;216.1.5cm17. 35、选择题18. 6cm19.C 20.D 21.B22.D 23.C、解答题24.证：过D作DN丄AC,垂足为N,DN 丄 AC,二 Rt DBE 也 RtA DCN ,? RA DEA 也 RtA DNA，二 AN=AE , /连结 DB、DC 贝 U DN=DE , DB=DC， 丄AB,? BE=CN.又 v AD=AD , DE=DN又：DE25.证一截长法：如图1所示,BD丄AB于E,? AD是/ BAC的平分线BE=AC+AN=

19、AC+AE，二 BE AC=AE .过点D作?/ CAD= / EAD，又 / DEA = / DCA 且 AD 公 共? ADE ACD (AAS ) , /?AE = AC , CD =在厶 DEB 中，?/ B = 45EBD是等腰直角三角形.二DE = EB，二? AC+ CD = AE + EB，即 AC + CD = AB ./ DEB =CD =证法二补短法： 长线上截取CM = CD ,MCD = 90 ° CD= CM 三角形.?/ M = 45 °如图2所示，在AC的延 在厶?MCD 中，/MCD是等腰直角?/ M= / B= 45 ° 又v

20、AD平分/ CAD又v在等腰直角三角形中，/B = 45 °MAD与厶BAD中*$M =/B =NMAABAD45AD =AD? MAD BAD (AAS)二 MA = CD = AB .AB，即AC图1DM连结A图2DEAEB.拓展探究、解答题垂足为DB=DC26.证：过D作DN丄AC , 连结 DB、DC,贝 U DN=DE ,又 v DE 丄 AB , DN 丄 AC,/? RtA DBE也 RtA DCN ,/? BE=CNRtA DEA 也又 v AD=AD , DE=DN ，Rt DNA /? AN=AE28.结果：相等.RFC27.证：在AB上截取AF=AD。： AE是

21、/ DAF的平分线?/ DAE二/ FAE 角平分线定义"AD = AF 已作在厶 DAE 和八 FAE 中，.DAE =/FAE 已证? DAE FAE SAS AE =AE 公共边? DE=FE 全等三角形对应边相等?/ D=Z AFE 全等三角形对应角相等?/ AFE+/ BFE=180 邻补角定义又AD / BC ?/ D+Z C=180P 两直线平行，同旁内角互补?/ BFE= Z C 等角的补角相等? BE是 Z ABC的平分线？?？ FBE=Z CBE 角平分线定义NFBE =NCBE 已证在厶 FBE 和厶 CBE 中 BFE =NC 已证/? FBECBE AASB

22、E = BE 公共边? DE=EC .证法一：如图(1)在AB上截取AF=AC，连结EF.AC 二 AFI在厶 ACE 和AAFE 中,.1 2? ACE AFE (SAS)AE =AE. =/ CACL BD= C D =180 : / 6=Z D.5 ? 6 =1806 二 DI在厶 EFB 和a BDE 中,3= 4 EFBAA EDB (AAS)FB=DBBEBE? AC+BD=AF+FB=ABACLJBD= F 二 /4、.二 / F=Z 33=/4F "3在厶AEF和a AEB中，1= 2 AEFAEB( AAS )AE = AE证法二：如图(2),延长BE,与AC的延长

23、线相交于点F5=6BE 二 FE ? BEDFEC (ASA)AB=AF , BE=FE在厶BED和厶FEC中，BD=FC4 =FAB=AF=AC+CF=AC+BD?角的平分线的性质?同步练习及答案三1 ?到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D ?三条角平分线的交点2. 如下图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处二、填空题3. 角的内部 的点，在这个角的平分线上.4 .如图，点P到/ AOB两边的距离相等，假设/ PO=30 ,贝U / AO= .A/>