第10章曲线积分和曲面积分第六节_第1页
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1、第六节高斯(Gauss)公式设空间闭区域G是由分片光滑的闭曲面W所围成, 函数P(x,y,z), Q(x9y9z),R(x,y,z)在G 上具有一阶 连续偏导数，Z是C的外侧，则j*Pdydz 4- <2 dr dx +/? dxdyjdv= JJJdivAdv丿 nd俘+許讐Jdx dy dzGauss公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.例3计算+j2dxdz+z2dxdj ,其中刀是长£解由高斯公式,方体0 x <a9 y <b9 OVzVc表面的夕卜仅!1月x2dydz y2dxdz z2dxdy= 2jjj(x +j+

2、z)dvn=2匚呵：4yJ：(兀 + y +z)dr=J； dxj：(2c兀+ 2c«y+°2)切=lcbx-¥cb2 -bc2)dx=a2bc +ab2c +abc2=abc(a +b+c).例4利用高斯公式计算曲面积分J|(x2 cos a + y2 cos + z2 cos /)dSE其中£为锥面工2+丿2=亍介于平匝=()及;=方 (力 0)之间的部分的下侧，cos a,cos 0,cos y是送在(x.y.z)处的法向量的方向余弦.解曲面S不是封闭曲面,能直接用高斯公式。补充平面片“ = h (x2 + y2<h2)取上侧，£ +纺成空间区域dE +百恰好是空间区域G的外侧Z在。上使用高斯公式,甘(兀 2 cos a+丿 2 cos 0 + z 2 cos 刃 dS£+£i=x2 dydz + y2 dxdz + z2 dxdy=2jJJ(x + V + z)dv 用柱坐标9ZZ = yjx2+y2(r cos0 + sin& + z)v dzzX: z=h|J(x2cosa +j2cos/? + z2cos/)dS =JJx2 dydz + y2 dxdz + z2 dxdy =JJz2dxdy = jj h2dxdy =兀(EDXy故所求积分为JJ(x2 cos

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