2020广州市高二上数学期末考

1、2020学年广东省广州市高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的.1. (5 分)已知全集 U=1, 2, 3, 4, 5,集合 A=1, 3,则？uA=()A. ? B .1,3 C . 2 , 4, 5 D . 1 , 2, 3, 4, 5考点：补集及其运算.分析：根据补集的定义直接求解：？uA是由所有属于集合 U但不属于A的元素构成的集合.解答：解：根据补集的定义，？uA是由所有属于集合 U但不属于A的元素构成的集合，由已 知，有且仅有2, 4, 5符合元素的条件.?uA=2, 4

2、, 5故选：C.点评：本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题.2. (5分)已知点 P (3, - 4)是角色终边上的一点，则 tan a =()A.4B.SC. 3D. 434Q台考点：任意角的三角函数的定义.专题：三角函数的求值.分析：直接利用正切函数的定义，即可得到结论.解答：解：二点P (3, -4)是角a终边上的一点，故选A.点评：本题考查正切函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题.3. (5分)若直线y=ax+3与直线y=-2x+a垂直，则实数a的值为()A. -2B. 2C.1D. 1 22考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系.专题：直线与圆.分析：由给出的直线的方程

3、求出两条直线的斜率，因为两条直线互相垂直，所以斜率之积等于-1,列式后可以求得实数 a的值.解答：解：直线y=ax+3的斜率为k产a,直线y= 2x+a的斜率为k2= - 2.因为直线y=ax+3与直线y=-2x+a垂直，所以k1?k2=-1,即ax (-2) =- 1,解得：a总故选D.点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，解答此类问题时，如果不需要讨论,可以求出两直线的斜率，利用斜率之积等于-1解决，若y的系数含有字母，可直接利用两直线 Ax+Biy+G=0与Ax+B2y+C2=0垂直的充要条件为 AA+BB2=0解决.此题是 基础题.4. （5分）要用一根铁丝焊接围成一个面积

4、为长度至少为（）A. 24B. 129的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的C. 6D. 313考点：基本不等式；函数最值的应用.专题：不等式的解法及应用.分析：设矩形的长为x,宽为v,则xy=9,铁丝的长度为2 （x+y）,利用基本不等式，即可 得到结论.解答：解：设矩形的长为x,宽为y,则xy=9，铁丝的长度为 2 （x+y） >2?25«=12当且仅当x=y=3时，铁丝的长度最小为12,故选B.点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.5. （5分）如图，在边长为 2的正方形ABCDrt随机取一点 P,分别以A B、C、D为圆心、1为半径作圆

5、，在正方形自区域M的概率是（ABCDrt的四段圆弧所围成的封闭区域记为）M （阴影部分），则点P取D.7T7考点：几何概型.分析：由题意知本题是一个几何概型， 影部分区域可以看作是由边长为专题：概率与统计.试验发生包含的所有事件是正方形面积S=2X 2,而阴2的正方形面积减去半径为 1的圆的面积得到，最后利用几何概型的概率公式解之即可.解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2X 2=4,阴影部分区域的面积是 44 - TTJT由几何概型公式得到 P=1,44故选C.点评：本题主要考查了几何概型，解题的关键求阴影部分的面积，同时考查了计算能力，属 于中档题.6

6、. (5分)某几何体的三视图(均为直角三角形)及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A-1)B弓一考点：函数零点的判定定理.专题：探究型.分析：利用根的存在定理，分别判断， 所在的区间.解答：解：函数F G)二三 因为f0)* - 4考- f管嚼V考， 所以f得f<0,)C 巾 1DD 哆 2)各区间端点处函数值的符合是否相反，从而确定零点1 (0, +8)上单调递增.f =五7二 1-2<0,<0, f =泥-1>0 ,上的零点所在的区间为A. 1B. 1C. 1D. 1方国同 一考点：由三视图求面积、体积.专题：空间位置关系与距离.分析：先根据三视图判断出几何

7、体的形状及长度关系，然后利用棱锥的体积公式求出几何体的体积.解答：解：由三视图知，该几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，一条侧棱垂直底面，几何体的高为1,，该几何体的体积为 VShd_!x 1 X 2X 1= 13故选B.点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何 体的面积及体积公式解决.所以根据根的存在性定理可知函数 f G)二4-N的零点所在的区间为故选D.工的前n点评：本题主要考查函数与方程的关系，利用根的存在定理去判断函数零点所在区间，是解 决本题的关键.8. (5分)已知等差数列an的首项为4,公差为4,其前n项和为则数列项和为()A

8、.I.B.C.:D.二2 (n+1)2n (n+1)n (n+1)n+l|考点：数列的求和；等差数列的性质.专题：等差数列与等比数列.分析：利用等差数列的前 n项和即可得出 a,再利用“裂项求和”即可得出数列2的前n项和.解答：解：.Sn=4n+"(门？ X&=2n2+2n, . .工工工d)I. ，乂 ISn 2n2+2n 2 。n+1数列 -L的前n项和4+J =222 3n n+12n+12 (n+lD故选A.点评：熟练掌握等差数列的前 n项和公式、“裂项求和”是解题的关键.9. (5 分)在长方形 ABCD43, AB=2, AD=1,贝UAJCD=()A. 4B.

9、2C. - 2D. -4考点：平面向量数量积的运算.专题：计算题.分析：依照向量模的几何意义求出两向量的模，再求出夹角，计算即可.解答：解：易知|正|二2五，瓦 |二2，所以原式=|正 | 冠 |8白(180” -45° ) =2/2 X2X (-.)=4故选D点评：本题考查向量数量积的基本运算，属于基础题.此题易错点在于两向量夹角应为135° ,而非 45° .10. (5分)设函数f (x)的定义域为 R,若存在与x无关的正常数 M,使|f (x) |WM|x| 对一切实数x恒成立，则称f (x)为有界泛函.有下面四个函数：f (x) =1;f (x) =x2

10、;f (x) =2xsinx ;f (x)=V.其中属于有界泛函的是()A.B.C.D.考点：函数恒成立问题.专题：计算题；新定义.分析：本题考查阅读题意的能力，根据有界泛函的定义进行判定：对于可以利用定义直接加以判断，对于可以利用绝对值的性质将不等式变形为|x| w成对于，即|2sinx| WM,只需 M>2,对于，将不等式变形为 | <M可以求出符合条件的m的最小值解答：解：对于，显然不存在 M都有1WM|x|成立，故错；对于，|f (x) |=|x 2|WM|x|,即|x| WM,不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；错对于，f (x) |=|2xsinx| &l

11、t; M|x| ,即 |2sinx| WM 当 M1>2 时，f (x) =3xsinx 是有 界泛函.对对于，|f(X)=|) |WM|x|,即 WM 只需 >4， x +x+2I +工+2 I +宣+24对综上所述，故选B点评：本题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力.知识点方面主要考查了函 数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加 以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分.11. (5分)已知哥函数f (x) =x"的图象过点 出),则函数f (x)的定

12、义域是0 , +8)考点：哥函数的概念、解析式、定义域、值域.专题：函数的性质及应用.分析：依题意可求得a =2,从而可求f (x)的定义域.解答：解：£ (x) =x"的图象过点(2,1. f ( x) =x 2,，函数f (x)的定义域是0 , +8).故答案为：0 , +8).点评：本题考查募函数的性质，求得 “是关键，属于基础题.12. (5分)如图给出的是计算十工&十，值的一个程序框图，当程序结束时，n的值2 3 n为 2013 .开始I.r=l, S=0尸计1考点：循环结构.专题：计算题.分析：利用循环结构的功能和判断框即可得出.解答：解：当i=2012

13、时，i <2013,执行“是"后得到 i=2013 , 2013<2013不成立，执行 “否”，输出S.故答案为2013.点评：正确理解循环结构的功能和判断框是解题的关键.13. (5分)已知 ABC的三个顶点的坐标分别是 A (2, 4, 0), B (2, 0, 3), C (2, 2, z), 若/C=90 ,则z的值为 -1或4 .考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系.专题：计算题；平面向量及应用.由/C=90 ,可得二。，利用向量的数量积运算可求得z值.解答：解：AC= (0, -2, z), BC= (0, 2, z-3),因为/C=90 ,所以 AC-BC

14、-O,即 0-2X2+z ( z-3) =0,解得z= - 1或4,故答案为：-1或4.点评：本题考查利用数量积判断两个向量的垂直关系，属基础题.<314. (5分)设实数x8, 34y满足，x-y+2>0 ,则x2+y2的取值范围是净- 4)0考点：简单线性规划.专题：计算题；不等式的解法及应用.分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的 ABC 及其内部，设P (x, y),可得 x2+y2=|OP| 2表示。P两点距离的平方之值，因此运动点P并加以观察可得|OP|的最大、最小值，即可得到x2+y2的范围.解答：(解：作出不等式组 卜一小口表示的平面区域， | Hy -得到

15、如图的 ABC及其内部，其中 A (3, 5), B (3, 1), C (1, 3)设P (x, y)为区域内一个动点则IOP尸尸于因此x2+y2=|OP|2表示Q P两点距离的平方之值当P与A重合时|OP|= JV + s2F9达到最大值，当P与原点。在BC上的射影D重合量，|OP|=12斗一21=迅达到最小值V1+1，|OP| 2的最小值为8,最大值为34,即x2+y2的取值范围是8, 34故答案为：8 , 34点评：本题给出二元一次不等式组，求 x2+y2的取值范围，着重考查了两点的距离公式、 元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.三、解答题：本大题共 6小题

16、，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程15. (12分)在平面直角坐标系 xOy中，已知A (3, 1), C (1, 0).(1)求以点C为圆心，且经过点 A的圆C的标准方程；(2)若直线l的方程为x - 2y+9=0,判断直线l与(1)中圆C的位置关系，并说明理由.考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程.专题：直线与圆.分析：（1）因为圆C的圆心为C （1, 0）,可设圆C的标准方程为（X-1） 2+y2=r2.把点A （3, 1）代入圆C的方程求得r2=5,从而求得圆C的标准方程.（2）由于圆心C到直线1的距离为d二匕三三包二2旄，大于半径，可得直线l Vz2+i2 与圆C

17、相离.解答：解：（1）因为圆C的圆心为C （1, 0）,可设圆C的标准方程为（X- 1） 2+y2=r2.因为点A （3, 1）在圆C上，所以（3T） 2+12=r；即r2=5.所以圆C的标准方程为（x-1） 2+y2=5.（2）由于圆心C到直线1的距离为日二旦彳工土包二2 J仁.我，L因为2dg即d>r,所以直线1与圆C相离.点评：本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识，点到直线的距离公式的应用，属于中档题.16. (12 分)已知函数 f (k) =sinx+*/3cosx,工ER.(1)求函数f (x)的最小正周期；的值.(2)若f (Q - 2)=!，口 E (

18、0, 2),求F (2W - 占) J 5z3考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法. 专题：三角函数的求值.分析:解答:（1）利用两角和的正弦公式及周期即可得出；（2）利用（1）及已知可得sin a ,进而得到cos a ,于是可得f （2Q -）1-1解：（1）|f =Sim+/3co£X = 2 CsinxH-2ycosi）老员n G+与）.所以函数f （x）的最小正周期是 2兀.（2）由（1）得，-：，：，:二 i,-因为 f（Q-g）* 所以 f口（口-兀 n 、mF=2sin<!=-.E.即式口”因为立E （0,今）,所以8sQ二工- sid 口

19、=4。所以f (2n-21)=2sin(2a 一吟)=2sin2a=4sin a cos a点评：本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想.17. （14分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N名学生作为样本,得到这N名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率3, 6)10m6, 9)nP9, 12)4q12, 1520.05合计N1（1）求出表中N, p及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选 2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间12, 15内的概率

20、.考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图.分析:专题：概率与统计.（1）由分组12 ,15）内的频数是2,频率是0.05 ,可得工0 05，所以N=40.再由N *10+n+4+2=40,解得n=24,由此求得 打考以及于考的值.（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间12 ,15）内”为事件 A.这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有4+2=6人.从这6人中任选2人的所有可能结果，用列举法求得共 15种，事件A包含的Z果有9种，由此求得事件 A发生的概率.解答：解：（1）由分组12 ,15）内的频数是2,频率是0.05,可得05,所以N=40. N因为频数之和为 40,所以

21、10+n+4+2=40,解得n=24.所以，6P N 40因为a是对应分组6 , 9）的频率与组距的商，所以，收我%. 2 .J J（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间12 ,15）内”为事件 A.这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有4+2=6人.b2.记在区间9 , 12）内的4人为as a2,8，a4,在区间12 , 15）内的2人为b1,从这6人中任选2人的所有可能结果有：a 1, a2 , ai, a3 , a 1, a4 , a. bi , a 1, b2,a 2,a,a 2,a4,a 2,bi,a 2,b2,a3,a4,a 3,bi,a 3,b2, a4，bi,a

22、4, b2,bi, b2,共 15 种.事件 A包含的结果有：ai,bi, a 1,b2,a 2,bi,a2,b2, a 3,bi, a 3,b2,a 4, bi,b2, bi, b2,共 9种.所以所求概率为P (A) $咯06点评：本小题主要考查频数、频率等基本概念，考查古典概型等基础知识，属于基础题.18. (14分)如图所示，AB是。0的直径，点C是。0圆周上不同于 A、B的任意一点，PAL平面ABG点E是线段PB的中点，点 M在同上，且MO/ AC(1)求证：BCL平面PAQ(2)求证：平面 EOM平面 PAC考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定.专题：计算题；空间位置关

23、系与距离.分析：(1)由PAL平面ABC证出PA! BG由直径所对的圆周角证出BCLAG再利用线面垂直判定定理，即可证出BCL平面PAC(2)根据三角形中位线定理证出EO/ PA从而得到 EO/平面PAC由MO/ AC证出MO/平面PAG再结合面面平行判定定理即可证出平面EOM平面PAC解答：解：(1)二.点C是以AB为直径的。0圆周上不同于 A B的任意一点， ./ACB=90 ,即 BCLAC PAL平面 ABC BC?平面 ABG .PAL BC . AC?平面 PAC PA?平面 PAG ACn PA=A .BC1平面 PAC(2)二点E是线段PB的中点，点O是线段AB的中点，EO/

24、PA PA?平面 PAC EO?平面 PACEO/ 平面 PAC MO/ AG AC?平面 PAG MO?平面 PAG .MO/平面 PAC EO?平面 EOM MO?平面 EOM E6 MO=O 平面EOM平面PAC点评：本题给出特殊锥体，求证线面垂直并证明面面平行，着重考查直线与平面垂直的判定、 平面与平面平行的判定定理等知识，考查空间想象能力，属于中档题.入为常数)，且ai, az+2,19. (14分)已知数列an满足ai=1,4廿1二日八十九,？打6日, a3成等差数列.(1)求入的值；(2)求数列an的通项公式;2(3)设数列bn满足bn=门,证明:bn<考点：等差数列的性质

25、；数列与不等式的综合.专题：等差数列与等比数列.分析：(1)利用数列递推式，结合ai, az+2, a3成等差数列，即可求 入的值；(2)由%+广(nCN*),可得% -、_1二2九5封2),利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可求数列an的通项公式；(3)确定数列bn的通项，可得其单调性，即可证明结论.解答：(1)解：因为a=1,二%+九(nC N*),所以已工二3+工 2 1二»，己=' 2tl=1+6 X -因为a1, az+2, a3成等差数列，所以 a1+a3=2 (az+2),即 2+6 入=2 (3+2 入),解得入=2.(2)解：由(1)得，入=2,所以 a

26、n+1=an+2n+i (neN),所以 a 一 a 尸2rl(n2).当 n>2 时，an=a1+ (a2 a。+ (a3 a2)+ (an an-1)=1+22+23+2n=F' 1-2“ ” =2n+1-3.1-2又a1=1也适合上式,所以数列a的通项公式为日-21141 - 3 (nCN*).(3)证明：由(2)得,一 3 '所以6rl二施因为(rd-1) 2 _ n2 n5+2n+l%+1- 加 nn+2当 n>3 时，(n1) 2+2v0,所以当 n>3 时，bn+i - bn< 0,即 bn+ibn.又、+>=|江总'* .(nC N).点评：本小题主要考查等差数列的概念，考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能力、推理论证能力等.20. (14 分)设 a 为常数，aC R,函数 f (x) =x2+|x - a|+1 , x C R.(1)若函数f (x)是偶函数，求实数 a的值；(2)求函数