八年级同步第19讲：证明举例-教师版

1、班假暑级年八#/ 30证明举例内容分析几何证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、 公理、定理的概念进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题.通 过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供 依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础.知识结构模块一：演绎证明知识精讲1、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明.也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程.演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法.演绎证明是一种严格的数学证明,是我们现在要学习的证明方

2、式，简称为证明.【例1】填空:（1）如图，因为 1=60 （已知），2=60 （已知）,所以/ （）.（2）如图，因为 AB/CD （已知），所以 A D (),因为AD/BC (已知)，所以 A (),CAE的平分线.CAE【难度】【答案】（1） a, b,内错角相等，两直线平行；（2） 180 ,两直线平行，同旁内角互补;B ,两直线平行，同旁内角互补； D , B ,同角的补角相等.【解析】略【总结】考查有关平行线的性质和判定定理的掌握.【例2】 已知：如图， ABC中，AB=AC, AD是外角/求证：AD / BC.【难度】【答案】略【解析】证明：Q AB AC , B CQ CAE是

3、的外角，CAE B C1 B C - CAE 2 1QAD是 CAE的角平分线，DAE CAD -2DAE B AD/BC【总结】考查平行线的性质和判定，先判定平行再应用平行线的性质.，,班假暑级年八【例3】 已知：如图， AD BC于D, EF BC于F ,交EF BCAB于G,交CA延长 线于E ,1= 2 .求证：AD平分 BAC ,填写分析和证明中的空白.分析：要证明 AD平分 BAC,只要证明 而已知 1= 2 ,所以应联想这两个角分别和1= 2的关系，由已知BC的两条垂线可推出/ ,这时再观察这两对角的关系已不难得到结论.证明： AD BC, EF BC （已知）/ (),= （两

4、直线平行，内错角相等），= （两直线平行，同位角相等） ， （已知），即 AD 平分 BAC （） .根据题意做出图形， 标出必【难度】【答案】BAD , CAD , EF , AD ； EF , AD ,垂直于同一直线的两直线平行；BAD , 1 , CAD , 2 ；12 , BAD CAD ,角平分线的定义.【解析】略【总结】分析过程考查证明题的逆推法思想，证明过程利用相 关平行线的性质和判定，先判定再应用相关性质.【例4】 求证：角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等.要的字母或符号，根据题设和结论，结合图形写出“已知”和“求证”【难度】【答案】略【解析】已知：如图， BAC中，射线

5、AD是 BAC的角平分线，过 AD上一点E,分别B .TN考查把文字语言转化为几何作EM AB于点M , EN AC于点N ,求证：EM EN .证明：QAD是 BAC的角平分线，BAD CADQ EM AB, EN AC , EMA ENA 90Q AE AE, AEM AENEM EN【总结】本题考查完整的证明演绎过程，包含了作图读题能力,数学语言，利用性质解答证明即可.模块二：命题、公理、定理知识精讲1、命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题.数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果

6、那么”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.2、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题.它们可以作为判断其他命题真假的原始 依据.3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命 题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理.Qj)例题解析【例5】判断下列语句是不是命题？(1)画 AOB的角平分线；(2)两条直线相交，有几个交点？(3)直角大于锐角；(4)直角大于钝角；(5)今天可能要下雨；(6)几何多有乐趣啊！【难度】【答案】(1) (2) (5) (6)不是命题；(3) (4)是命题【解析】命题是对某一件事情做出判断的句子，由此可知只有(3

7、) (4)是可以判断正误的句子，即命题.【总结】考查命题的定义，能判断一个句子是否是命题.5/ 30八年级暑假班【例6】判断下列命题的真假.（1）平行于同一条直线的两直线平行；（2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）同角的余角相等；（4）异号的两数相加得负数；（5）乘积为1的两个数互为倒数.【难度】【答案】（1）、（ 3）、（5）是真命题；（2）、（4）是假命题【解析】判断为正确的命题叫做真命题，判断为错误的命题叫做假命题，正确的是（1）（3）（5）,由此可知即为真命题，（2） （4）为假命题，注意（2）需直线在同一平面内方可 成立.【总结】考查真假命题的判定，根据常见的公理定理以及定义性质

8、等进行判断，正确的命题即为真命题.【例7】 下列描述不属于定义的是（）.A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B.正三角形是特殊的三角形；C.在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形；D.含有未知数的等式叫做方程.【难度】【答案】B【解析】能界定某个对象含义的句子叫做定义，ACD都可判定，只有 B不能判定正三角形是何种特殊类型的三角形.【总结】考查定义的含义，并能判定一个句子是否是定义.【例8】 把下列命题改写成“如果，那么”的形式：（1）直角三角形的两个锐角互余；如果,那么（2）角平分线上点到角两边的距离相等；如果,那么（3）线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等；如果,那么【难

9、度】【答案】（1） 一个三角形是直角三角形，这个三角形两个锐角互余；(2) 一条射线是一个角的角平分线，这条射线上的点到角两边的距离相等；(3) 一条直线是一条线段的垂直平分线，这条直线上的点到线段两端点的距离相等.【解析】略【总结】考查命题的“如果，那么”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅 助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化.【例9】举出下列假命题的反例：(1)两个角是锐角的三角形是锐角三角形；(2)相等的角是对顶角；(3) 一个角的补角大于这个角； 22(4)右 a b ,则 a b ;(5)若已知直线a、b、c,若a b , b c,则a c.【难度】【答案

10、】答案不唯一，以下是几个例子【解析】(1)任意三角形中至少有两个角为锐角，取三角形两内角分别为30 , 40 ,则第三个内角为110 ,该三角形是钝角三角形；(2)对顶角必有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，两直线平行，此时取一对同位角，可知这对同位角相等，不为对顶角；(3)取一角大小为110 ,则这个角补角180 110 70110 ;(4)取 a 1, b 2,此时 a2 b2 ；(5)同一平面内，a b, b c,则有a/c.【总结】假命题的反例，需对命题所涉知识点进行分析，找准题目考查的知识内容，结合知识点的理解，即可进行举例.【例10】下列说法中，正确的是(A.命题一定是正确的;C

11、.公理都是真命题；【难度】【答案】C).B.不正确的判断就不是命题;D.真命题都是定理.【解析】根据命题的定义，命题是对某一件事情做出判断的句子，判断正确的是真命题，判断错误的是假命题，由此可知 AB错误，公理是人们从长期实践中总结出来的真命题，可知C正确，真命题且可用来推导其它命题正确与否的命题是定理，可知 D错误.【总结】考查命题、公理、定理的定义和相互关系，公理和定理一定是真命题，但真命题不定是定理或公理.【例11下列命题是假命题的是（）.A.有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；B.有两角及其中一角的对边上的高对应相等的两个三角形全等；C.有两边及其中一边上的高对应相等的

12、两个三角形全等；D.有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.【难度】【答案】C【解析】三角形中，两角确定，第三个角大小也可确定，即三角形形状固定，加上一条边上的高或角平分线可确定三角形，可知AB正确；“倍长中线法”可证明 D选项图形唯一确定，对于 C选项，三角形形状有锐角三角形和钝角三角形的差别，可作出不止一种图形，可知C错误.【总结】考查全等三角形判定的拓展延伸，只要根据三角形的边角关系对应确定即可.7 / 30AB于点D ,点E在AC上，CE BC ,【总结】垂直较多的图形中,根据同角（或等角）的余角相等易得到相等角， 进而可证全等.【例12】已知：如图，在VABC中，ACB 9

13、0 , CD过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F .求证：AB FC .【难度】【答案】略【解析】证明：Q EF AC, CD ABF FCE 90 , A FCE 90A FQ ACB CEF 90 , CE BCABC FCEAB FC八年级暑假班班假暑级年八【例13如图，已知RtVABC中，ACB 90, CD AB于D , AE为 A的角平分线，交CD于E ,过E作BC的平行线，交AB于点F .求证：AF AC .【难度】【答案】略【解析】证明：Q ACB 90 , CD ABACD BCD 90 , B BCD 90ACD BQ EF /BCDFE BACD DFEQ AE是 A

14、的角平分线，CAE DAEQ AE AECAE FAEAF AC【总结】考查等角的余角相等知识点，结合相关平行线的性质证角相等证全等即可.【例14已知：如图， AB CD, AD BC , AE CF .求证： E= F .【难度】【答案】略【解析】证明：连结 AC ,Q AB CD, AD BC, AC ACABC CDAB DQ AB CD, AE CFAB AE CD CF ,即 BE DFQ AD BCBCE DAF13 / 30E F【总结】考查全等三角形的判定条件,在合适的知识体系条件下进行应用，不能应用平行四边形知识证明.【例15如图，四边形ABCD中，DE平分 ADC,交AB于

15、点E , BGCGBC, BG平行ED交AD延长线于点P .求证：AD/BC.【答案】略【解析】证明：Q DE平分 ADC ,ADC 2EDCQ BG/EDEDCBGCQ BGCADCBGC BGC GBCQ BGCGBC C 180ADCC 180180结合起来.AD/BC【总结】考查平行线的性质和判定，经常可以跟三角形的内角和【例16如图，已知VABC中,D是边BC的中点，E、F分别在边 AB , AC上，且EF/BC,ED FD .求证： AEF AFE .【难度】【答案】略【解析】证明：Q ED FD ,FED EFDQ EF /BCFEDEDB, EFD FDCAEFB, AFE C

16、EDB FDCQED FD, BD DCEDB FDCB CAEF AFE【总结】考查平行线的性质，结合全等三角形可以进行相互关联得到相关边角关系.班假暑级年八【例17如图，点C是AB上的一点，在AB的同旁做等边 VACD和等边VBCE, AE与CD交于点 M , BD与CE相交于点 N .求证：CM CN .【难度】【答案】略【解析】证明：Q ACD和BCE是等边三角形，AC CD, BC CE, ACD BCE 60DCE 60 , ACE DCB 120ACE DCBCAE CDB结合 ACM DCE 60 , AD CDACM DCNCM CN【总结】考查等边三角形中的旋转平移，会产生

17、全等三角形，先判定再应用相关性质.【例18如图，已知在 VABC中，AD平分 BAC, BE /AD ,交CA延长线于点 E, F是BE的中点.求证：AF BE .【难度】【答案】略【解析】证明：Q AD平分 BAC ,BAD CADQ BE/ADBAD FBA, CAD EFBA EAE ABQ F是BE的中点，AF BE注意对基本图形的分离【总结】考查平行线和角平分线一起会产生等腰三角形的基本图形, 和等腰三角形性质的应用.八年级暑假班【例19如图，已知BE、CF是VABC的高，且.求证：AP AQ .【难度】【答案】略【解析】证明：Q BE、CF是VABC的高，AFC AEB 90FAC

18、 ACF 90 , FAC ABE 90ACF ABEQ BP AC , CQ ABAQC PABBAP QQ QAF Q 90QAF BAP 90 ,即 QAP 90 ,得证 AP AQ .【总结】考查同角的余角相等的知识点，即“子母三角形”基本图形.【例20如图所示，问1、2、3、4要满足什么条彳可以证明 AB PCD ?【难度】【答案】23 14【解析】过点E作射线EM/AB,过点F作射线FN / /CD则有 1 BEM ,4 NFC ,Q 2134MEF EFNEM /FNAB/CD【总结】考查平行线的基本性质，在“Z”字型平行线间角的等量关系.班假暑级年八【例21】已知：如图所示，A

19、B=AC, A 90ADCDF求证：FD ED .【难度】【答案】略【解析】证明：连结 AD ,Q AB AC, BAC 90B C 45Q BD CD, AD BC,即 ADC 90 1BAD CAD BAC 45 , CD 2Q AE CF , AED CFD , ADEADE ADF ADF CDF 90即 FD ED【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合相关条件可分割成全等的两个部分.向 VABC【例22如图，已知锐角VABC,分另1J以BC、BA为一直角边，皆以B为直角顶点,内侧作等腰 VBCD和VBAE,延长DA、EC ,交于点F .求证：

20、DF EF .F【难度】【答案】略【解析】证明：Q DBC ABE 90DBC ABC ABE ABC,即 DBA CBEQ AB BE, DB BCDBA CBEDAB CEBCEB BAF DAB BAF 180Q ABE 90F 360 CEB BAF ABE 90即 DF EF【总结】考查等腰直角三角形的旋转变形，两个等腰直角三角形叠加会产生全等三角形，先 全等判定再应用性质.【例23如图，已知D、E两点分别在 AR AC上，AD AE , BD CE , BE、CD交于点F .求证：FB FC .【难度】【答案】略【解析】证明：Q AD AE, BD CE ,AD DB AE CE

21、,即 AB ACQ AD AE, A AABE ACDB CQBD CE, DFB EFCDFB EFCFB FC23 / 30【总结】考查全等三角形的判定和性质,结合题意，发现题目中的全等三角形往往不止一对.【例24】等腰直角三角形 ABC中,A 90 ，垂线，并与BD延长线交于点E .求证：BD 2CE .证明:延长 CE与BA的延长线交于点 FBACDEC 90,ADB EDCBADDCEB的平分线交AC于D ,过点D向BD做ABDCBD, AEAE,BEC BEF90BEC BEFCE EFQ AB AC,BACCAF90BAD CAFBD CF CE EF2CE【总结】考查一些常见辅

22、助线的作法,角平分线与高线在一起会产生等腰三角形,构造等腰三角形即可.班假暑级年八【例25如图，已知： BAC 90 , AB AC , M是AC的中点，AD BM于E ,交BC于求证： AMB【解析】证明:过点C作CF/AB交AD延长线于F,BACAD BM ,ABM CAFACFBAC 90 , ABACABMCAFFCCF AMCM, AMBQAB/CF,AB ACDCFABC ACB45QDC DCDCMDCFDMCF AMBBCAB, B 60Q AEBDAEAB BD BC BD DE即BEBFF【总结】考虑相关条件的应用，构造全等三角形把所证角转移到一对全等三角形中.【例26如图

23、所示，已知VABC为等边三角形，延长BC到D ,延长BA到E ,并且使AE=BD ,连结CE、DE .求证：EC=ED .【答案】略【解析】证明：延长 BD到F ,使得DF BC,连结EF ,Q ABC是等边三角形,BEF是等边三角形BE EF, F B 60BEC FEDEC ED【总结】考虑等边三角形的特殊性质,利用不在一个图形中的线段的相等关系进行相应的构造和转化构造全等三角形即可证明解题.【例27如图，已知： AC平分 BAD, BC CD, AD AB.求证： B D 180 .【难度】【答案】略【解析】证明：在 AD上截取线段AE ,使AE AB , 连结CE ,QAC 平分 BC

24、D, BAC DACQ AC ACABC AECBC EC, B AECQ BC CDCE CD ,CED DB D AEC CED 180【总结】根据角平分线即可构造全等，把两个角转化为邻补角即可.【例28】已知：如图所示，正方形ABCD 中,EAF 45 .求证：EF BE DF .【答案】略【解析】证明：延长 CB到G,使BG DF ,Q四边形ABCD是正方形,BAD ABC 90 , AD ABDAFBAGBAGDAF,AG AFF在DC上，E在BC上,连结Q EAF45BAGBAEDAF BAE 45即 EAGEAF45Q AE AEGAEFAEEF GEBEBG BE DF“截长补

25、短法”可【总结】考查利用正方形的性质，可进行三角形的旋转构造全等三角形, 证明线段之间的等量关系.【例29如图所示，在VABC中，AB 2AC ,班假暑级年八D是AB的中点，E是AD的中点.求证：BC 2CE.【难度】【答案】略【解析】证明：延长 EF到F ,使EF CF ,连结DF ,QAE DE, AEC DEFAEC DEFA FDE, AC DFQ AB 2AC, AD DBBD AD AC DFADC ACDBDC A ACD FDE ADC FDCQCD CDCFD CBDBC FC 2CE【总结】“倍长中线法”构造全等三角形可将线段或角转移到全等或一个图形中.【例30如图，已知：

26、在 VABC外作正方形-1求证：AM -EF .2【难度】【答案】略【解析】证明：延长 AM到N ,使得MN AM ,连结 BN ,QBM CM, AMC BMNAMC NMBBN AC , BN/ACBAC ABN 180Q四边形ABDE和ACGF是正方形，AF AB, AF AC BN, EABABDE和ACGF, M是BC的中点.FAC 90EAF BAC 180EAF ABNEAF ABN11AM AN EF22【总结】“倍长中线法”构造全等实现线段的转移到其它三角形中，再证全等即可.八年级暑假班过B、C作此射线的垂线BPACB 90 , AD AC , P 是 CD 上任意【例31】

27、已知：如图，过 ABC的顶点A,在 A内任引一射线,和CQ ,设M为BC的中点.求证：MP = MQ .【难度】【答案】略【解析】证明：延长 QM交BP的延长线于点N ,QCQ AP, BP APBP/CQPBM QCMQ BMN CMQ, BM CMBMN CMQQM NM1即M为Rt PNQ斜边中点，故 MP -QN QM2【总结】“倍长中线法”构造全等三角形进行图形的转化.【例32如图，已知：在 VABC中，AC BC,点，PQ AB 于 Q, PR AC 于 R.27 / 30求证：PQiPR AB.2【答案】略【解析】证明：连结 AP,过点C作CE则有 S ACD S APD S A

28、PC即1 CE AD22pqAD1PR AC2AB交AB于Q AC BC, ACB1CE AE AB2Q AD ACCE PQ PR90 , CE AB1即得PQ PR AB2【总结】面积法得到一些等底三角形中高之间的关系也是一种很方便的解题方法.随堂检测I【习题1】命题“互余的两个角一定是锐角”是 命题(填“真”或“假” ).【难度】【答案】真【解析】根据互余的定义，两个角和为90即为互余，且角都为正值，可判断出两个角大小都在0到90之间，即为锐角.【总结】定义均为真命题，本题考查互余的定义.【习题2】下列命题中，是真命题的有().A.两锐角之和是锐角B.钝角减去锐角得锐角C.钝角大于它的补

29、角D.锐角小于它的余角【难度】【答案】C【解析】根据补角的定义，可知钝角的补角是锐角，由此可知钝角大于它的补角，C正确,为真命题，ABD选取合适的角度均可找到反例，都为假命题.【总结】考查关于角的互余和互补的相关概念，抓住概念，即可得出相关命题真假，若有反例则为假命题.【习题3】将下列命题改写成 如果，那么”的形式：(1)同角的余角相等；(2)直角都相等；(3)对顶角相等；(4)在一个三角形中，等角对等边.【难度】【答案】(1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；(2)如果有一些角是直角，那么它们都相等；(3)如果两个角互为对顶角，那么它们相等；(4)在一个三角形中，如果有两个相等的

30、角，那么这两个角所对的边相等.【解析】略【总结】考查命题的“如果，那么”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅 助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化.【习题4】求证“三角形内角和等于 180。”，并说明其中的因果关系.【难度】【答案】略【解析】证明：如图，延长 BC到点D,过点C作 射线 CE/AB ,QCE/AB （已知）B ECD （两直线平行，同位角相等） A ACE （两直线平行，内错角相等）Q ACB ACE ECD 180 （平角定义）A B ACB 180 （等量代换）充分利用平行线的相关性质即可进行证明和【总结】三角形内角和的证明过程需进行记忆, 理解应

31、用.E是线段DC的中点，AE是 BAD的平分【习题5】 已知：四边形 ABCD中，ADPBC,线.求证：BE是 ABC的平分线.【难度】【答案】略【解析】证明：延长 AE与BC的延长线交于点FQ AD/BCDAE FQDE CE, AED CEFADE FCEAE EFQ AE是 BAD的角平分线，BAE DAE FAB BFQ AE EFBE是 ABC的角平分线.再结合等腰三角形的性质可以证明【总结】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形, 一系列的结论.【习题6】如图，已知：在 VABC中，AD平分班假暑级年八BAC , BD CD .29/ 30求证：AB AC .【难度】【答案】略【

32、解析】证明：延长 AD至U E ,使DE AD ,连结CE ,QBD CD, ADB CDEABD ECDBAD E, AB CEQ AD平分 BACCAD BAD EAC CEAB AC【总结】注意，边边角不能用来证明全等,在这个题目里面根据中点“倍长中线”构造全等三角形即可.【习题7】如图，已知，AD是VABC的角平分线，C 2 B,将VABC沿直线AD翻折,点C落在AB的E处.试判断VEBD的形状，并加以证明.【难度】【答案】VEBD等腰三角形【解析】证明：Q AED是 ACD翻折形成,即得 ACD AEDAED CQ C 2 B,AED 2 B EDB BB EDBBE DE即证VEB

33、D是等腰三角形.【总结】翻折问题，翻折前后两个三角形始终保持全等不变.八年级暑假班【习题8】如图，已知 CA AB,E为AB上一点， CE平分 ACD ， DE平分 CDB ，35 / 30CED 90 .求证：AB【答案】略【解析】证明:Q CED 90 ，ECDEDC90QCE平分ACDDE平分ACDCDB2 ECD2 EDC 180AC/BDQCA ABAB DB【总结】反推思想证明题可知证上下底边平行即可，根据角平分线即可快速得出结论.【习题9】 已知：如图， ABC中， C 90 , AC BC, AD DB , AE CF .求证：DE DF .【难度】【答案】略【解析】证明：连结

34、 CD ,Q AC BC, BCA 90A B 45Q AD DBCD AB_1_ACDBCD BCA 452CD ADQ AE CFAED CFDDE DF【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合 相关条件可分割成全等的两个部分.【习题10】 如图，已知锐角 VABC ,分别以AB、AC为一直角边，皆以 A为直角顶点,向VABC外侧作等腰VABD和VACE ,联结CD、BE交于点F .求证：CD BE .【难度】【答案】略【解析】证明：Q BAD CAE 90 ,BAD BAC CAE BAC即 DAC BAEQ AD AB, AC AEDAC BAE

35、ADC ABEBDF DBF ADB ABD 90DFB 90即 CD BE【习题11】【总结】两个等腰直角三角形一起会出现全等三角形，利用全等性质即可证明相关结论.如图，已知：AC 2AB , D> AC中点，E是AD中点，点F在BE延长线上,且 BE EF.求证：BC 2EF , F C .【难度】【答案】略【解析】证明： Q AE DE, AEB DEF,BE EFAEB DEFA FDE, AB DFQ AC 2AB, AD DCCD AD AB DFADB ABDBDC A ABD FDE ADB FDBQ BD BDFBD CBDBC BF 2EF, F C【总结】“倍长中线

36、法”构造全等三角形可将线段或角转移到全等或一个图形中.【习题12 如图，已知：在正方形 ABCD中，M是DC的中点， BAE 2 DAM .求证：AE BC CE .【难度】【答案】略【解析】证明：延长 AB到F ,使BF CE ,连结EF交BC于N ,连结 AN ,作NP AE交AE于点P ,Q FBN C 90 , FNB ENCBFN CEN 1 BN CN -BC, EN FN 2 _1 _Q DM CM -CD, AD AB, D ABN 90 2ABN ADMBAN DAMQ BAE 2 DAMBAN EANBN PN, AP ABBFN PENPE BFAE AP PE AB B

37、F BC CE【总结】“截长补短法”，通过线段长度的转化，证明三角形全等，即可将三角形中的线段进行等量转化得到题目要证明的结论，本题中注意不能直接根据角平分线和中线重合证等腰，也可以将EC延长进行证明.课后作业【作业1】下列语句中，正确的是().A.相等的角是对顶角；B.三角形的两锐角互余；C.判定两个三角形全等，至少需要一对边相等；D.面积相等的两个三角形全等.【难度】【答案】C【解析】对顶角必须是有公共顶点且角的两边互为反向延长线的角，A错误；互余是两角相加和为90 ,只有直角三角形两锐角互余，B错误；全等判定定理中，都至少包含一条边，C正确；面积相等，底和高可能都不相等，不一定全等， D

38、错误.【总结】考查三角形中一些基本知识和相关定理的认识.【作业2】把下列命题改写成“如果那么”的形式，并指出这个命题的题设和结论.(1)对顶角相等；(2)同位角相等，两直线平行；(3)同角的余角相等.【难度】【答案】(1)如果两个角互为对顶角，那么它们相等；(2) 一条直线截另两条直线形成一对同位角，如果这都同位角相等，那么被截的两条直线 平行；(3)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.【解析】略【总结】考查命题的“如果，那么”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅 助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化.【作业3】 如图，已知： ABC中，/ B = 2/C,

39、 BC = 2AB.求证：Z A = 90 °【难度】【答案】略【解析】证明：作 ABC的角平分线BD交AC 于点D ,作DE BC交BC于E ,Q ABC 2 DBE 2 CDBE CBD DC1BE CE BC2Q BC 2ABAB BEQ ABDEBD, BD BDABD EBDA BED 90【总结】考查30 ,60 ,90角的直角三角形问题，注意本题中不能通过取BC中点证明.【作业4】已知：如图，/ 1 = Z2, AB>AC.求证：BD>DC.CAD作AB平行线也可证，但会应用【难度】【答案】略【解析】证明：在 AB上截取AF AC ,连结DF ,Q12,AD

40、 ADADFADCADCADF, DFDCQADC1 BBFD1 ADF21 BBFDBBD DF DC【总结】本题应用“大角对大边”知识点，或通过延长 到相似三角形知识点.班假暑级年八37/ 30【作业5】 已知：如图， AD/BC, AE、BE分别平分 DAB和 CBA , DC过点E.求证：AB AD BC .【难度】【答案】略【解析】证明：延长 AE交BC延长线于点F ,Q AD/BCDAE FQ DAE EABEAB FAB BFQBE是 CBA的角平分线，AE EFQ AED CEFADE FCEAD CFAB BF BC CF AD BC再结合等腰三角形的性质可以证明【总结】考查

41、“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形, 一系列的结论.【作业6】已知：AB AC , A 108 ,12.求证：BC AB CD .【难度】【答案】略【解析】证明：在 BC上截取BE AB, 连结DE ,Q 12, BD BDABD EBDAB BE, BED A 108Q A 108 , AB ACABC C 36由 BED 108 ,可得 EDC 108 ,故 EDC 72CE CDBC BE CE AB CD【总结】考查“倍角三角形”中的角平分线分三角形为等腰三角形，由此可得线段之间的等八年级暑假班41 / 30【作业71如图，已知：在四边形ABCD 中,AB / /CD , BE 平分 ABC , AB CD BC .求证：CE平分 BCD .【答案】略【解析】证明:在 BC上截取BF连结DFQ ABECBE, BE BEABEFBEBFEQ AB/CDA EDC 180Q BFEEFC 180EDCEFCQBC ABCD BF CF,AB BFCD CFCFDCDFEFDEDFEF EDEFCEDCFCEDCE即CE平分【总结】注意，本题不能用“倍长中线法”解题,因为条件之间的相互关联性和因果关系不能得出相应的答案，只能用“截长补短法”，注意证明全等时不能通过边边角进行证明，而 是进行相应转化再得出结果.【作业8】到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心