傅里叶级数课程及习题讲解

1、由于 1，Sinnx1 sin nxdx 1 cosnx d x 0nn .n n .sin mx，cosnx. sin mx cosnxd x 01, 112dx 2sin mx，sin nxcosmx，cosnxsin mx sin nxd xcosmx cosnxd x第15章傅里叶级数 傅里叶级数一 基本内容一、傅里叶级数f (x)anXn在哥级数讨论中n 1，可视为f(X)经函数系211，x，x2，III，xn，III线性表出而得.不妨称1，x，x，l，xIW为基，则不同的基就有不同的级数.今用三角函数 系作为基，就得到 傅里叶级数.1三角函数系函数列1，8sx，sinx，c0s2K

2、 sin2K N cosnx，sinnx, 称为三角函数系.其有下 面两个重要性质.(1)周期性每一个函数都是以2为周期的周期函数；(2)正交性 任意两个不同函数的积在 ，上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零.对于一个在，可积的函数系un(x): x a，b，n 1， 0 m n Un(x)，Um(x)如果0 m n ,则称函数系Un(x)：x a，b，n 1，2，|为正交系.，|H ,定义两个函数的内积u Un(x),Um(x).Un(x) Um( x)d x为a,所以三角函数系在，上具有正交性，故称为 正交系.利用三角函数系构成的级数an cosnx bn sin nx称为

3、三角级数，其中a0，a1，bi，| 11，an，bn，H I为常数2以2为周期的傅里叶级数定义1设函数f(x)在 ，上可积,1.1k 0,1,2,11；ak f (x),coskx f (x)coskxdx11k 1，洲，bk f (x),sin kx f (x)sin kxd x称为函数f (x)的傅里叶系数，而三角级数一 an cosnx bn sin nx2 n 1称为f(x)的傅里叶级数，记作ao一an cosnx bn sin nxf (x)2 n 1这里之所以不用等号，是因为函数 f(x)按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知 其是否收敛于f(x).二、傅里叶级数收敛定理定理1若

4、以2为周期的函数f(x)在,上按段光滑，则ao 2an cosnx bn sin nx n 1f(x 0) f(x 0)2其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.定义2如果f (x) Ca，b,则称f(x)在a，b上光滑.若a,b),f (x 0), f (x 0)存在;x (a,b, f (x 0), f (x 0)存在,且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称f(x)在a，b上按段光滑.几何解释如图.按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成，它至多有有限个 第一类间断点与角点.推论如果f(x)是以2 为周期的连0向数，且在 一x 上按段光滑，则 x R,f (x) an cosnx bn

5、sin nx有2 n 1定义3设f(x)在(，上有定义，函数?(x)f(x)f(x 2k )x (,x (2k,2k,k1/2,|称f (x)为的周期延拓.习题解答|1|y1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1)f(x) x, (i) x , (ii) 0x2解：、f(x)=x, x (,)作周期延拓的图象如下.3其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得O3 x1,f (x)d x1xdx 0xsin nx n sin nxdx 0 nxcosnx n所以f(x) 2 ( n 1n 1 sinnxn x ()为所求.(ii)、f(x)=

6、x, x (0，2 )作周期延拓的图象如下.y21 2 xdx 20当n1时,101 2xcosnxdx 一 n2 xd(sin nx)1n2xsin nx|012 sin nxdx 0n 01n1 2. xsin nxd x02 xd(cosnx)当nan1时,1xcosnxdx nxd(sin nx)bn1xsinnxdxxd(cosnx)(1)n 1- nO24 x1 20 f (x)d x1ncosnxdx1n所以(2)1xcosnx nf(x)2Iosin nx,2cosnxd x n(0,2 )为所求.f (x) =(i)x为解:其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.(ii) 0 x

7、2式.由系数公式得a0,1f (x)d x 一1时,x2cosnxdx n2x d(sinnx)bn所以12x nsin nx|2xsin nxdx22 nxd(cos nx)xcosnx|x2sin nxd x2 cosnx|xd(sin nx)-2-xsinnx| nf(x)cosnxdx (x2 d(cosnx)xcosnxdx1)nAnsin nxdx 01n sin nx1)2n x (, )为所求.n解:1其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得aof (x)d xdx 821时,anx2 cosnxdx所以解:x n22 n2 ,x d(sin nx)2sinnx|22xs

8、in nxd xxd(cosnx)2xcosnx| 01x nf(x)f(x)sin nxdx2cosnx | 04 cosnxd x nx2 d(cos nx)xcosnxdxxd(sin nx)2xsin nx |。22n2sin nxd x0axbxcosnxsin nxx（，2）为所求.(ab,a0,b 0)）作周期延拓的图象如下.yx函数f (x)(其按段光滑，故可展开为傅里叶飒.由系数公式得a。1 f(x)d x 一01axd x 一0bxdx(b a)21时,anax2 cosnxdx0bxcosnxdx1n a b 1)- nbnaxsin nxd xbxsin nxdx(1)

9、nf(x) 所以2设f是以anbn证:(b a) 2(b a) 42 n 1(2n 1)2cos(2n 1)x(a b) ( 1)nn 11 sin nxx （，）为所求.2为周期的可积函数，证明对任何实数c ,有1f (x)cos nxdx f (x)cos nxdx,n 0,1,2,|f (x)sin nxd x f (x)sin nxdx,n 1,2,| |因为 f (x) , sin nx ,1f (x)cosnxdx 一an从而1an -cosnx都是以2为周期的可积函数，所以令 t x 2有c 2 f (t 2 )cosn(t 21c+21f (t)cosntdt同理可得(2)d(

10、t 2 )c+2f (x)cosnxdxc 2c f (x)cosnxdxf (x)cosnxdxf (x)cos nxdx把函数一 13至6bnf(x)Ill解:函数f （x）,1一 c f(x)cosnxdx一、 ,1f (x)cosnxdx 一c+2f (x)cosnxdx1f (x)sin nxd x 一f (x)sin nxdx展开成傅里叶级数并由它推出（1）111113117HL11 13 17II,）作周期延拓的图象如下.32其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得a01f(x)d x01dx dx40 41时,cosnxdx 4cosnxdx 00 4sin nxd x

11、 4 sin nxd x0 411)n1l2k2kf(x)故1 sin(2n m2n 11)x,0)(0,)为所求.(2)口得121521HI12111113117IIIx(3)取招所以6321111134设函数111317IIf(x)满足条件f(xf(x),问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性.解：因为f(x)满足条件所以 f(x 2 ) f (xf (xf(x),f(x)即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得a。1 f(x)d x 一f(x)d x10 f(x)dx0 f (x)dxf(t2 )dt1一 0 f(x)dxan1,10 f(t )dt 1时，1 0一 f (x)cos

12、nxdxf(x)d x 00 f (x)cos nxd x1o f (t )cos(nx2，、，一 0 f (x)cosnxdx2k 1、，1 一、 ，)d x 一 0 f (x)cosnxdx1 ( 1)n 1一、 ,0 f (x)cosnxdx2kbnf (x)sin nxdxf (x)sin nxdxo f (x)sin nxdx2k 12k故当f(x)f(x)时，函数f(x)在内的傅里叶级数的特性是 a2k 0 ,b2k05设函数f(x)满足条件：f(x ) f(x),问此函数在，内的傅里叶级数具有什么特性.解：因为f(x)满足条件f(x ) f(x),所以f(x 2 ) f(x )

13、f(x),即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得1,10 ,1,a0f (x)d x f (x)d x 一 f (x)d x1 10 f(t )dt 0 f (x)d x1 ,1,-0 f (t 2 )dt 0 f(x)dx112o f (t )d t o f (x)d x o f (x)d x当n 1时，1 01an - f (x)cosnxdx 一 0 f (x)cosnxd x1一 0 f (t)cos(nx n)d x1一 0 f (x)cosnxdx1 ( 1)n0 f (x)cosnxd x2 一、，一0 f(x)cosnxdx2kn 2k 1,1 0 一、.1一、.bn

14、一 f (x)sin nxdx 一。f (x)sin nxdx一 0 f (x)sin nxdx n 2k0n 2k 1故当f(x ) ”刈时，函数f(x)在 ，内的傅里叶级数的特性是a2k 1 0,b2k106试证函数系他们合起来的却不是cosnx, n 0,1,2,川和 sinnx)0,上的正交函数系.n 1,2,“|都是,上的正交函数系，但证：就函数系1, c0sx，cos2x，|, cosnx,1,1 dx因为 n, 0,cosnx,cos nx) cos2 nxdx (cos2 nx1)d x 一2 ,1,cosnx. cosnxd x 0又0;m, n , m n 时,cosmx,

15、cosnx.0 cosmxcosnxdx10 cos(m n)xdx - 0 cos(mn)xdx所以1, cosx, cos2x, “|, cosnx,就函数系sin x，sin 2x, |, sin nx,| 在0, 巾，0上是正交系.sin nx,sin nx2sin nxd x0(1 cos2nx)d x -n时,sin mx,sin nxsin mxsin nxd x01-0 cos(m1n)xdx - o cos(m n)xdx 0不是0,上的正交系.所以sin x, sin2x, III,sinnx, III在0,上是正交系.伸1, sin x, cosx, sin2x, cos

16、2x, |, sin nx, cosnx,：1,sinxsin xdx 1 0实因：.07求下列函数的傅里叶级数展开式f(x) f (x) 解：x,0x作周期延拓的图象如下.x4其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得2y y322a0f (x)d xxdx21时,1 * 20xcosnxd x2xd(sin nx)x2n2sin nx|o12n2sin nxdx 002x0x-d(cosnx)所以(2)解:2nf(x)x一 cosnx|f(x)sinnx2ncosnxdx（0，2 ）为所求.f(x)故可展开为傅里叶级数.1 cosx,x .其按段光滑,f(x)1 cosx2sin2x

17、2sin-2因为所以由系数公式得f(x)d x1a。sin xdx2sin -d x02当n 1时,an,2.x .sin-cosnxdx222.x .sin cosnx dx 22. xsin -cosnxd x024/2(4n2 1)xsin -sin nxdx2,2 x sin-sin nxdx 02f (x) 所以2 2 4.2_14n2-cosnx 1,).f(x)故时，2 2f( 0)24.2f (x) ax2bx解:由系数公式得f(0)f(aof (x)d/ 2(axbx1时,/ 2(axbx2(axbn(ii)a。4a-2n2(ax(ax22f (x) ax1 n 1 4n2c

18、, (i) 0c)d x一 cosnx 18 2a3c)cos nxd x2bx c)sin nx| obxbxbx由系数公式得1,f(x)d x当n 1时,，为所求.,(ii)2b2c(2axb)sin nxdxc)sin nxdx2c)cos nx 104 2a31(ax220 (2ax4acosnxn 1 nbx c)d xb)cos nxdx4 a 2b .sin nx, x (0,2 n2-2c)为所求.an122一 (ax bx c)cosnxdx (ax2 bx nc)sin nx|(2ax b)sinnxdx(1)4a2 nbn/ 2(axbxc)sin nxd x(ax2bx

19、c)cos nx |(2 ax b)cos nxdx(1)nf(x)(4)解：ao1 2ban所以bn2axbx2 2af (x) ch x,由系数公式得1时,f(x)d xch xcosnxdxch xsin nx|sh xd(cosnx)shxcosnx|(1)n 2sh万 nan1)n2sh(n2 1)chxsin nxdxchxcosnx|(1)n4an 2b.,2 cosnx ( 1) sin nx, x ()为所求.ch xdx -shsh xsin nxdxch xcosnxd xchxd(cosnx)shxcosnxdxshxd(sin nx)shxsin nx|chxsinn

20、xdxshxsin nx|chxsinnxdx所以bnf(x)故chx2sh1)n -2 cos nxn 1,)为所求.解：f (x) sh x,由系数公式得a0f(x)d x1an 1时，bnbn所以sh xdx 0shxcosnxdx 0shxsin nxdx 1shxcosnxshxd(cosnx)chxcosnxd x1)n1)n1)nf(x)故2sh nZsh n2sh n1)nshx8求函数chxd(sin nx)3 ch xsinnx| n1 bn n1 2nshx(n21)1)n2nsh2sin nx(n2 1)f(x)一(3x2 6x2122)122shxsin nxdx,)

21、为所求.的傅里叶级数展开式并应用它推出足 f(x)解：由ax2 bx c /4acosnx n4 a 2b . sin nx, nx (0,212f(x) -(3x6 x121-cosnxn 1 n2y(0,2 )1 cosnxn 1 n而 f(0 0) f(20)故由收敛定理得f (0 0) f (20)21-cos01 n设f (x)为上光滑函数，f( )f() ,且an，bn为f(x)的傅里叶系数,an ,bn为 f(x)f (x)傅里叶系0,an n*, bnn& (n 1,2,|)证：因为f(x)为 由系数公式得1上光滑函数，所以(x)为上的连续函数，故可积.a0f (x)d x1-

22、f( ) f()1时,1 an .f (x)cos nxdx1 一、,一 f(x)cos nx|f(x)sin nxdxnbnf (x)sin nxdx1 , f (x)sinnx|f(x)cos nxd xnan故结论成立.a。10 证明：sup n3an , n3bn n(an cosnx bn sin nx)中的系数an,bn满足关系M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.U0(x)证：设a。Un(x) an cosnx bn sin nx ? n 121H.un(x)在R上连续，且U0(x)Un(x)Un(x)nansinnx nbn cosnx亦在 R上连续. n

23、an sin nx n bn cosnxn an n bn2M2Mn2收敛,所以un(x)nbn cos nxnansinnx在R上一致收敛.s(x)故设ao(an cosnx1bn sin nx),则s(x)(nan cosnx nbn sin nx)un (x)n 1s(x)且nan cosnxnbn sin nx)在R上连续. 15. 2以21为周期的函数的展开基本内容一、以21为周期的函数的傅里叶级数1t x 一设f(x)是以21为周期的函数，作替换，则F(t)是以2为周期的函数，且f (x)在(l, l)上可积F(t)在()上可积.于是ancosnt bn sin ntn 1其中F

24、(t)cosntdt, bnF (t)sin ntdt从而f (x)其中anbnF(t)a0ltf(x)an cosn xTn x f (x)cos j dx,ln x f (x)sin dxn xsin nt sin,cosntl-n xbn sinln x cosl ,上式就是以2l为周期的函数f(x)的傅里叶系数.在按段光滑的条件下，亦有f(x 0) f(x 0) a022n xan8s 丁n 1lbn sin其只含余弦项，故称为 余弦级数.同理，设f(x)是以2l为周期的奇函数，则f(x)cosnx 奇， f(x)sin nx 偶1anln x f (x)cos d x12ii要展开为

25、余弦级数必须作偶延拓.n xn x日ff(x) x (0,l)偶延拓f( x) x ( l,0),函数f (x), x (0,l)要展开为正弦级数必须作奇延拓.奇延拓f(x) x (0,l)f( x) x ( l,0)习题解答1求下列周期函数的傅里叶级数展开式f(x) 8sx (周期).由于解:f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦a。l 2 cosx dx24 2cosxdx 401时,cosx cos2nxdx 402cosxcos2nxdx2- 02cos(2n 1)x cos(2n1)xd x(2n 1)sin(2n 1)x| 2(2n 1)si

26、n(2n 1)x| 2(1)n 2( 1)n 1 2(2n 1)(2n 1)1)n4(4n2 1)bn2cosx sin nxd xf(x)故cosx1)n1c2cos2 nx4n 1)为所求.(2)f (x) x11解:f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数.x(周期 1);由于2,所以由系数公式得a012 21 x x2dx 210 x x dx1xdx 1o1时,an12 21 x x2cos2 n1xdx 2 x0x cos2n xdx12 xcos2n o-xsin2n n12 2212x xxdx1 x|of(x)10xd(sin2n x)1sin2n xdx 00sin 2n

27、xdx10xd(cos2 nxcos2n1 x|oxx)1xsin2n00 cos2n1-sin 2n1 nxdxxd x)为所求. f (x)sin4x(周期);4 x 解：函数 f(x) sin x,2 2延拓后的函数如下图.由于yf(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f (x)是偶函数，故其展开式为余弦2 ,所以由系数公式得ao244sin xdx 一22 - 4412sin xd x - * 2 - 002cos2x dx21 c-cos2x21cos4x 81时,an1 c cos2x2-cos4x 8cos2nxd x1,ncosx sin nxd x 0_4f (x) si

28、n x1 -cos2x 21一 cos4x /8, x ()为所求.(4)f (x) sgn(cosx)(周期解:函数 f(x) sgn(cosx) , x).(，)延拓后的函数如下图.由于aoan1时,o sgn(cosx)cosnxdx02 cosnxdx2 _cosnxdx24sinnn 2kbn4sinnf(x)k 4(1) n(2 k 1)sgn(cosx)sin nxdx 0sgn(cosx)求函数2k1)ncos(2n2n 11)x).f(x)23的傅里叶级数并讨论其收敛性.解：函数f(x),x (0,3)延拓后的函数如下图.f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又由于f(x

29、)是偶函数，故其展开式为余弦32,所以由系数公式得a。2 3-0 f(x)d x 31时，1xdx02dx132(3x)d x1 2nxcos一x一 dx2cos12n x d x1xd0.2n x sin一332(3x)cos2nx-dx1 .sin n2n1 . 2n一sin -n 30sin32(3 x)d2n x sin31 4nx 一sin -1 .一sin n4n332- cos2n2 23 n1 . 2n 一sin -n 312n x3c 222n2n cos一3c 222n32n2 2cos2n3-(3 n32n2 2-2n x x)sin33sin-x1 4nsin -2n

30、x2- cos2n34n cos-33由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又 f(x)是奇函数,故其展开式为正弦bnf(x)2n2 cos3 n2 2f (x)sin nxdx1cos n2n2n x cos3 x ()为所求.f (x) 将函数23由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,x在0,上展开成余弦级数.又 f(x)是偶函数，故其展开式为余弦由系数公式得a0dx x 21时,ancosnxdxbn2n 242 n0sin nxsin nxdx02 cos nx nf(x) af (x) 将函数2k2k1 2 cos(2n 1)x, n 1(2n 1)2x 0,cosx

31、解:2在0，上展开成正弦级数.2由系数公式得an0，n0，12|.x .cos-sin nxdx2sinsinx dxcos1x22cos12r28n(4n2 1)f(x)故在0,上x cos一2n2sin nx14n 1为所求.f(x)5把函数5243O 1在(0, 4)上展开成余弦级数.函数f(x), x (0，4)延拓后的函数如下图.y1八f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又x321由于f(x)是偶函数,故其展开式为余弦,所以由系数公式得40 f(x)d1时,an2一(1 n20(1x)d x42(x3)d x40 f (x)cosn x dx420(1x)cos42(xn x3

32、)cosd x4x)sin2sin02(x nn3)sin 4 n x sind x24n x cos4n x cos4f (x) 所以6把函数解:4kn2cosf(x)函数f(x),1)n162 n4k2 cos1(2n 1)2(2n1) x2为所求.在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出x (0，1)延拓为以2为周期的函数如下图.由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦4 ,所以由系数公式得ao12 0 f(x)d x122 0(x 1)2dxa1时，n10(x1)2 cosnxdx10 (x 1)sin n xdx1cosn xdx0bn(x所以

33、1)21 2-cosnx,x 0,122(x 1)(x 1)cos n nsinn n1-2n 1 n ，即7求下列函数的傅里叶级数展开式 f(x)arcsin(sin x).解：函数f(x) a9sin(sinx)是以2为周期的函数如下图.由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是奇函数，故其展开式为正弦由系数公式得0, n 0,1,2,|0 arcsin(sinx)sin nxdx2 xsinnxdxo2( x)sin nxdx22xcosnx n02 cosnxdx02 cosnxdx42 n2kn sin 一所以(2)由于(1)kf(x)x)cos nx2 cosnxd

34、 x, n 122k 1.，. 、4arcsin(sin x)一(1)nsin(2n1 (2n 1)21)x x Rnf(x)arcsin(cosx)解:f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦由系数公式得2a 0 arcsin(cosx)d x 0当n 1时,0 arcsin(cosx)cos nxdx - 0 - x cosnxd x2sin nx n2 sin nxd xn 00 n0n 2k-4- n 2k 1nbn 0, n 12M.，、 41f(x) arcsin(cosx) -5 cos(2n 1)x所以n 1(2n 1), X R .0,-

35、8试问如何把定义在上的可积函数f(x)延拓到区间，内，使他们的傅里叶级数为如下的形式a2 n 1cos(2n 1)xb2nlsin(2n 1)x(1) n 1；(2) n 1解：(1)先把f(x)延拓到0,上，方法如下：f (x)0 x -2f(x)2f ( x) - x 2再把f(x)延拓到0，2 上，方法如下：?(x)f(x)0 x由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(2 x) x 2f(x)是偶函数，故其展开式为余弦由系数公式得2a01 f (x)d x 0当n 1时，bn 20 f (x)sin nxdx 02an 0 f (x)cos nxd x2 22 02 f (x

36、)cosnxd x - _ f (x)cos nxdxo2 f (x)cosnxcos(nnx)d x所以0,2(2)先把f(x)延拓到0,上，方法如下.402 , 02 f (x)sin nx sin(n f(x)cos nxdx n 2k 1n 2kf (x)a2n 1cos(2n 1)x xn 1f(x)f(x)f( x)再把f(x)延拓到0,2上，方法如下.f(x)?(x)由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数，又0 xf(x)是偶函数，故其展开式为余弦由系数公式得a02 0 f (x)d x1时,201 an20 f (x)cosnxdx 0f(x)sin nxdxf(x)si

37、n nxdx2nx)d x22 02 f (x)sin nxd x 一f (x)sin nxd x n2k 12kf(x) 所以b2n iSin(2n 1)xn 1x 0,-2 15. 3收敛定理的证明基本内容一、贝塞尔(BesseD不等式定理1设f (x)在, 上可积，则2b2 n_ 2f (x)d xa02an2 n 1其中不,3为f(x%lg里叶系数.推论设f (x)在,上可积，则推论定理Sn(x)lim n设f (x)在设以2a。f (x)cos nxd x,上可积，则limnlimn为周期的函数ak coskxsinf(x t)一0 f (x)sin0f (x)sinf(x)在bks

38、in kx112 dtlimnf (x)sin nxd x 0xd x 0xdx 0上可积，则2sin -2此称为f(x)的傅里叶级数的部分和的 积分表达式.二、收敛性定理的证明定理3 (收敛性定理)设以2为周期的函数f(x)在,上按段光滑，则limnf(x 0)2f(x 0)2定理4如果f(x)在, f(x 0)- Sn(x)0上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则f(x 0)曳22an cosnx bn sin nx定理5如果f(x)在,按段单调，则f(x 0) f(x 0)a。2an cosnx bn sin nx1设f (x)以2 上一致收敛于f(x).证：由题目设知a0 f(X)-

39、故2(an cosnx bn sin nx)n 1习题解答为周期且具有二阶连续的导函数，证明f(x)的傅里叶级数在(f (x)与f (x)是以2为周期的函数，且光滑,f (x)(an cosnx bnsin nx)n 1a0an1时,1，、， f (x)cos nxdx1 ，一 f (x)cos nx|f (x)sin nxdx nbn，1 ，f (x)dx - f( ) f()f (x)sin nxdxanbn1，、.，f (x)sin nx|anb12anbnf (x)cos nxd xnan1 / 2 二(an 2bn2n由贝塞尔不等式得(an2n 1bn2)收敛,又1n 1 n收敛,邑

40、从而2anbn收敛,a0(ancosnxbn sin nx)在()上一致收敛.f的傅里叶级数在2设f为 ，上可积函数，证明：若则成立贝塞尔(Parseval殍式 12f (x)d x这里an，为f的傅里叶系数.a。m。h ennSm ancosnx bn sin nx证：设 2 n 1因为f (x)的傅里叶级数在，上一致收敛于f(x),上一致收敛于2a022anbn1所以 0， N 0,m N， x ， f(x) Sm”于是(f(x) Sm,f(x) Sm)2 ,而f(x) Sm，f(x) Sm： ；f(x)，f(x)； 2；f(x),Srn：Sm，Sm；C2mC2mf2(x)dx 2 Ta2 b2哼a2 bn22 n 12 n 1, 上可积函数，且他们的傅里叶级数在上分别一致收_ 2f (x)dx2aom22an0n 1所以m N时，r 2a2m 222f