平面几何基本定理

1、13.圆嘉定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）1.勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）（1）锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍.（2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上切线长定理：）14.布拉美古塔（Brahmagupta定理：在圆内接四边形ABCD中，ACLBD自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边的射影乘积的两倍.2.射影定理（欧几里得定理）15.点到圆的嘉：设p为。O所在平面上任意一点，P（=d,OO的半径为r,则d2r2就是点P对于OO的嘉.过p任作一直3.中线定理

2、（巴布斯定理）设ABC勺边BC的中点为P,则有线与。O交于点AB,则PA-PB=|d2r2|.“到两圆等嘉的AB2AC2中线长：ma2(AP2BP2);:2.2b222ca24.垂线定理：ABCDAC2AD2BC2BD2,2bc.ha-p(pa)(pb)(pc)sinAcsinBbsinaa点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心".三个圆的根心对于三个圆等嘉.当三个圆两两相交时，三条公共弦（就是两两的根轴）所在直线交于一点.

3、5 .角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.6 .如ABC3,AD平分/BAC则BDAB；（外角平分线定理）DCAC角平分线长：ta2Jbcp（paj-2bc-cos（其中bcbc2p为周长一半）7 .正弦定理：_a_b_2R,（其中R为三角sinAsinBsinC形外接圆半径）8 .余弦定理：c2a2b22abcosC9 张角定理：sinBACsinBADsinDACADACAB10 .斯特瓦尔特（Stewart）定理：设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB-DCACBD-ADBC=BC-DCBD11 .圆周角定理：同弧所对的圆周角相等

4、，等于圆心角的一半.（圆外角如何转化）16 .托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC-B=AB-CDADBC,（逆命题成立）.（广义托勒密定理）AB-CD-AD-BOACBD17 .蝴蝶定理：AB是。O的弦，Ml是其中点，弦CDEF经过点MCFDE5CAB于PQ,求证：MPQM18 .费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°,

5、该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120。时，此角的顶点即为费马点19 .拿破仑三角形：在任意ABC勺外侧，分另1J作等边ABDBCEACAF贝UAEABCD三线共点，并且AE=BF=CD这个命题称为拿破仑定理.以ABC的三条边分别向外作12.弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角等边ABDBCEACAF它们的外接圆。Ci、。A、。B圆心构成的外拿破仑的三角形，OC、OA、。B三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC的三条边分别向ABC勺内侧作等边ABDABCECAF它们的外接圆。C2、0A、OB的圆心构成的内拿破仑三角形，。C、OA、OR三圆共点，内拿

6、破仑三角形也是一个等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心20 .九点圆(Ninepointround或欧拉圆或费尔巴赫圆)：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质，例如：21 .(1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半(2)九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点(3)三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切费尔巴哈定理22 .欧拉(Euler)线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上.23 .欧拉(Euler)公式：设三角形的外接圆半径为R,

7、内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则d2=R2Rr.24 .锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和.25 .重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2:1的两部分；G(xAxBxCyAyByc)3,3重心性质：(1)设G为ABC的重心，连结AG并延长交BC于D,则D为BC的中点,则AG:GD2:1;(2)设G为ABC的重心,则1SABGSBCGSACG-SABC3(3)设G为ABC勺重心，过G作DE/BC交AB于D,交AC于E过G作PF/AC交AB于P,交BC于F,过G作HK/AB交AC于K,交BC于H,则DEFPKH2DEFPKH仁/八几；2（4）设B

8、CCAAB3BCCAABG为ABC勺重心，则222222BC23GA2CA23GB2AB23GC222_21222GA2GB2GC2-（AB2BC2CA2）322222_22PA2PB2PC2GA2GB2GC23PG2（P为ABCft任意一点）；到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即22_2GA2GB2GC2最小；三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为ABC勺重心).26.垂心：三角形的三条高线的交点；abcab（AXacxBCxCAVAyBcosAcosBcosCcosAcosBco5ab,cabccosAcosBcosCcosAcosBcos（垂心

9、性质：(1)三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍垂心H关于ABC的三边的对称点，均在ABC的外接圆上；(3)4ABC勺垂心为H,则ABCABHBCHACH的外接圆是等圆；(4)设O,H分别为ABC的外心和垂心，BAOHAC,CBOABH,BCOHCA27.内心：三角形的三条角分线的交点一内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等IaxAbxBcXcayA_byB_cyoI(,)abcabc内心性质：(1)设I为ABC勺内心,则I到ABCS边的距离相等，反之亦然(2)设I为ABC的内心,则八1八1BIC90A,AIC90B,AIB9022(3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另

10、两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A平分线交ABC7卜接圆于点K,I为线段AK上的点且满足KI=KR则I为乙ABC的内心(4)设I为abc勺内心，BCa,ACb,ABc,A平分线交BC于D,交ABC外接圆于点K,则AIAKJKbcIDKIKDa(5)设I为ABC的内心，BCa,ACb,ABc,I在BCAC,AB上的射影分别为D,E,F,内切圆半径为八1八八1BIAC90-A,BIBCBICC-22C于顶角(2)DIAB,C也有类似的式子)1,八、IAIBIC2(AC)设A1A的连线交ABC的外接圆于DBDC(对于BIb,CIc有同样的结论)(4)AABC®IaIbIc的垂足三角

11、形，且4径R'等于ABC勺直彳空为2R.30.A,(对D,则IaIbIc的外接圆半SABC-ahb2-absinC22cabc4R22RsinAsinBsinC4(cotAcotBcotC)c) Sabc pr ；0pr$p(pa)(pb)(pc)，其中ha表示BC边上的AEAFpa;BDBFpb;CECD,r为外接圆半径，r为内切圆半径，0p1(abc)2；abcrpAIBICI31.三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系28外心：三角形的三条中垂线的交点一一外接圆圆心，即外心r4RsinAsinBsinC;ra4Rsina2co屏osC,rb4Rc22到三角形各顶点距离相等;

12、O(sin2AxAsin2BxBsin2CxCsin2Asin2Bsin2csin2AyAsin2Asin2Byp,rb.一,"B-.Csin2BsintaiC-tan一r"a"c,rtantan22r;11AB'rarbtantan2235.塞瓦(Cev2定理：设X、Y、Z分别为 ABC勺边BC CA AB外心性质：(1)外心到三角形各顶点距离相等(2)设O为ABC的外心，则BOC2A或BOC3602A(3)Rabc;(4)锐角三角形的外心到三边的4s距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和29旁心：一内角平分线与两外角平分线交点一一旁切圆圆心；设ABC的三

13、边BCa,ACb,ABc,令1 八，一一一，p-(abc),分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切2圆圆心记为Ia,Ib,Ic,其半径分别记为rA,rB,rc旁心性32 .梅涅劳斯(Menelaus)定理：设ABC勺三边BCCAAB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为BPCQARPQR则有_BPCQJAR1.(逆定理也成立)PCQARB33 .梅涅劳斯定理的应用定理1:设ABC勺/A的外角平分线交边CA于Q/C的平分线交边AB于R/B的平分线交边CA于Q则RQR三点共线34 .梅涅劳斯定理的应用定理2:过任意ABC勺三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BCCAAB的延长线

14、交于点RQR则P、QR三点共线上的一点，则AXBYCZ所在直线交于一点的充要条件是AZBXCY.=1ZBXCYA36 .塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC勺边BC的直线与两边ABAC的交点分别是DE,又设BE和CD交于S则AS一定过边BC的中点M37 .塞瓦定理的逆定理：（略）38 .塞瓦定理的逆定理的应用定理1:三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点39 .塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设ABC勺内切圆和边BCCAAB分别相切于点R、S、T,则ARBSCT交于一点.40 .西摩松（Simsori）定理：从4ABC的外接圆上任意一点P向三边BCCAAB或

15、其延长线作垂线，设其垂足分别是DER则DE、R共线，（这条直线叫西摩松线Simsonline）41 .西摩松定理的逆定理：（略）42 .关于西摩松线的定理1:ABC勺外接圆的两个端点PQ关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上43 .关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点44 .史坦纳定理：设ABC勺垂心为H其外接圆的任意点P,这时关于ABC勺点P的西摩松线通过线段PH的中心.45 .史坦纳定理的应用定理：ABC勺外接圆上的一点P的关于边BGCAAB的对称点和ABC勺垂心H同在一条（与西摩松

16、线平行的）直线上.这条直线被叫做点P关于ABC的镜象线.46 .牛顿定理1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线.这条直线叫做这个四边47 .牛顿定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线.48 .笛沙格定理1:平面上有两个三角形ABCDEE设它们的对应顶点（A和DB和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.49 .笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形ABCDEF设它们的对应顶点（A和DB和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.50 .波朗杰、腾下定理：设ABC勺外接

17、圆上的三点为PQR则PQR关于AB戌于一点的充要条件是：弧AP+弧BG弧CF=0（mod2）.51 .波朗杰、腾下定理推论1:设RQR为4ABC的外接圆上的三点，若RQR关于ABC勺西摩松线交于一点，则AB、C三点关于PQR勺的西摩松线交于与前相同的一点.52 .波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、CPQR六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点.53 .波朗杰、腾下定理推论3:考查ABC的外接圆上的一点P的关于ABC勺西摩松线，如设QRJ垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、QR的关于ABC勺西摩松线交于一点.54 .波朗杰、腾

18、下定理推论4：从ABC勺顶点向边BCCAAB引垂线，设垂足分别是DE、F,且设边BGCAAB的中点分别是L、MN,则DE、F、L、MN六点在同一个圆上，这时L、MN点关于关于ABC勺西摩松线交于一点形的牛顿线.56.奥倍尔定理：通过 ABC勺三个顶点引互相平行的三条直线,55 .卡诺定理：通过ABC勺外接圆的一点P,引与ABC勺三边BCCAAB分别成同向的等角的直线PDPEPF,与三边的交点分别是DEF,则DE、F三点共线.设它们与ABC勺外接圆的交点分别是L、MN在ABC勺外接圆上取一点P,则PLPMPN与ABC勺三边BCCAAB或其延长线的交点分别是DE、F,则DE、F三点共线.57 .清

19、宫定理：设PQ为ABC勺外接圆的异于AB、C的两点，P点的关于三边BCCAAB的对称点分别是U、V、W这时，QUQVQWF口边BCCAAB其延长线的交点分别是D>E、F,则DE、F三点共线.58 .他拿定理：设P、Q为关于ABC勺外接圆的一又反点，点P的关于三边BCCAAB的对称点分别是UV、W这时，如果QUQVQVfH边BCCAAB或其延长线的交点分别是DE、F,则DE、F三点共线.（反点：P、Q分别为圆。的半径O5口其延长线的两点，如果OC=OQ<OP则称PQ两点关于圆O互为反点）59 .朗古来定理：在同一圆周上有A、B、CD四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P,彳P点的

20、关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上60从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心61一个圆周上有n个点，从其中任意n1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点62康托尔定1：一个圆周上有n个点，从其中任意n2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点63 .康托尔定理2:一个圆周上有AB、CD四点及MN两点，则M和N点关于四个三角形BCDACD/ADABABC的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上这条直线叫做MN两点关于四边形ABCDJ康托尔线.64 .康托尔定理3:一个圆

21、周上有AB、CD四点及MML三点，则MN两点的关于四边形ABCD1康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD1康托尔线、ML两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD1康托尔点.65康托尔定4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCD、ECDE、ADEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线66费尔巴赫定：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切67莫利定：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正

22、三角形这个三角形常被称作莫利正三角形68 .布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDE相对的顶点A和DB和E、C和F,则这三线共点.69 .帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDE相对的边AB和DEBCEFCDFA的（或延长线的）交点共线.70 .阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点AB的距离之比为定比mn（值不为1）的点P,位于将线段AB分成mn的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆71 库立奇*大上定：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接

23、四边形的九点圆72 .密格尔（Miquel）点：若AEAF、EDFB四条直线相交于AB、CDEF六点，构成四个三角形，它们是ABFAEDABCEADCF则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点73 .葛尔刚（Gergonne点：ABC勺内切圆分别切边ABBCCA于点DE、F,则AEBRC线共点，这个点称为葛尔刚点.74 .欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足形成的三22角形的面积，其公式：SDEF1Rd1.2SABC4R二.集合1 .元素与集合的关系xAxCUA,xCUAxA.2 .德摩根公式CU(ApB)CUACUB;CU(

24、AjB)CUACUB3 .包含关系ApBAAJbBABCUBCUAApCUBCUAJBR4 .集合a1,a2J“，an的子集个数共有2n个；真子集有2n-1个；非空子集有2n-1个；非空的真子集有2n-2个.5 .集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则可以构造M*N个从集合A到集合B的映射；6 .容斥原理card(AJb)cardAcard(AJbJC)cardAcardB card (aQ B)cardB cardC card (A。B) card (C A A) card(ABC)card(AB)card(Bp|C)且k1k1k2bk2.2a三.二次函数，二次方程1-二次函数的解析式的

25、三种形式4闭区间上的二次函数的最值(1)一般式f(x)2axbxc(a0);二次函数f(x)2.axbxc(a0)在闭区间p,q(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0);的最值只能在b处及区间的两端点处取得，具体如下:2a(3)零点式f(x)a(xX)(xx2)(a0).a>0b2ap,q2解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式f(x)minf(b、),f(x)max2amaxf(p),f(q)；Nf(x)M|f(x)f(x)MN2Mf(x)N0f(x)N0Mf(x)b2ap,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)f(x)minminf(p),f(q).1f(x)N当a<0时

26、，若b2ap,q3方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根，与f(x)minminf(p),f(q)bm一p,q，则2af(K)f(k2)0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分f(x)maxmaxf(p),f(q)条件.特别地,方程ax2bxc0(a0)有且只有一个f(x)minminf(p),f(q).实根在(k1,k2)内，等价于f(k1)f(k2)5-一元二次方程的实根分布bk12a0,或f(k1)0f(k2)0且依据：若f(m)f(n)0,则方程(m,n)内至少有一个实根f(x)0在区间设f(x)x2pxq,则1真值表(1)方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为p24

27、q0f(m)0或pm2Pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假f(m)f (n) 0 或f (m) 0 f(n) 0 p2 4q 0 或p m n2f (m) 0af(n) 0f(n) 0af (m) 0(3)方程f (x)0在区间(，n)内有根的充要条件为4q 0f(m) 0 或6定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间(，)的子区间L (形如 ，, 不同)上含参数的二次不等式f(x,t) 0 ( t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min 0(x L).(2)在给定区间(，)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t) 0 ( t为参数)恒成立的充要条

28、件是f(x,t)man 0(x L).f (x)ax4 bx2 c 0恒成立的充要条件是原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有者B是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n 1)个小于不小于至多有n个至少有(n 1)个对所有x ,成立存在某x ,不成立p或qp且 q对任何x ,不成立存在某x ,成立p且qp或 q若非p则非q互逆若非q则非pa 0b2 4ac4充要条件四.简易逻辑(1)充分条件：若 p q ,则p是q充分条件.(2)必要条件：若 q p,则p是q必要条件(2)方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为2常见结论的否定形式(3)充要条件：若 p

29、q,且q p,则 p是q充要 条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.五.函数1一函数的单调性(1)设x1 x2a,b,x1 x2那么(Xi x2)f(K) f(x2)0f(x1)fd)xi x2f (x)在a,b上是增函数;y f(x a)与y f(b x) 的图象关于直线a b ix 对称.26 若f(x) f( x a),则函数yf(x)的图象关于点a(10)对称；右f(x) f (x a),则函数y f (x)为周期为2a的周期函数.7多项式函数P(x) anxn an 1xn 1 口 a0的奇偶性多项式函数 P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为

30、零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)(xix2)f(xi)f(x2)0工(x一L(x0f(x)在a,b上是减函数.xix2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0,则f(x)为增函数；如果f(x)0,贝Uf(x)为减函数.2如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)g(x)也是减函数；如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数yfg(x)是增函数.3奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；在对称区间上，奇函数的单调性相同，欧函数相反；，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这

31、个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0,则必有f(0)=0;4若函数yf(x)是偶函数，贝Uf(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).5对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒ab成立，则函数f(x)的对称轴是函数x；两个函数的系数全为零.8 函数yf(x)的图象的对称性(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).ab(2)函数yf(x)的图象关于直线x对称2f(amx)f(bmx)f(abmx)f(mx).9 两个函数图象的对称性(1)函数yf(x)与

32、函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象ab关于直线xb对称.2m(3)函数yf(x)和yf1(x)的图象关于直线y=x对称.10若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的2111213图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.互为反函数的两个函数的关系f(a)b若函数y1f1(x)k_1f(kxf(X)的周期T=2a；f(x)1(f(x)0),则f(x)的周期f(xa)f1(b)a.T=3a；f(kxb)存在反函数，则其反函数为b,并不是yb)是y11f(x)

33、kf(x1x2).f(X2)1f(x1)f(x2)几个常见的函数方程f1(kxb)，而函数b的反函数.f(a)1(f(x1)的周期T=4a；f(x2)1,0|x1x2|2a),则f(x)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xy)f(x)f(y),f(1)c.f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；f(x)y)f(x)f(y),f(1)(6)f(xa)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=6a.f(x)lOgax指数与对数1分数指数募f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).ma：1-=：(a0,m,nnmaN

34、in1).f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sin(a0,m,nNin1).2根式的性质f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y),f(0)1,limg)x0x(2)当n为奇数时，vana；当n14几个函数方程的周期(1)f(x)(约定a>0)为偶数时，nan|a|a,a0a,a0f(xa),贝Uf(x)的周期T=a；3有理指数嘉的运算性质f(x)f(xa)s(a0,r,sQ).f(xa)1f(x)(f(x)0)f(xa)1f(x)(f(x)0)注:(ar)sars(a0,r,sQ).(ab)rarbr(a0,b0,rQ).若a>0

35、,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数嘉的运算性质，对于无理数指数嘉都适用2.f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1)4指数式与对数式的互化式logaNbabN(a0,a1,N0).39.数列的同项公式与前n项的和的关系5对数的换底公式6,SnSn1,n数列an的前n项的和为lOgaN10gmN(a0,且a1,m0,且logmasnaia2HIan).m1,N0).推论logbnan,logab(am0,且a1,m,n数列且m1,n1,N0).6对数的四则运算法则ana1(n1)ddna1d(n若a>0,a，1,M>0,N>0,则loga(MN)lo

36、gaMlOgaN;(2)snn(aan)logalOgaMlOgaN;lOgannlogaM(nR).21(a1d)n.2na1An(n1)22数f(x)logm(ax2.等比数列的通项公式annaqb24ac.若f(x)的定义域为若f(x)的值域为R,则a0,且需要单独检验.8对数换底不等式及其推广ylogax(bx)一，1一一b时,在(0,_)和'a为增函数.为减函数.推论：设nlogamloganbxc)(a0)R,则a0,且0.对于aa1q-nq(n0;0的情形,其前n项的和公式为a1(1qn)sn1q,qna1，q13等比差数列an:an1一，一1、一，1b时，在(0,)和(

37、一,)上y)上y，则函数lOgax(bx)logax(bx)式为an10gmp(n,2mlOga29平均增长率的问题0,且ap)logmn如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有yN(1p)x.1叶或Snqand,a1b(n1)d,q1bqn(db)qn其前n项和公式为d一,qnbn(nsn(bd1q)1)d,(qn1qq11)4-分期付款(按揭贷款)每次还款xab(1b)n(1b)n1利率为b).三角函数1常见三角不等式aanq1qna,qb(q,q0)的通项公1)元(贷款a元，n次还清，每期(1)若x(0,),则sinxxtanx.tan(tantan1一tan

38、tan若x(0,),则12sinxcosx2.sin()sin(、.2)sin.2sin(平万正弦(3)|sinx|cosx|1.公式）;2同角三角函数的基本关系式.2sin2costansincos()cos(、2)cos.2sincosasinbcostancot1.=a2b2sin(）（辅助角所3正弦、余弦的诱导公式在象限由点（a,b）的象限决定,tan-).sin(n1)2sinn1(n为偶数）5半角正余切公式:tan2asin,cot1cossin1cos1)2cos,6-二倍角公式zncos(-2n1)2cos,（n为偶数）sin2sincos4-和角与差角公式sin(sincos

39、(coscoscossincossincos2tan2-sinsin2cos.2sin2cos22sin2sinxsinxcosxcosxa(|a|a(|a|a(|a|a(|a|1)1)1)1)(2k(2k(2k(2karcsina,2karcsina,2karccosa,2karccosa,2ktanxa(aR)(ktanxa(aR)(k角的变形：28三倍角公式sin33sin4sin3cos334cos3costan33tantan313tan29-三角函数的周期公式2tan1tan27最简单的三角不等式及其解集arcsina),kZarcsina),kZarccosa),kZarccos

40、a),kZarctana,k),k2,karctana),k4sinsin(一)sin()334coscos()cos(33tantan()tan()33函数ysin(x),xeR及函数ycos(x),xGR（A,3,为常数，且ytan(x),x且AW0,3>0)的周期Tio正弦定理11余弦定理b2A"sinAsinBb212面积定理(1)示a、b、3>0）的周期T2；函数一,kZ(A,3,为常数,22c2bccosA2cacosB;c11二aha-bhb222,2ab2abcosC.1一chc(ha、hb、hc分别表2c边上的高).C1.1,.A1.-SabsinCbc

41、sinAcasinB.(2)2224,向量平行的坐标表不设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0,则13在三角形中有下列恒等式：sin(AB)sinCtanAtanBtanCtanA.tanB.tanC14简单的三角方程的通解a|b(b0)x1y2x2y10.5a与b的数量积(或内积)ab=|a|b|cos9.6ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosksinxaxk(1)arcsina(kZ,|a|1).9的乘积.7平面向量的坐标运算cosxax2karccosa(kZ,|a|1).a=(x1,y1)tanxaxkarctana(kZ,aR).a+

42、b=(x1x2,y1y2).特别地，有sinsincoscostantan15-三角形内角和定理在ABC中，有ABC_AB222k(1)k(kZ).2k(kZ).k(kZ).CC(AB)2C22(AB)a=(x1,y1)a-b=(x1x2,y1y2).(x，y1)(x2,y2)ABOBOA(x2x1，y2%).设a=(x,y),R,则a=(x,y).(5)设a=(x，y1),b=(x2,y2)，则ab=(xx2y1y2).8两向量的夹角公式八向量1实数与向量的积的运算律设入、以为实数,那么(1)结合律：入(ga)=(入v)a;cosd,y?).(2)第一分配律：(入+v)a=入a+va;(3)

43、第二分配律：入(a+b)=入a+入b.2向量的数量积的运算律:(1)a-b=b-a(交换律);(2)(a)b=(ab)=a1b=a(b);(3)(a+b)c=ac+bc.3平面向量基本定理如果ee2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数人1、入2,使得2=入e+入202.不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.xx2y1y29平面两点间的距离公式dA,B=|=2(a=(x1,y1),b=y2J(x2x1)2(y2v)2(A(x，y1)，B(x2,y2).10向量的平行与垂直设a=(x1,y)，b=(x2,y2),且bA|bb=入ax1y

44、2x2ylab(a0)ab=0x1x211线段的定比分公式0,则0.yy2o.设R(xi,yi),P2(x2,y2),P(x,y)是线段RP2的分设。为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别点,是实数，且pP为a,b,c,则Xi1yi1X2y2OpOP1OP1(1)。为ABC的外心(2)。为ABC的重心Optopi(1t)OP2(t).1O12-三角形的重心坐标公式为ABCabc三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、(4)。为ABC的内心A的旁心C(x3,y3),则abc的重心的坐标是G(XX2x3y1y2y3aOAbOBcOCABC的).注：图形F上的任意一点P(x

45、, y)在平移后图形F上的对应13,点的平移公式xxhxxhTOPOPPP'''yykyykPP的坐标为(h,k).14“按向量平移”的几个结论(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到_图象C，则C的函数解析式为yf(xh)k.(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x)，则C的函数解析式为yf(xh)k.曲线C：f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C，则C的方程为f(xh,yk)0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量

46、仍然为m=(x,y).九不等式1常用不等式：(1)a,bRa2b22ab(当且仅当a=b时取“=”号).ab(2)a,bRJab(当且仅当a=b时取2“=”号).333(3)abc3abc(a0,b0,c0).(4)柯西不等式22222_(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.(5)ababab.2极值定理已知x,y都是正数，则有(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2Jp；(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值12s.4推广已知x,yR,则有(xy)2(xy)22xy(1)若积xy是定值，则当|x丫|最大时，|*y|最大；15三角形五“心”向量形式的充要条件当|x

47、y|最小时,|xy|最小.小;若和|xy|是定值，则当|xy|最小时，|xy|最大.y|最大时，|xy|最2.axbxc0(或0)(a0,.2b4ac0)果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果af(x)ag(x)f(x)g(x)；f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)十直线方程1斜率公式ky-1(以为，%)、P2(x2,y2)2.axbxc异号,则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1，或xX2(xx1)(xx2)0(xix2).4含有绝对值的不等式当a>0时，有k=tana(a为直线倾斜角)2直线的五种方程(1)点斜式yy1k(xx1)(直线l过点F(x1,y1),且斜率为k).(2)斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).75.无理不等式(1)Jf(x)、g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)两点式-y一y1红(y1丫2)(已(',丫1)、y2yx2x1F2(x2,y2)(xx2).(4)截距式-y1(ab分别为直线的横、纵截距，aba、b0)(5)一般式AxByC0(其中a、B不同时为0).'f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)2g(x)2f(x)g(x)5,两条直线的平行和垂直若