曲线积分与曲面积分

1、(x2,于是这个圆的半径等于 上所有点满足球面方程.代入，得229y z )ds=ds =23 计算曲线积分,其中L是双纽线acos2曲线积分与曲面积分曲线积分1 计算曲线积分(xy)ds,其中L是y |1 x|x,0x 2.解曲线参数化.曲线L是一条折线.要分段计算.以x为参数.L(Xy)ds =1 =o(x 12x) . 5dx2(x1 1*1)dx (、51)22 计算曲线积分(X22y2z )ds,其中是曲面与的交线.解代入化简被积函数.曲面和的交线是一个圆.坐标原点到平面的距离等于 又因为曲线是曲面和的交线，所以解 曲线参数化.奇偶对称性.选极角为参数.利用奇偶对称性.计算在第一象限

2、的部分，则r2 (r )2a ，代入cos2公式，得4 计算曲线积分=4 4 Ja cos2 sin .0. cos2x2ds,其中是曲面与的交线.=(4 2.2)a解 轮换对称性.代入化简被积函数.因为曲线关于平面y x及z x都对称，所以x2ds结论：设分段光滑曲线 y1 / 2 22X ,(x y z )ds3y(x)关于y轴对称，将它从左到右定向记作L .ds - a33是它的位于右半平面的部分.又设函数在L上连续，且满足，则LP(x,y)dx =2 , P(x,y)dx ,L1lQ(x, y)dy 0.5.计算曲线积分(x y)dxL,其中 L是圆周x22a的正向.解曲线参数化.将

3、x acost, yasin t代入,得(x y)dx (x y)dyL2 2x y6.计算曲线积分，其中L是由曲线和围成的区域的边界的正向dt解曲线参数化.奇偶对称性.不考虑方向，曲线L关于y轴对称，被积函数关于变量y是偶函数，用奇偶对称性，有.被积=+两段曲线具有不同的表达式，需分别计算计算在L1上的积分时，以x为参数；计算在上的积分时,以极角为参数代入公式，得2 - ln(4 3.2)3222 sin d=+ 20 一 2 cos 2 sin格林公式1.计算曲线积分，其中L是由曲线，围成区域D的正向边界解用格林公式计算根据格林公式，有2xd用二重积分的换元法D.令，则区域D变成平面上的矩

4、形.雅可比行列式，代入公式，得2.计算曲线积分，其中L是曲线上从点(，0)到点(2，0)的弧解添加一段弧成闭路，用格林公式计算添加x轴上从点(2，0)到点(，0)的直线段，记它们共同围成的区域为 D，用格林公式，得2 y= y D22vx y3计算曲线积分(e y)dxLxdx=-292 2x y(x3 sin y)dy，其中 L：x2y2R2的正向2 2x y解化简被积函数，用格林公式计算.因为被积函数在原点没有定义，不能直接用格林公式.将曲线方程代入被积函数的分母，得(ex y3)dx (x3 sin y)dy 1 z x 332 L(e y )dx (x siny)dyRy2 R2，则A

5、 (3x2R2 Dy dx 2f(x)这时可以使用格林公式了1 / 2厂©2 2x y记 D : x2y3)dx (x3sin y)dy3y2)d3 r224.设函数有连续的偏导数，求证：l xf (y)dy，其中L是圆周的正向.证用格林公式证明不等式1 用格林公式，有=f(y)d .Df(x)因为区域D关于直线对称，用轮换对称性，D f(y)f(x) d Df(x)Dd 215.求极限 !吨 L(ax by)dx(mx ny)dy，其中L是圆周2 2y t的正向.解用格林公式求极限设L围成的区域为D,根据格林公式，有1阿占 L(ax by)dx1lim - (m b)t t 0 t

6、2设函数有连续导数1(mx ny)dy 丿吧 占 D(m b)d(m b)6.,则曲线积分与路径无关证用曲线积分与路径无关的条件计算可得，满足曲线积分与路径无关的条件7.求函数p(x),使得曲线积分 Jey xp(y)dx (xey x2)dy与路径无关解用曲线积分与路径无关的条件根据曲线积分与路径无关的条件 ，有ey 2x ey xp (y)，即p (y)2 .积分，得P( y) 2y C.8. 计算曲线积分l一2，其中L是曲线上从点到点的弧.L(x c)2 y23/2解曲线积分与路径无关.选择比较简单的路径.计算可得3彎 2 5/2，满足曲线积分与路径无关的条件.因此，选择y (x c)

7、y x容易计算的积分路径：先从点沿直线到点(a,b),再从点(a,b)沿直线到点(x c)dx ydy/223/2L(x c) y bydy022p3/20(a c) y 0 (x c)dxa223/2a(x c) b 择容易计算的积分路径:沿曲线xy2从点 A(3,2)到点 B(1,2).3AByf(xy)dxxf(xy)2-f(2)x2-f(2)x-dx21xdx39. 计算曲线积分，其中函数有连续导数，点解用条件判定曲线积分与路径无关.选择比较简单的路径.P1 Qf (xy) xyf (xy)计算可得y2，满足曲线积分与路径无关的条件.因此，选y x2在L的内部.因为被积函数满足微分方程

8、，所以在L与C之间的区域上的二重积分等于零.于是在用多连通区yx域的格林公式时，相当于换成另一条闭路，10. 计算曲线积分，其中L是包含坐标原点在其内部的正向闭曲线证用复连通区域的格林公式.选择比较简单的闭路.积分式在坐标原点无意义，取 0足够小，使得圆周C :x2PQc22222 cos sin0 211.验证是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数.解用全微分的条件.P x计算可得exysin yu(x, y)xexdx0Q,满足全微分的条件xy xe sin ydy0.选坐标原点为始点，则ex 1xx xe cosy e e cosy 1验算：u(0,0)0.曲面积分关于xoy平面对称，

9、上连续,且满足f (x, y, z) = f (x, y, z)，则结论1.设光滑曲面2.设函数f (x, y, z)在光滑曲面f(,是在上半空间的部分.函数f (x,y,z)在曲面2 f (x, y,z)dS.1的面积记作A ,则存在点1f (x, y,z)dS上连续，1.2.3.,使得 f (x, y, z)dS =计算曲面积分(x2y2)dS,解向坐标平面投影向xoy平面的投影区域为 D: x2其中(x2 y2)dS= d(x2计算曲面积分(x y z)dS,其中解奇偶对称性.是锥面z x2y2)、2dxdy = 2曲面关于xoz平面和yoz平面对称，因此zdSdE严5 1)计算曲面积分

10、2y，z1.、2.用计算公式，得是 z x2 y2, z(x y)dS 0.1.y2)、14x2 4y2dxdyd 03 14r 2dr(x22y2 3z2)dS,其中是球面x2R2解轮换对称性.2 2因为球面x y2R关于平面z x和x2dS =y2dS =y都对称，所以z2dS(x22 2 22y 3z )dS= 2 (x2 2y z )dS = 8R2结论设光滑有向曲面关于yoz平面对称，函数P(x, y, z) ,Q(x, y, z), R(x, y, z)在 上连续，且 P( x, y, z) P(x, y,z), Q( x, y,z) Q(x, y, z),R( x, y, z)

11、R(x,y,z),贝VP(x, y, z)dydzQ(x, y,z)dzdxR(x, y, z)dxdy 0.1的下侧.4.计算曲面积分x2dydz zdxdy,其中 是锥面z . x2 y2 ,z解向坐标平面投影.奇偶对称性.曲面关于yoz平面对称，2被积函数x关于x是偶函数,dydz0.5.计算曲面积z: x2解轮换对称性曲面y2,关于平面(yz)dydz(x(yz)dydz6.计算曲面积分zdxdy(yd、x2 y2 dxdy2dr0z)dydz (z x)dzdx (xh的下侧.x对称，用轮换对称性，得y(z x)dzdx(x y)dxdyy)dxdy是圆锥面z)dxdz (z(z x) dzdxy)dzdy (y x)dxdy(x y)dxdy=0(x 1)yz(dydz dzdx dxdy),其中是柱面的右侧解向坐标平面的投影是曲线弧因为曲面 在xoy平面的投影是一条曲线，所以 (X1)yzdxdy0.曲面 关于yoz平面对称，函数yz关于x的是偶函数，所以 y