圆锥曲线的定义

1、圆锥曲线的定义、性质和方程高考在考什么【考题回放】1已知AB为过抛物线y2=2px焦点F的弦, 则以AB为直径的圆与抛物线的准线(B)A相交 B相切 C相离 D与p的取值有关2 07年（江苏理）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，则它的离心率为 （ A ）A B C D3点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=(B )A、-B、C、-2D、2 407年（湖南）设F1 、F2分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）A B C D507年

2、（湖北理）双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1 、F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则等于 （ A ） A BC D6（07全国一）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是( C)A4 B C D87（福建理）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆方程是 （ A ）Ax2+y2-10x+9=0Bx2+y2-10x+16=0 Cx2+y2+10x+16=0Dx2+y2+10x+9=08（07辽宁）设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足，

3、则2高考要考什么【热点透析】一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即P| |PF1|-|PF2|=2a, (2a<|F1F2|)。 3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆：（a>b&g

4、t;0）或（a>b>0）（其中，a2=b2+c2） 2.双曲线：（a>0, b>0）或（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质 知识要点：1.椭圆：（a>b>0） （1）范围：|x|a，|y|b （2）顶点：(±a,0)，(0,±b) （3）焦点：(±c,0) （4）离心率：e=(0,1) （5）准线：2.双曲线：（a>0, b>0） （1）范围：|x|a, yR （2）顶点：(±

5、;a,0) （3）焦点：(±c,0) （4）离心率：(1,+) （5）准线：（6）渐近线：3.抛物线：y2=2px(p>0) （1）范围：x0, yR （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1 （5）准线：x=-主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。突破重难点【例1】若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD3解：由知四边形F1OMP是平行四边形，又知OP平分F1OM，即F1OMP是菱形，设|OF1|=

6、c，则|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a， |PF2|=2a+c，由双曲线的第二定义知,且e>1，e=2，故选C.【例2】（06上海春）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解：（1）设曲线方程为， 由题意可知，. . 曲线方程为. （2）设变轨

7、点为，根据题意可知得 ，或（不合题意，舍去）. . 得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为，.答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出指令. 图1【例3】如图1，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且，。（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数l使？请给出证明。解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为。而O为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|又，所以ACBC又，所以|OC|AC|，所以AOC为等腰直角三角形

8、，所以点C坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得，则椭圆方程为。（2）由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为k，直线CP的方程为y-1=k(x-1)，直线CQ的方程为y-1=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0因为C（1，1）在椭圆上，所以x1是方程的一个根，于是 同理这样， 又B（1，1），所以，即kAB=kPQ。所以PQAB，存在实数l使。【例4】如图，直线l1和l2相交于点M，l1 l2，点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N

9、的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线C的方程解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为y2=2px (p0)，(xAxxB，y0)，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|所以 M (，0)，N (，0) 由 |AM|=，|AN|=3得(xA)22PxA=17， (xA)22PxA=9 由、两式联立解得xA=，再将其代入式并由p0解得或因为AMN是锐角三角形，所以xA，故舍去 P=4，xA=1由点B在曲线段C上，得xB=|BN|=4综上得曲线段C的方程为y2=8x (1x4，y0)解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点作AEl1，ADl2，BFl2，垂足分别为E、D、F设 A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0)依题意有xA=|ME|=|DA|