平方根知识点总结讲义

1、平方根知识点总结【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1. 算术平方根的定义2如果一个正数x的平方等于a，即xa,那么这个正数x叫做a的算术平方根规定0的算术平方根还是 0； a的算术平方根记作,a，读作“ a的算术平方根，a叫做被 开方数要点诠释：当式子.a有意义时，a一定表示一个非负数，即 ,a >0, a >0.2. 平方根的定义如果x2 a，那么x叫做a的平方根求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与 开平方互为逆运

2、算 a a >0的平方根的符号表达为 、aa 0，其中 ,a是a的算术平 方根要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1 .区别：1定义不同；2结果不同：a和a2 联系：1平方根包含算术平方根；2 被开方数都是非负数；3 0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：1正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.2正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根要点三、平方根的性质a(a 0)、a2|a|0(a 0)a (a 0),aa a 0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向

3、右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如：.62500250 ,25 ,6252.5 ,0.06250.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念C1、假设2m 4与3m 1是同一个正数的两个平方根，求m的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m 4= ( 3m 1),解方程即可求解.【答案与解析】解：依题意得 2 m 4= ( 3 m 1),解得m = 1; m的值为1.【总结升华】 此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.举一反三：【变式】2 a 1与一a + 2是m的平方根，求 m的值

4、.【答案】2 a 1与a + 2是m的平方根，所以2 a 1与a + 2相等或互为相反数.2 2解：当 2a 1 = a + 2 时，a = 1，所以 m = 2a 12 1 11当 2a 1+( a + 2) = 0 时，a = 1,222所以 m = 2a 12 ( 1) 12392、X为何值时，以下各式有意义？(1) X2 ;(2).X 4 ;(3). X 1. 1 X ;(4)-.x 3【答案与解析】解：(1)因为X2 0 ,所以当X取任何值时， X2都有意义.(2) 由题意可知：x 4 0，所以X 4时，-,X 4有意义.X 1 0 ,(3) 由题意可知：解得：1 X 1 .所以 1

5、 X 1时. X 1 , 1 X有意1 X 0义.X 10(4) 由题意可知：，解得X 1且X 3 .X 30JZ-所以当X 1且X 3时，有意义.X 3【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三：1 1【变式】b 4 3a 2 2 2 3a 2，求的算术平方根.a b【答案】3a 2021131解：根据题意，得那么a 2，所以b = 2 ,-丄2 ,2 3a0.3ab22AA| AA_-的算术平方根为.2 .a b a b类型二、平方根的运算3、求以下

6、各式的值. J252 242 gj32 42 ； (2) * 20 丄 丄 J036 丄 J900 .435【思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义( 2)注意运算顺序.【答案与解析】解：、252 242 g . 32 4249 g . 25 7 5 35 ；(2) J20 0.36V900J0.6 300.2 61.7.435V 4352【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据、a2 a (a 0)来解.类型三、利用平方根解方程4、求以下各式中的 X.2 2(

7、1) x2 361 0;(2) x 1289 ；(3) 9 3x 2 2 64 0【答案与解析】解：(1 ) x2 3610 x2361 x.36119(2)v x 1 2289 x1.289x + 1 = ± 17x = 16 或 x = 18.(3)v 9 3x2264 064983146-元二次方程,.x 2 或 x9【总结升华】此题的实质是(3)小题中运用了整体思想分散了难度开平方法是解元二次方程的最根本方法.(2)举一反三:【变式】求以下等式中的 x :(1)假设 x21.21，贝U x =(2)169，贝U x =(3)假设 x29,那么 x =4(4)假设x22 2，那

8、么 x =【答案】(1)± 1.1 ; (2)± 13; ( 3)32 ；( 4)± 2.类型四、平方根的综合应用、a、b是实数，且2a 6|b0,解关于x的方程(a 2)x b2【答案与解析】解： a、b是实数，2a 6 |b0,2a 60, |b 、2|0,' 2 代入(a 2)x b2a 1，得一x +2= 4, . x = 6【总结升华】 此题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a、b的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【变式】假设.x2 1 , y 1 0,求

9、x2021 y2021的值.【答案】解：由 x21.0,得 x210 , y 10,即 x 1 , y 1. 当 x = 1, y =- 1 时，x2021 y2021 12021 ( 1 )20212 . 当 x =- 1, y =- 1 时，x2021 y2021 ( 1 )2021 ( 1 )2021 0 .6、小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片【答案与解析】 解：设长方形纸片的长为3x ( x >0) cm，那么宽为2x cm，依题意得3x 2x 300.6x2300.x250.T x > 0, x , 50 .长方形纸片的长为 3 50 cm ./ 50 > 49, .507.