专练08(证明题)(30题).doc

1、专练08(证明题)(30题)2021 中考考点必杀 500 题 专练 08 （ 证明题 ）（30 道） 1 （2021· 江苏苏州市· 九年级一模 ） 如图 ， 已知点 E ，F 分别是ABCD 的边 BC ，AD 上的点 ，且 且 CE AF （1 ） 证明 ：ABECDF ； （2 ）若 若 AE BE ，BAC 90° ， 求证 ：四边形 AECF 是菱形 】 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析p 】 （1）由平行四边形的性质可得 AB=CD，AD=BC，且∠B=∠D，再由 CE=AF，可得 BE=DF，即可利用 SA

2、S 定理判定∠ABE∠∠CDF； （2）首先证明四边形 AECF 是平行四边形，再根据 AE=BE，可得∠ABE=∠BAE，由∠BAC=90°可根据等角的余角相等可得∠ACE=∠EAC，进而得到 AE=EC，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证出结论 【详解】 (1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ∠AB=CD，AD=BC，且∠B=∠D， ∠CE=AF， ∠BE=DF， &

3、amp;ang;在∠ABE 和∠CDF 中， AB CDB DEB FD= ìï Ð= Ðíï=î , ∠∠ABE=∠CDF； (2)证明:∠四边形 ABCD 是平行四边形， ∠AD∠BC, ∠CE=AF ∠四边形 AECF 是平行四边形， ∠AE=BE， ∠∠ABE=∠BAE ∠&

4、;ang;BAC=90° ∠∠ABE+∠ACE=90°，∠BAE+∠EAC=90° ∠∠ACE=∠EAC， AE=CE， ∠平行四边形 AECF 是菱形 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，关键是掌握平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分，菱形的判定定理：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形等 2 （20_· 江苏宿

5、迁市· 中考真题 ） 如图 ， 已知 BD 是ABC 的角平分线 ，点 点 E 、F 分别在边 AB 、BC 上 ，EDBC ，EFAC 求证 ：BE=CF 【答案】证明见解析 【解析】 试题分析p ：先利用平行四边形性质证明 DE=CF，再证明 EB=ED，即可解决问题 试题解析：∠ED∠BC，EF∠AC，∠四边形 EFCD 是平行四边形，∠DE=CF，∠BD 平分∠ABC，∠∠EBD=∠DBC，∠DE&am

6、p;ang;BC，∠∠EDB=∠DBC，∠∠EBD=∠EDB，∠EB=ED，∠EB=CF 考点：平行四边形的判定与性质 3 （20_· 江苏徐州市· 中考模拟 ） 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ，AB CD ，BF DE ，AEBD ，CFBD ， 垂足分别为 为 E 、F （1 ） 求证 ：ABECDF ； （2 ）若 AC 与 与 BD 交于点 O ，求证：AO CO 】 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析p 】 （1）由 BFDE

7、，可得 BEDF，由 AE∠BD，CF∠BD，可得∠AEB∠CFD90°，又由 ABCD，在直角三角形中利用 HL 即可证得：∠ABE∠∠CDF； （2）由 Rt ABE Rt CDF D D ，即可得∠ABE∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得 /D AB C ，又由 ABCD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形 ABCD 是平行四边形，则可得 AOCO 【详解】 证明：（1）∠BF=DE，

8、 ∠ BF EF DE EF - = - ， 即 BE=DF， ∠AE∠BD，CF∠BD， ∠∠AEB=∠CFD=90°， 在 Rt∠ABE 与 Rt∠CDF 中， AB CDBE DF= ìí=î, ∠ Rt ABE Rt CDF D D （HL）； （2）如图，连接 AC 交 BD 于 O， ∠ Rt ABE Rt CDF D D ， ∠ ABE CDF 

9、08; = Ð ， ∠ /D AB C ， ∠ = D AB C ， ∠四边形 ABCD 是平行四边形， ∠ AO CO = 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用 4 （2021· 江苏宿迁市· 九年级二模）如图，在矩形 ABCD 中对角线 AC 、BD 相交于点 F ，延长 BC 到点 E ，使得四边形 ACED 是一个平行四边形，平行四边形对角线 AE 交 交 BD 、CD 分别为点 G 和点 H （1 ） 证明 ：

10、DG 2 FG•BG ； （2 ）若 AB 10 ，BC 12 ，则线段 GH 的长度 】 【答案】（1）证明见解析；（2）GH133 【分析p 】 （1）由已知可证得∠ADG∠∠EBG，∠AGF∠∠EGD，根据相似三角形的对应边成比例即可得到 DG 2 FG•BG； （2）由已知可得到 DH，AH 的长，又因为∠ADG∠∠EBG，从而求得 AG 的长，则根据 GHAHAG 就得到了线段 GH 的长度.【详解】 解：

11、（1）证明：∠ABCD 是矩形，且 AD∠BC， ∠∠ADG∠∠EBG， ∠DG AGBG GE= ， ∠四边形 ACED 是平行四边形， ∠AC∠DE， ∠∠AGF∠∠DGE， ∠AG FGGE DG= ， ∠DG FGBG DG= ， ∠DG 2 FG•BG； （2）∠四边形 ACED 为

12、平行四边形，AE，CD 相交点 H， ∠DH12DC12AB5，ADCE12， 在 Rt∠ADH 中，AH 2 AD 2 +DH 2 ∠AH13， 在 Rt∠ABE 中，AE 2 AB 2 +BE 2 ， ∠AE 2 100+576， ∠AE26， ∠∠ADG∠∠BGE， ∠AG ADGE BE= =12， ∠AG12GE， ∠GE2AG， ∠AG13 _AE263， &a

13、mp;ang;GHAHAG13263133.【点睛】 此题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，正确掌握各知识点并运用解题是关键.5 （20_· 江苏南京市· 九年级二模 ） 如图 ， 在ABCD 中 ，点 点 E 是边 CD 的中点 ， 连接 BE 并延长 ，交 交 AD 延长线于点 F ，连接 BD 、CF.（1 ） 求证 ：CEBDEF ； （2 ）若 AB=BF ，试判断四边形 BCFD 的形状，并证明 【答案】见解析 【分析p 】 (1)、根据平行四边形的性质得出 AF∠BC，从而得到∠AFB∠C

14、BF，∠FDC∠DCB，根据中点得到 BE=EF，从而得出三角形全等； (2)、根据题意得出四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB=CD，根据 AB=BF 得出 BF=CD，从而得出矩形 【详解】 解：（1）证明：∠四边形 ABCD 是平行四边形， ∠AF∠BC ， ∠∠AFB∠CBF，∠FDC∠DCB ， ∠点 E 是 CD 的中点， ∠DE=EC， ∠∠CEB&

15、;ang;∠DEF.（2）四边形 BCFD 是矩形， ∠∠CEB∠∠DEF， ∠BE=EF， ∠DE=EC， ∠四边形 BCFD 是平行四边形， ∠四边形 ABCD 是平行四边形， ∠AB=CD， ∠AB=BF， ∠BF=CD， ∠ BCFD 为矩形 【点睛】 本题主要考查的是平行四边形的性质以及矩形的判定定理，属于基础题型理解性质及判定是解决这个问题的关键 6 （2021· 江

16、苏九年级一模）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF.(1) 求证:AE=CF ； (2) 连接 AF 、CE ，判断四边形 AECF 的形状，并证明 】 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析p 】 （1）根据平行四边形的性质可得 AB=CD，AB∠CD，然后可证明∠ADB=∠CBD，再利用 SAS 来判定∠AED∠∠CFB即可得解； （2）首先根据全等三角形的性质可得，∠AEF=∠CFE，于是 AE&a

17、ng;CF，从而可得四边形 AECF 是平行四边形 【详解】 证明：（1）∠四边形 ABCD 是平行四边形， ∠AB=CD，AB∠DC ∠∠ABE=∠CDF 又 BE=DF， ∠∠ABE∠∠CDF ∠AE=CF （2）∠∠ABE∠∠CDF， ∠∠AEB=∠CFD ∠∠AEF&am

18、p;ang;CFE ∠AE∠CF ∠四边形 AECF 为平行四边形 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 7 （2021· 江苏宿迁市· ） 如图 ，ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ，AE=CF （1 ） 求证 ：BOEDOF ； （2 ）若 BD=EF ，连接 DE 、BF ，判断四边形 EBFD 的形状，并证明你的结论 】 【答案】（1）见解析；（2）矩形，理由见解析 【分析p 】 （1）根据平行四边形的性质得出 BO=D

19、O，AO=OC，求出 OE=OF，根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）先推出四边形 EBFD 是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可 【详解】 （1）证明：∠ ABCD 是平行四边形， ∠ AO CO = ， BO DO = ， ∠ AE CF = ∠ EO FO = 又∠ BOE FOD Ð = Ð ∠ ( ) BOE DOF SAS D D （2）四边形 EBFD 为矩形,理由如下: 如图，由（1）知， OB OD = ， OE OF = ， ∠ EBF

20、D 为平行四边形， 又∠ BD EF = ∠四边形 EBFD 为矩形.【点睛】 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和矩形的判定，得出对角线的数量关系是解此题的关键 8 （20_· 丹东市第六中学中考模拟）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E、 、B、 、D、 、F 在同一直线上，且 且 BE=DF 求证：AE=CF 【答案】证明见解析.【分析p 】 根据平行四边形的对边相等可得 AB=CD，AB∠CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出&ang

21、;ABE=∠CDF，再利用“SAS”证明∠ABE 和∠CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可 【详解】 解：∠四边形 ABCD 是平行四边形，∠AB=CD，AB∠CD， ∠∠ABD=∠CDB.∠180°∠ABD=180°∠CDB，即∠ABE=∠CDF.在∠ABE 和∠CDF 中，∠ AB CDABE

22、 CDFBE DF=Ð = Ð=， ∠∠ABE∠∠CDF（SAS）.∠AE=CF 【点睛】 本题考查平行四边形的性质；全等三角形的判定和性质 9 （2021· 江苏淮安市· 九年级一模 ） 如图 ， 在平行四边形 ABCD 中 ， 作BAD 和BCD 平分线分别交对角线 BD于点 E 、F ，求证：BF DE 【答案】见解析 【分析p 】 由在∠ABCD 中，可证得 AD=BC，AD∠BC，∠BAD=∠BCD，又

23、由∠BAD 和∠BCD 的平分线 AE、CF 分别与对角线 BD相交于点 E，F，可证得∠DAE=∠FCB，继而可证得∠ADE∠∠CBF（ASA），由全等三角形的性质即可得到 BF=DE 【详解】 证明：∠四边形 ABCD 是平行四边形， ∠ADBC，AD∠BC，∠BAD∠BCD ∠∠ADB∠CBD ∠∠BAD、&an

24、g;BCD 的平分线分别交对角线 BD 于点 E、F， ∠∠EAD12∠BAD，∠FCB12∠BCD， ∠∠EAD∠FCB 在∠AED 和∠CFB 中， ADE CBFAD CBEAD FCBÐ = Ð ìï=íï Ð= Ðî， ∠∠AED∠∠CFB（ASA）， ∠BF

25、DE 【点睛】 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质注意证得∠AED∠∠CFB 是证题的关键 10 （2021· 江苏宿迁市· 九年级二模） ） 如图， ， 四边形 ABCD 为平行四边形， ，BAD 的角平分线 AF 交 交 CD 于点 E ，交 交 BC 的延长线于点 F （1 ）求证：BF CD ； （2 ） 连接 BE ，若 若 BEAF ，BFA 60° ，BE 43 ，求平行四边形 ABCD 的周长 】 【答案】（1）证明见解析；（2）24 【分析p 】 （1）根据平行四边形的性质得出 A

26、BCD，AD∠BC，求出∠FAD∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD∠FAB，求出∠AFB∠FAB，即可得出答案； （2）求出∠ABF 为等边三角形，根据等边三角形的性质得出 AFBFAB，∠ABF60°，在 Rt∠BEF 中，∠BFA60°，BE43 ，解直角三角形求出 EF4，BF8，ABBF8，再证得 BC4，即可得出答案 【详解】 解：（1）∠四边形 ABCD 为平行四边形，

27、 ∠ABCD，AD∠BC， ∠∠FAD∠AFB， 又∠AF 平分∠BAD， ∠∠FAD∠FAB ∠∠AFB∠FAB ∠ABBF， ∠BFCD； （2）解：由（1）知：ABBF， 又∠∠BFA60°， ∠∠ABF 为等边三角形， ∠AFBFAB，∠ABF6

28、0°， ∠BE∠AF， ∠点 E 是 AF 的中点，∠ABE=∠EBF=30º， ∠在 Rt∠BEF 中，BF=2EF，又 BE43 ， ∠由勾股定理得：EF4，BF8， ∠ABBF8， ∠四边形 BACD 是平行四边形， ∠ABCD，ADBC，AB∠CD， ∠∠DCF∠ABF60°∠F， &an

29、g;∠ECF 是等边三角形， ∠CEEFCF4， ∠BC844， ∠平行四边形 ABCD 的周长为 8+8+4+424 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解答的关键是判断∠ABF 是等边三角形，进而通过勾股定理解直角三角形等解决问题 11 （2021· 江苏淮安市· 九年级二模 ） 如图 ， 在ABCD 中 ，E 是 是 AB 的中点 ， 连接 DE 并延长 DE 交 交 CB 的延长线于点 F 求证：AD=FB

30、 【答案】见解析 【分析p 】 根据平行四边形的性质得到 AD∠BC，得到∠ADE=∠BFE，利用 AAS 定理证明∠ADE∠∠BFE 即可 【详解】 ∠四边形 ABCD 是平行四边形， ∠AD∠BC， ∠∠ADE=∠BFE， ∠E 是 AB 的中点 ∠AE=BE 在∠ADE 和∠BFE 中， ADE BFEAED BEFAE BEÐ

31、; = Ð ìï Ð= Ðíï=î， ∠∠ADE∠∠BFE（AAS）， ∠AD=FB 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键 12 （2021· 江苏盐城市· 九年级二模）如图，矩形 ABCD 中， 8, 4 AB AD = = ，点 O 是对角线 BD 中点，过点 O 的直线分别交 AB CD 、 边于点 E F 、 ( ) 1 求证：四边

32、形 DEBF 是平行四边形； ( ) 2 当 BD EF 时，求四边形 DEBF 的面积 】 【答案】（1）见解析；（2）20 【分析p 】 （1）根据矩形 ABCD 的性质，判定∠DOF∠∠BOE（ASA），运用四边形 DEBF 两对边平行且相等证明即可； （2）先说明此时，平行四边形 DEBF 为菱形；设 DE=BE=_，则 AE=8-_，结合已知条件运用勾股定理求得 BE的长，最后运用菱形的面积公式求解即可 【详解】 解：（1）∠O 为 BD 的中点 ∠OB=OD 在矩形 ABCD 中， DF&ang

33、;BE ∠∠1=∠2 在∠DOF 与∠BOE 中 1 23 4OB ODÐ = Ð ìï=íï Ð = Ðî ∠∠DOF∠∠BOE(ASA) ∠DF=BE 又∠DF∠BE ∠四边形 DEBF 为平行四边形； （2）∠BD∠EF ∠平行四边形 DEBF 为菱形 ∠DE=BE 设 DE=BE=_ ∠AD=4，AB=8 ∠AE=8_ ∠2 2 24 (8 ) _ _ + - = ∠ 5 _ = ∠DEBF4 5 20 S = ´ =四边形 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等