平面向量知识点复习练习

1、平面向量知识点分类复习深圳明德实验学校刘凯1、向量有关概念：(1) 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常 用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。配合练习1、已知A (1,2), B (4,2),则把向量AB按向量a =(- 1,3)平 移后得到的向量是(2) 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意 的；(3) 单位向量：给定一个非零向量a，与a同向且长度为i的向量叫向量a的 单位向量.a的单位向量是a ；|a|(4) 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传 递性；(5) 平行向量(也叫

2、共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向 量共线或平行，记作：a / b ,规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量 平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合”,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有0):三点A B、C共线=AB> AC共线；(6) 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。 配合练习2、下列命题：(i)若，则a=b。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。(3)若7Bj"DC，则ABCD是平行四边形。(4 ) 若 A

3、BCD 是平行四边形，则 7B=DC。( 5)若 a=b,b=C，则 ac。( 6)若 a/b,b/c , 则ac。其中正确的是2、向量的表示方法：(1) 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；(2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a , b , c等；(3)坐标表示法：a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向 量的坐标与向量的终点坐标相同。提醒：向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同.练习1、(04年上海卷.文6)已知点A(-1,5)和向量：=(2,3)，若忌3；,则点B 的坐标为.(5,14)3、平面向量

4、的基本定理：如果6和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对 该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 !、 2，使a= g+工效,6、e2称 为一组基底.注：这为我们用向量解决问题提供了一种方向：把参与的向量用一组基底表示 出来，使其关系容易沟通.配合练习 3、若=(1,1)=(1,-1),£=(-1,2)，则用 a,b表示c=配合练习4下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A * HD *TA. © =(0,0),62 =(1,/) B. e =(1,2)6 =(5,7)“詁“13C. e =(3,5), 62 =(6,10)D. e' =(2, d)e =

5、(,-)24,配合练习5、已知AD,Be分别是ABC的边BC,AC上的中线，且忌爲,記点，则BC 可用向量a,b表示为.' 配合练习 6、已知 ABC中，点D在BC边上，且 CD=2DB， CD = r AB： sAC， 则r +s的值是'4、 实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方 向规定如下：(1)斶=冲村,(2)当人0时，人a的方向与a的方向相同，当扎0时， a的方向与a的方向相反，当 = 0时， a =0 ,注意： a工0。5、平面向量的数量积：一呻一彳(1) 两个向量的夹角：对于非零向量a , b，作OA=a,OB二b , . AOB&qu

6、ot; 0宀二称为向量a , b的夹角，当二=0时，a , b同向，当二=二时，a , b反向，当二=时，a , b垂直。2提醒：(1)向量的夹角要求这两个向量同起点.(2)角的问题(如三角形内角)可转化为向量的夹角来解.(2) 平面向量的数量积：如果两个非零向量a , b，它们的夹角为,我 们把数量|a |b|cos叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作:a b ,即a b = A： cw。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不 再是一个向量。配合练习 7、 ABC 中，|篇|=3, |疋|=4 , |BC5，则 ABBC二;配合练习 8、已知 a =(1,-),b

7、=(0, -),c =a - kb,d =a -b , c与 d 的夹角为，则 k =2.2 .4配合练习9、已知,=2,&=5掘一3，则l+b等于4 Ju4 44 4 4配合练习10、已知a, b是两个非零向量，且a=|b'='a-b ,则a与 a + b的夹角为 (3) b在a上的投影为|b|cosd，它是一个实数，但不一定大于0。配合练习11、已知|a| = 3 , |bF5，且a 12 ,贝卩向量a在向量b上的投影为(4) a .b的几何意义：数量积a.b等于a的模与b在a上的投影的积。(5) 向量数量积的性质：设两个非零向量a , b，其夹角为贝V： a_b

8、ab=O ; 当a , b同向时,a b =，特别地，J =a*a=|a'当a与b反向时，a.b = ab ；当日为锐角时，a b>o,且ab不同向。.非零向量a, b夹角二的计算公式:cos：=|：活|2|：|。配合练习12、已知aC2),二(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝卩，的取值 范围是配合练习13、已知OFQ的面积为S，且Of' fQR，若1 :S；： 3，则OF, FQ夹角2 2»'yI f .J , J I日的取值范围是练习1、已知a：b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a：3b|=#A Q2 (04年全国卷二.理9)已

9、知平面上直线I的方向向量(一4,3),点o(o,o)和5 5A(1,2)在I上的射影分别是 0和A ,则OAe，其中 = ( D).1111A . B. - C. 2 D2553设平面上有四个互异的点 A、B、C、D，已知(DB DC 2DA) (AB-AC) = 0,则厶Jff*1*ABC的形状是(B)A.直角三角形B.等腰三角形-.iC.等腰直角三角形D.等边三角形6、向量的运算：(1)几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适 用于不共线的向量，如此之外，向量力口法还可利用“三角形法则”：设AB =a, BC =b，那么向量 AC叫做a与b的和，即a AB

10、B AC ;提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到A4 *人2心An/代二人宀(据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点)向量的减法：用“三角形法则”：设忌鳥,訖二b，那么a_b=zs _忌=ca，由减向量的终点指向被减向量的终点。 注意：此处减向量与被减向量的起点相同， 指向被减向量(用向量的减法来引进新的起点或者消去不必要的起点)。向量加减运算的运算结果非0，在移项时要注意.化简： ab+BC+CD=: tBADDC ；容易得出：|a| - | b| W|a_b| a|+| b| .配合练习15、! = C ,贝

11、y | a + b + c | =OB 一 OC = OB OC20A ,/.* ' I(aB_cD)_(AC_BD)=配合练习16、若正方形ABCD的边长为1 ,配合练习17、若0是L ABC所在平面内一点，且满足则L ABC的形状为配合练习18、若叩厶ABC的边BC的中点，=ABC所在平面内有一点P，满 足PA+BF+CP=0，设 导!=九，贝的值为|PD| .配合练习19、若点0是厶ABC的外心，且OA OB 0 =0，则ABC的内角C为练习1、(04年全国卷二.文9)已知向量a、b满足：|a |=1, |b |=2, |l-b |=2, 则 |a b |=().A . 1B .

12、2 C .5 D .62、已知 ABC的三个顶点 A、B、C及平面内一点 P满足pa pb ab ,L 'j .I I则点P与厶ABC的关系为()A.P在厶ABC内部8卩在厶ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点(2)坐标运算：设 a=(X1,yJ,b (X2,y2)，贝乌彳 向量的加减法运算：a-bpx% , %丄y2)。配合练习 20、已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10),若 AP =7B + 入7C(" R),则当人=时，点P在第一、三象限的角平分线上配合练习 21、已知 A(2,3), B(1,4),且£aB =(

13、sin x,cosy) , x, r )，则 x y =-来源网络，仅供个人学习参考配合练习22、已知作用在点A(1,1)的三个力R =(3,4), F2 = (2,5),73 =(3,1)，则合力 F眉F F3的终点坐标是 实数与向量的积: a二碘人, ：冷， %。 若A(X1,yJ, B(X2, y2)，则益二乂:-为皿-，即一个向量的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。配合练习23、设A(2,3), B(_1,5)，且£7B， A=3AB，贝卩C、D的坐标分别3是 彳 平面向量数量积：a X1X<Hy1y2。配合练习 24、已知向量 a =( sinx

14、, cosX ,b =( sinx, sinx) ,c =( 1,o)o(i)若x=，求向量a、c的夹角；(2)若x 一逻二，函数f(x)“a.b的38 4最大值为1，求的值2 .向量的模：| ：|=伙2 y2,扌=心|2 = x2 y2。距离的求法：转化为向量的数量积：a | 二 Ja a =曲2 +yjr .它们的夹角为60 ,那么|a 3b|配合练习25、已知a,b均为单位向量，两点间的距离：若Ah,%活区必)，则| AB|=J(X2为f +皿如丫。配合练习26、在平面斜坐标系xOy中，NxOy=60平面上任一点P关于斜 坐标系的斜坐标是这样定义的：若 OP二xq，ye2 ,其中q,q分

15、别为与X轴、y轴同 方向的单位向量，贝U P点斜坐标为(x,y)。若点P的斜坐标为(2, 2),求P 到O的距离| PO |；7、向量的运算律：(1) 父换律： a b a，咒1丄a =- a , ab=ba ;(2)结合律： a b c = a b c,a -b -c a -lb c , a *b a * b = a b ；(3)分配律：(人 + 4 )a =+ a,人(a + b )=-a + 扎b , (a + b )c = a *c +b c。配合练习27、下列命题中:qT t t tt ttt tt tt t a (b _ c) = a b_ a c ; a (b c) = (a b

16、) c ;(a-b)2 =| a |2 -2 | a | |b | |b |2 ；若护=0，贝卩若 a b =c b,则 a =c a" =a ; © 勢芸;(a a a2T a2T b2斗时2 *2*时 *2(a -b)二 a -2a b b其中正确的是提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等 式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以 -来源网络，仅供个人学习参考一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(bc) = (ab)c，为 什

17、么？&向量平行(共线)的充要条件：(1)向量b'与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= a .实数入是唯一存在的，当a与b'同向时，入>0；当a与b异向时，入<0。旦I b'|入|的大小由a及b的模确定。因此，当a , b确定时，入的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中入的几何意义。I -:. I 若 a = ( Xi, yi ) , b= ( X2, y2),贝y'2 2 a/b二 x$2 -X2yi =0 = (a b) =(|a|b|).(3) a / b = (a b)2 =(|；|：|)2*配合练习28、若向量a=

18、(x,1),b = (4,x)，当x =时a与b共线且方向相同配合练习 29、已知 a=(i,i)b=(4,x),仁，且U/V，则 x=配合练习30、设品=(k,i2)禺耳4砌良三(i0,k)，则k=时，A,B,C共线练习(04年上海卷.理6)已知点A(1,-2)，若向量AB与二(2,3)同向,|AB| = 2 13 ,则点B的坐标为.B(5,4)证明平行问题 通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量平行9、：向 量垂直的充要条件：a _b：= a b = 0= |a b|=|a -b| u X1X2 My? = 0 . 特别地 AB AC AB AC(筒+阖)丄(岡伺)。配合练习31、已

19、知OA十1,2),OB =(3,m)，若OA_OB，则m二配合练习32、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,NB=90。，则点B的坐标是配合练习33、已知：=(a,b),向量n _Lm，且='m'，则m的坐标是 (证明垂直问题 通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量垂直线段的定比分点： - - 1 -配合练习34、若M (-3, -2), N (6, -1),且mp£mn,则点P的坐标为3配合练习35、已知A®。）®3,2 a），直线十与线段AB交于M，且扁川，则a等于10.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连

20、接而成的向量和为零向量，要注意运用；丨 a、b 同向或有 0= |a - b|a| |b| =|a _b|=|a| |b| 一|：|一|：|=|；丄| ;当 lb 不共线（2）ii；i简|2卫_詁| ibi，特别地，当:、b同向或有。_ii；iibiia一；1 ；当a、b反向或有 0：:*4： ：4：<4*斗 4斗i|a| -|b|：|a _b|：|a| |b|（这些和实数比较类似）.33配合练习36、若/ ABC的三边的中点分别为（2, 1）、（-3 , 4）、（-1 , -1 ）, 则/ABC的重心的坐标为 宀打二 PG =1（PA PB - PC） = G 为 ABC 的重心，特别地 PA PB PC =0= P 为 ABC3 的重心； PA PB =PB卩C厶PC PA=