2016年级合肥一中数学竞赛A班选拔试卷(含答案)

1、2016级合肥一中数学竞赛 A班选拔试卷 2016-10-07班级姓名得分一、填空题(共8小题，每题9分，共计72分)1、函数f(x)二，1X,，,2X的值域是BC2、在4ABC中，已知AB=AC,/A=40,P为AB上一点，/ACP=20,则AP3、已知函数 f(x)是定义在(0,依)上的单调递增函数，且f(x)Lf f(x)Mi)=2017x-22016x-2=14、已知实数x、y满足，2017，则x+y=y-32016y-3=-15、已知函数f(x)=2x2+2x-4,g(x)=x2-x+2,集合A=«xfx)w”>.则.|g(x)6、设集合A=x1,x2,x3,x4，x

2、5,其中Xex2<x3<%,若A中所有二元子集的两个元素之和组成的集合为B=3,4,5,|",10,11,13,则集合A=7、一列有限项的数：a1,a2,a3,川，斗，满足任何三个连续项之和均为负数，且任何四个连续项之和为正数，则此数列项数的最大值为.8、方程1+2x'3y=z2的全部正整数解(x,y,z)组成的集合A=.二、解答题(共4题，共计78分)229、(19分)设f(x)=(1xxx+ax+b)的图像关于x=-2对称.(1)求f(x)的解析式；(2)若2WxE3,求f(x)的最大值和最小值第1页共5页2_2_.,一一10、(19分)设f(x)=x53x+

3、196+x-53x+196，求f(1)+f(2)+|十f(5011、（20分）如图所示，已知D、E、F分别为BC、AC、AB三等分点，并且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF.若S咨bc=1,试求Sqr.12、（20分）求证：对于任意的非负整数n, 19M8n +17 是合数.第#页共5页2016级合肥一中数学竞赛A班选拔试试卷参考答案、填空题(每题9分，共72分)1、2、3、4、5、6、7、3,八；：3;1 - .52 .;5；工 3 .33, -3 - 33A = 2,2 2 .;A=1,2,3,5,8.;58、A=(3,1,5),(4,1,7M5,2,17二、解答题9. (1)解法一

4、函数f x =(1- x2)(x2 ax b)的图象关于直线f -1 = f(-3) f(1)= f(-5) 9-3a b = 0 25-5a b =0a = 8b =15一22 一f (x )=(1 -x2)(x2 +8x+15)解法二函数f (x ) = (1 -x2)(x2 + ax+ b)的图象关于直线x = -2对称10分x = -2对称函数y = f(x)的图像向右平移两个单位得到的函数y= f (x-2)的图像关于x = 0对称 f(x-2) =1-(x-2)2(x-2) 2+a(x-2)+b是偶函数5分设g x) = f(x2) = -x4 +(8 a)x3 + (12a b

5、23) x2 +(28 11a + 4b) x + 8a 4bVg( -x) =g(x)8 -a=028 -11a 4b= 0f a = 8解得b =15_22f x = (1 - x )(x 8x 15)10分解法三函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)f(T)=0,f(1)=0f(x)图象关于直线x=-2对称f(-3)=0,f(-5)=02x+ax+b=(x+3)(x+5).a=8,b=15f x =(1 -x2)(x2 8x 15)10分(2)解法一(换元法)由(1)可知fx)：=(1-x2)(x28x15)=-(x1)(x-1)(x3)(x5)=-(x1)(x3)(x-1)(x5

6、)=-(x24x3)(x24x-5)15分令t=x2+4x.xG-2,3,Ate-4,2119分.f(x)=g(t)=-(t3)(t-5)=-t22t15,t1-4,21"X)max=g(1)=16,f(x)min=g(21)=384解法二(求导法)由(1)可知一2.2_._4_3.2_._fx=(1-x)(x8x15)=-x-8x-14x8x15一_3_2_3_2_2f'(x)-4x-24x-28x8-4(x6x7x-2)-4(x2)(x4x-1)令f'(x)=0得Xi=2-、.5,x2=2,必=一2、5二f(x)在(-g,-2-75),(-2,-2十V5)上是增函

7、数,在区间(-2-J5,2),(-2+J5,+8)上是减函数f(x)在二2,-2+75上单调递增，二2+75,3上单调递减又f(-2)>f(3):f(X)max=f(-25)=16,f(x)min=f(3)=-38410.由X2-53x+196=(x4)(x49)90得4£49一10分15分目口0,4MxM49即f(x)=2(x-4)(x-49),x:二4,x4919分f(4)=f(5)=f(49)=0，f(1)f(2).f(50)=f(1)f(2)f(3)f(50)=66011.过E作EM/BC,交AD于MvEC=2AE.EM:CD=1:310分15分EM1DB6EP1=BP6,SABP:SPE=6:1c1c612,S&BE=3SBP=73=72同理S.BCQ=S.CAR=7c21-SPQR=1-3-=-7712.设A(n)=19父8n+17(1)当n=2k(kCN)时A(n)=19父8n+17=19父82k+17=18父82k+(63+1)k+17三0(mod3)此时3|A(n),所以A(n)是合数5分(2)当n=4k+1(kCN)时A(n)=19/84k书+17=13x84k书+39父84k+9m(651)2k+13+4三0(mod13)此时131A(n),所以A(n)是合数10分(3)当n=4k+3(kCN)时A(n)=19父84k书+1