(完整版)《变化率问题与导数的概念》导学案

1、第 1 课时变化率问题与导数的概念a1. 通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念.2. 掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤.3. 通过构建导数概念, 使学生体会极限思想, 为将来学习极限概念积累学习经验.4. 通过导数概念的教学教程 , 使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程 .借助多媒体播放2012 年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10 米跳台冠军的视频 . 上节课我们已经学习了平均变化率的问题, 我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态, 而运动员在不同时刻的运动状态是不同的, 我们需要借助于瞬时速度这样的

2、量来刻画, 那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?问题1: 根据以上情境, 设陈若琳相对于水面的高度h ( 单位 :m) 与起跳后的时间t2状态,那么:(单(1) 在 0 t 0. 5 这段时间里, 运动员的平均速度=.(2) 在 1 t 2这段时间里,运动员的平均速度=.问题 2: 函数 y=f ( x) 从表示 , 平均变化率的公式是x1 到x2 的平均变化率公式是. 如果用x1与增量x问题3: 函数f ( x) 在 x=x0处的瞬时变化率的定义:一般地,函数y=f ( x) 在x=x0 处的瞬时变化率是=, 我们称它为函数y=f ( x) 在 x=x0 处的导数 , 记作 f

3、 ( x0) 或 y,即 f ( x0) =.问题 4: 在导数的定义中 , 对x0的理解是 :x0,0, 但.xk2B.k 1=k2C12D 无法确定.kk.3.(1) 设函数y=f ( x),当 自 变 量 x由 x0变 化 到 x0+x 时 , 函 数 值 的 改 变 量y为.(2)设函数y=f ( x) =3x2,则y=f (1 +x) -f(1)=, =,=, f(1) =.4已知自由下落物体的运动方程是s= gt2s的单位是 m,t的单位是 s), 求 :(.(1) 物体在 t0 到 t 0+t这段时间内的平均速度;(2) 物体在 t 0 时的瞬时速度 ;(3) 物体在 t 0=2

4、 s 到 t 1=2. 1 s 这段时间内的平均速度;(4) 物体在 t= 2 s 时的瞬时速度 .求函数 f ( x) =x3+2x+1 在 x0=1 处的导数 f (1) .考题变式 ( 我来改编 ):第一章导数及其应用第 1 课时变化率问题与导数的概念知识体系梳理问题 1:(1)=4. 05 m/s(2)=- 8. 2 m/s问题 2:问题 3:问题 4:x0基础学习交流1 B2,01,y=f(x+x)-f(x)=f(2.1)-f(2) (212-(220 411)1).x=x= .= .+= . .2. C=a+b x, f( x0) =( a+b x) =a.3. 8s(2 + t

5、) -s (2) =2(2 +t )2- 222=2( t )2+8t ,=(2t+ 8) =8.4. 解:y=2(3 +x) 2+4(3 +x) - (2 32+43) =2(x) 2+16 x,=2x+16,= (2 x+16) =16,即 y| x=3=16.重点难点探究探究一:【解析】(1) y=f ( - 1+x) -f ( - 1) =-( - 1+x) 2+( - 1+x) - - ( - 1) 2+( - 1) =- (x) 2+3x,=-x+3.(2) 因为y=( x22附近的平均变化+ x) - , 所以 =2x + x, 所以 y=x 在 x=x000率为 2x + x.

6、0【小结】 1. 本题需利用平均变化率的定义来解决, 但要注意x 可正、可负、 不可为零 ,y 可正、可负、可为零 .x2 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解, 解题的关键是弄清自变量的增量与.函数值的增量y, 求平均变化率的主要步骤是:(1) 先计算函数值的改变量y=f ( x1) -f ( x0) .(2) 再计算自变量的改变量x=x1-x 0.(3) 得平均变化率=.探究二 : 【解析】当t= 1 时 , s=3t 2+2,s=s( t+t ) -s ( t ) =3(1 +t ) 2+2- (3 +2) =6t+ 3(t ) 2,v=(6 +3t ) =6.当 t= 4 时 , s

7、=29+3( t- 3) 2,s=s( t+t ) -s ( t ) =29+3(4 +t- 3) 2- 29- 3(4 - 3) 2=3(t ) 2+6t ,v=(3t+ 6) =6.物体在 t= 1 和 t= 4 时的瞬时速度分别是6 和 6.【小结】 1.“(6 3t) 6”中, “t0”指t趋近于零 , 即自变量的变化几乎为+=零.2. 求物体瞬时速度的步骤:(1) 设非匀速直线运动的规律 s=s( t ) .(2) 求时间改变t 时的位置改变量s=s( t 0+t ) -s ( t 0) .(3) 求平均速率 = .(4) 计算瞬时速率 : 当t 0时 , v( 常数 ) .探究三

8、: 【解析】由已知得:=2,当 h0,2 h0, - 4h0,=2. 问题 上面的解答遵循导数的定义吗? 结论 没有 , 在导数的定义形式中, 增量x 的形式多种多样, 但是无论增量x 选择哪种形式 ,y 必须保持相应的形式. 即 : f ( x0) =( 其中 a为非零常数 ).于是 , 正确解答为 :=-4=-44 (x0)8=- f=- .【小结】对极限的理解和计算, 也是对导数概念的准确理解. 通过此题可以看出学生是否掌握了导数的概念.思维拓展应用) 2 622620) 2应用一 :20 5x因为y=5(2+ x55(x,+ - =x+所以平均变化率=20+5x.应用二 :(2+ t)

9、-s(2)(2t)2 1221 4t+a(t) 2,s=s=a + - a-= a =4a+at ,=4a,即 4a=8, a=2.应用三 :44-2f ( x) =(3 x2+3x x+x2- 8)=3x2- 8,f (2) =4.=f (2) =4.=f(2) =4.=-=- f (2) =- 2.基础智能检测1. A由平均变化率的定义可知应选A.2. D因为x 可正、可负不可为0, 所以 k1与 k2 大小关系不确定 , 应选 D.3 (1)f(0)-f(x0)(2) 63(x) 26 3x6 6.x + xx+4. 解 :(1)平均速度为=gt 0+ gt.(2) 瞬时速度为= ( gt0+ gt ) =gt .0(3) 由 (1)