整理勾股定理知识点及习题

1、新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2b 2c2 .勾股定理的证明.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾 股定理的 应用 已知直角三角形的任意 两边长，求第 三边在ABC 中，C90 ，则 ca 2b2 ，b c2 a2 ， ac2 b 2 知道直角三角形一边，可另外两边之

2、间的数量关系可运用勾股定理解决一些问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2b2c2，那这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a 2b2 与较长边的平方 c2 作比较，若它们相等时，以a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若a 2b 2c2，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是钝角三角形；若 a 2b2c2，时，以a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中a ， b ， c 及 a 2b 2c

3、2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ， b ， c 满足a2c2b2，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得错误的结论 .

4、勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：CCC30°ABADBBDA10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例.在ABC中，C90 已知 AC6， BC8求 AB的长已知 AB 17， AC 15 ，求 BC 的长分析：直接应用勾股定理 a 2b2c2题型二：利

5、用勾股定理测量长度例 1如果梯子的底端离建筑物9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例题2 如图（ 8），水池中离岸边 D点 1.5 米的 C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是 0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D点，并求水池的深度AC.题型三 ：勾股定理和逆定理并用例题 3如图 3，正方形 ABCD中， E 是 BC边上的中点， F 是 AB上一点，且FB1 AB 那么 DEF是直角三角形吗？4题型四 ：利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4，已知长方形ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点E，将 ADE折叠使点D恰好落在BC边

6、上的点 F，求 CE的长 .题型七 ：关于翻折问题例 1、如图，矩形纸片 ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处，求 BE的长 .题型八 ：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为80 米，假使拖拉机行驶时，周围100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18 千米 /小时，那么学校受到影响的时间为

7、多少？1题型九 ：关于最短性问题例 5、如右图119，壁虎在一座底面半径为2 米，高为4 米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（ 取 3.14，结果保留1 位小数，可以用计算器计算）（ 1）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9 个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？

8、三、课后训练：一、填空题1如图 (1)，在高 2 米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_。5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、 2dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 _A2023B二、选择题 1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A 、25B、 14C、 7D、7或 252Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则 Rt的周长为（）A 、121B、120C、132D、不能确定3如果 Rt两直角边的比为5 12，则斜边上的高与

9、斜边的比为（）A 、6013B、512C、 12 13D、601694已知 RtABC 中， C=90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则 RtABC 的面积是（）A 、24cm2B、 36cm2C、48cm2D、60cm25等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A 、56B、48C、40D、 326某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（）A 、450a 元B、 225a元C、 150a 元D 、300a 元20m30mAED150°第6题图BCF7已知

10、，如图长方形 ABCD 中， AB=3cm ， AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则 ABE 的面积为（）A 、6cm2B 、 8cm2C、 10cm2D、 12cm28在 ABC 中， AB=15 ， AC=13 ，高 AD=12 ，则 ABC 的周长为 A 42B 32 C42 或 32D37 或 339. 如图，正方形网格中的ABC ，若小方格边长为 1，则 ABC 是 （）（ A ）直角三角形 (B) 锐角三角形(C)钝角三角形(D) 以上答案都不对BCA三、计算1、如图， A 、 B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是30

11、0m 和 500m ，两村庄之间的距离为d( 已知d2=400000m2) ，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？BAl【勾股定理】勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即：a 2 b2 c 2 。常见勾股数： 3、4、5； 6、 8、10；5、12、13；8、 15、 17； 7、 24、25。这个一定要牢记于心。考点一：勾股定理的直接应用例 1. 正方形的面积是2，它的对角线长为（）A 、1B 、2C、 22D、2考点二：求第三条边的长例 1 若 Rt ABC 中，C 90 且 c=37,a=12，则 b=（）A、50B、35C、34D、

12、26例 2已知两线段的长为6cm 和 8cm，当第三条线段取时，这三条线段能组成一个直角三角形。 （提示：所给的两条变长不一定都为直角边。）例 3 若一个直角三角形的三边分别为a、 b、c,a2144,b225 , 则 c2（）A、169B 、 119C、169 或 119D、13 或 25考点三：与高、面积有关第7题图2例 1 两个直角边分别是 3 和 4 的直角三角形斜边上的高是例 2 等腰三角形的底边为 10cm，周长为 36cm，则它的面积是 _cm2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、 b、c 满足 a 2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。判断步骤：（ 1）比较 a、 b、c

13、 大小，找最长边； （ 2）计算两条短边的平方和，看是否与最长边的平方相等。例 1 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为 60cm，对角线为 100cm，则这个桌面。（填“合格”或“不合格” ）例 2 试判断：三边长分别是a2b2a2b2ab a b,2() 的三角形是不是直角三角形？【勾股定理习题】一、选择题1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2 倍，则斜边扩大到原来的几倍？（）A、2B 、4C 、3D 、 52、等腰 ABC的底边 BC为 16，底边上的高AD为 6，则腰长 AB的长为（）A10B.12C.15D.20二、填空题1、如果梯子底端离建筑物5m，那么 1

14、3m长的梯子可达到建筑物的高度是_m。2、如图，一圆柱高8cm ，底面半径 2cm ，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程是cmBA4一个零件的形状如图，按规定这个零件的A与BDC 都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。这个零件符合要求吗？CBAD教材过关十八勾股定理一、填空题1.一个直角三角形的三边长是不大于10 的三个连续偶数,则它的周长是 _.2.在 ABC 中, 若 AB=17,AC=8,BC=15, 则根据 _可知 ACB=_.3.一座垂直于两岸的桥长15 米 ,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因

15、,到达南岸后 ,发现已偏离桥南头9 米 ,则小船实际行驶了_米.4.若三角形中相等的两边长为10 cm,第三边长为16 cm,则第三边上的高为_cm.5.如图 8-41,矩形 ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为_cm2 .图 8-41图 8-426.等边三角形的边长为4,则其面积为 _.7.如图 8-42,在高 3 米, 坡面线段距离AB 为 5 米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少需_米 .8.若c13 +|a-12|+(b-5) 2=0,则以 a、b、c 为三边的三角形是 _三角形 .二、选择题9.下列是勾股数的一组是A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,

16、15D.21,28,3510.下列说法不正确的是A. 三个角的度数之比为1 34 的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为34 5 的三角形是直角三角形C.三边长度之比为34 5 的三角形是直角三角形D.三边长度之比为51213 的三角形是直角三角形11.一个圆桶底面直径为24 cm,高 32 cm,则桶内所能容下的最长木棒为A.20 cmB.50 cmC.40 cmD.45 cm12.一职工下班后以50 米 /分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6 分 ,又沿南北马路向南走了19.2 分到家 , 则他的家离公司距离为 _米.A.100B.500C.1 240D.1 000三 13.如图

17、 8-43，在四边形 ABCD 中 ,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm, C=90 ° .(1)求 BD 的长 ; (2)当 AD 为多少时 , ABD=90 °图 8-4414.有一块土地形状如图8-44 所示 , B= D=90 °,AB=20 米,BC=15 米 ,CD=7 米,请计算这块地的面积.15.甲、乙两船上午 11 时同时从港口 A 出发 ,甲船以每小时 20 海里的速度向东北方向航行 ,乙船以每小时 15 海里的速度向东南方向航行 ,求下午 1 时两船之间的距离 .32011 年各地中考数学试题汇编直角三角形与勾股定理一、选择题1

18、.（ 2011 山东滨州， 9， 3 分）在 ABC中 , C=90° , C=72°,AB=10, 则边 AC的长约为 ( 精确到 0.1) （）A.9.1B.9.5C.3.1D.3.54. 如图， ABC中， C=90°， AC=3， B=30°，点 P 是 BC边上的动点，则AP 长不可能是（第 4 题图）（A） 3.5（B） 4.2（C）5.8（D） 76.（2011 河北， 9， 3 分）如图 3，在 ABC中， C=90°， BC=6,D,E 分别在 AB,AC上，将 ABC沿 DE折叠，使点7.A 落在点 A处，若 A为 CE的中

19、点，则折痕 DE的长为（）A1C3D4B 22BDCA'EA图 3二、填空题1.（ 2011 山东德州 13,4 分）下列命题中，其逆 命题成立的是 _（只填写序号）同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；4. 把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、 b，斜边长为c ，那么 a2b2c2 ”的逆命题改写成“如果 ，那么 ”的形式：7.（ 2011贵州安顺， 16，4分）如图，在 Rt ABC中， C=90°， BC=6cm， AC=8cm，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点 C落在 AB边的 C点，那么 ADC的面积是8.（ 2011山东枣庄， 15，4 分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm，则阴影部分的面积是_cm2 .三、解答题1.（ 2011四川广安， 28，10 分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、 8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的