第二章数列极限

1、数学分析课件主讲：高凌云主讲：高凌云暨南大学数学系2014年9月-2015年1月Mathematics Analysis第二章第二章 数列极限数列极限2.1 数列极限的概念2.2 收敛数列的性质2.3 数列极限存在的条件2.1 2.1 数列极限的概念数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、应用数列极限的定义证明数列 极限的方法一、概念的引入一、概念的引入引例 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,

2、, . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势. 2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 1二、数列的定义例如例如;,2,8 ,4,2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xn

3、x2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n1( 1) n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn , 333, 33, 3 数列极限来自实践，它有丰富的实数列极限来自实践，它有丰富的实际背景际背景. .我们的祖我们的祖 先很早就对数列先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念极限的概念 例例1 战国时代哲学家庄周所著的战国时代哲学家庄周所著的庄子庄子.天下篇天下篇引用引用过一句话：过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也也就是说一根一尺就是说一根一尺 长的木棒

4、，每天截去一半，这样的过长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列成一列, 如图所示如图所示, 三、数列的极限（c11(k)c11(k)） 其长度组成的数列为其长度组成的数列为 n21, 024681000.20.40.60.81随着随着n 无限的增加无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。木棒的长度无限的趋近于零。 1nxn1n21031041051061071081091010101110nxO1n21031041051061071081091010101110nxOnxn11nnxOnnxOnxnnx

5、nnx) 1(nO101112131415161718192021202122232425262728293031303132333435363738394041n11目标不惟一！ 例如 当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为axnnlim. v数列极限的通俗定义11limnnn021limnn1) 1(lim1nnnn11limnnn, 021limnn, 1) 1(lim1nnnn. .)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观

6、察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时

7、的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1n

8、xnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:,1001给定给定,10011 n由由,100时时只只要要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xna|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意小的正数.分析 因此, 如果 n

9、增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a. 当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则数列xn收敛a. 下页v数列极限的精确定义 设xn为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正数 , 总存在正整数N, 使得当nN 时, 不等式 |xna |NAAnxn目的：AxANnNAxnnn ,0lim时，有使得自然数要找到一个NAAA 越来越小，N越来越大！nxn数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0

10、 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：分析: 例1例 1. 证明1) 1(lim1nnnn. 证明 |xn1|nnnn1| 1) 1(|1, 所以1) 1(lim1nnnn. 证证明明 因为 0, 证证明明 因为 0, 1NN, 当 nN 时, 有 N, 当 nN 时, 有 axnnlim 0, NN, 当nN时, 有|xna| . 对于 0, 要使|xn1| , 只要|xn1|nnnn1| 1) 1(|1. 0, 要使|xn1| , 只要n1, 即1n. 利用定义验证数

11、列极限，有时遇到的不等式利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xna|不易考虑，往往采用把不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标的不等式去寻找项数指标N放大的原则：放大的原则： 放大后的式子较简单放大后的式子较简单 放大后的式子以放大后的式子以0为极限为极限例例 2 证明证明1lim22 nann证明证明1|1|22 nanxn)(222nanna nan21 )1(22 naan则则若若0 故故 ,1max2aN 则当则当n N时，有时，有nannan22211

12、 n11lim22 nann例例3. 证证明明 分析，要使分析，要使 （为简为简化，限定化，限定 n只要只要 证证. 当当 n N 时有时有由定由定义义 适当予先限定适当予先限定 nn。是允。是允许许的！但最后取的！但最后取 N 时时要保要保证证nn。343lim22nnnnnnn1241234322212n33,12max, 0N取nnnn12412343222343lim22nnn. 例例4.证证明明 （K为为正正实实数）数）证证：由于：由于 所以对任意所以对任意0，取，取N= , 当当 nN时时, 便有便有 01limknnkknn101k11 01kn01limknn例例5.lim),

13、(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任任给给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例6. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,

14、lnlnqn 例例7.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时时恒恒有有使使得得当当axaxaxnnn 从从而而有有aaxn a1 由上面数列极限的证明可总结出数列由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤极限证明的步骤：aan2 2 适当放大适当放大 aan，通常放大成，通常放大成 nMaan的形式的形式nM， 求出需要的求出需要的 N 1 化简化简 3 3 解解 w总结总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清

15、庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。 四四 收敛的否定收敛的否定: aannlim数列 na发散 000,0,naNaa 0nN,有0000,nNaa 0nN , 有五五 数列极限的记註数列极限的记註:1 满足条件满足条件 “ ”的的数列数列: 。2 axNnNan , 0 , , limnnnaaa 改变或去掉数列的有限项改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的不影响数列的收敛性和极限收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性重排不改变数列敛散性:3 数列极限的等价定数列极限的等价定义义: ) 0( , , , , 0 :1kkaaNnNnD :2D对对0, c

16、3:D 对对任正整数任正整数.1 , , ,maaNnNmn , , , nNn Naa 六六 无穷小数列无穷小数列: 定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0） nxnxn命题1. 的极限为n 是无穷小量. 0axyaxnnn)(nnyaxaa变量有极限的充要条件为它可分解为加一个无穷小量。命题200nnxx无穷小量加绝对值仍为无穷小量。 命题30, 0nnnnyxMyx无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。命题42.2 收敛数列的性质1、唯一性、唯一性2、有界性、有界性3、保号性、保号性4、保不等式性、保不等式性5、四则运算、四则运算6、迫敛性、迫敛性7、子数列

17、的收敛性、子数列的收敛性1、唯一性、唯一性定理定理2.2 2.2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得., 021NN ;1 axNnn时时恒恒有有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.2、有界性、有界性例如例如,;1 nnxn数数列列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,M

18、M 上上.有界有界无界无界定理定理2.3 2.3 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .例例1.)1(1是发散的是发散的证明数列证明数列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成成立立有有时时使使得得当当则则 axNnNn

19、),21,21(, aaxNnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.,1, 1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但但却却发发散散是是有有界界的的事事实实上上nx0axn20baaxn0byn20babyn2|baaan从而 22babaaan定理2.6 (收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0), 那么存在正整数N, 当nN时, 有xn0(或xn0).推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0), 且数列xn收敛于a, 那么a0(或a0).nxnxnx证证,azaynn使使得得, 0, 0,

20、 021 NN ( 双逼原理双逼原理 ),1 ayNnn时恒有时恒有当当,2 azNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取上两式同时成立上两式同时成立, ayan即即, azan恒恒有有时时当当,Nn , azxyannn,成成立立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnn

21、nn6 绝对值绝对值收收敛敛性性: . lim ,limaaaannnn ( 注意反之不成立注意反之不成立 ). .0 lim ,0limnnnnaa 推论推论 设设数列数列 na 和和 nb 收收敛敛, 则则 .lim , lim min , min lim, lim , lim max , maxlimnnnnnnnnnnnnnnbabababa7数列极限的四则运算法则 (1)BAyxnnn)(lim (2)BAyxnnn)(lim (3)当0ny(n1, 2, )且 B0 时, BAyxnnnlim. 定理2.8 设有数列xn和yn. 如果Axnnlim, Bynnlim, 那么例例4

22、求求lim(1)nnnnli m1nnnaa 例例4 求求解：解： 分 a=1， |a|1 三种情况 解解：（分子有理化）1010limmmknka na nab nb nb例例3 求求8、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的子数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .kkknnnnkkxxkxxnnk在子数列中，一般项是第 项，而在原数列中却是第项，显然，注意：注意：例

23、如，例如，定理定理7 7 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同同证证 的的任任一一子子数数列列是是数数列列设设数数列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .kKNnnnN. axkn.limaxknk 证证毕毕例例4对于数列对于数列xn )(2 kaxk若若)(12 kaxk)( naxn则则证证0 知知由由axkk 2lim时，有时，有使当使当11,KkK |2axk知知再由再由axkk 12lim时时，有有使使当当22,KkK |12axk12 ,2max21 KKN取取时时则则当当Nn

24、11222KmKmmn 则则若若此时有此时有 |2axaxmn22121212KmKmmn 则则若若此时有此时有 |12axaxmn总之：总之：0 N 时时使使当当Nn 恒有恒有 |axnaxnn lim即即)(),()(| naxqpaNBABqxApxxnqpn则则趋趋于于同同一一极极限限值值其其中中与与：若若子子数数列列对对数数列列Th ( 数列收数列收敛敛充要条件充要条件 ) na 收收敛敛 naTh ( 数列收数列收敛敛充要条件充要条件 ) na 收收敛敛 子列子列 12 na 和和 na2收收敛敛于同一极限于同一极限. 的任何子列收敛的任何子列收敛 于同一极限于同一极限.Th (

25、数列收数列收敛敛充要条件充要条件 ) na 收收敛敛 子列子列 12 ka、ka23ka都收都收敛敛. 和和 思考题思考题指指出出下下列列证证明明1lim nnn中中的的错错误误 证明证明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn从而由从而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N当当 时，必有时，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考题解答思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式实际上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即

26、证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值nnln从而从而 时，时，2ln)1ln( Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分条件的充分条件)1ln(ln nn反而缩小为反而缩小为n2ln2.3 数列极限存在的条件一 数列收敛的一个充分条件数列收敛的一个充分条件 单调有界原理单调有界原理 二二 数列收敛的充要条件数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则收敛准则三三 关于极限关于极限 四 数列数列 单调有界证法欣赏单调有界证法欣赏 :11limennnnn11一一 单调有界原理单调有界原理定义定义 称为单调上升的，若 nxnxxxx321nx称为单调下降的，若 nxx

27、xx321 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？Mv定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限. 定理1的几何解释x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以单调增加数列为例, 数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A, 而对有界数列只可能后者情况发生. 数列极限存在的条件数列极限存在的条件定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限. .为有上界的递增数列不妨设na .sup,nnaaa记有上界数列由确界原理 .的极限就是下证naa ., 0NnNaaaa，使得按上确界定义事实上证明 .,nN

28、naaaNna时有当的递增性又由 .,aaaaaannn都有故的一个上界是而.aaaNnn时有所以当.limaann即.数列必有极限同理可证有下界的递减例例1 设 ). 2 ( ,131211nan证明数列 收敛. na例例2 例例3 222 , ,22 ,221naaa(n重根号), 证明数列 na单调有界, 并求极限. .21 .0 ,011nnnxaxxxa求 .limnnx( 计算 a的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).解 由均值不等式, 有 nnnxaxx21 1 .nnnxaxax有下界; 注意到对 , n有 ,axn有 nnnnxaaxaxx . 1) (121121221 , .l

29、imaxnn例4 1）证明序列 nnxnln131211的极限存在； 2）求极限 1)1(31211lim1nnn解解 1） 因 1x时有 xxxx)1ln(1) 0( x所以 kkk1)11ln(11）， 21(k即有 nknknnnnknkx110ln) 1ln(ln)11ln(ln1011)11ln(11ln) 1ln(1nnnnnxxnn故序列 nx下降。因此序列极限存在，记极限值为c。于是 nkncnk1ln1这表明序列 nx有下界。又 或 nknnck1ln1)0lim(nn2） 因 nnnnnknknkkncnckkk221212112lnln)2ln(2121) 1(所以 2l

30、n) 1(lim211nkknk又 2ln) 1(lim1211nkknk即得 2ln) 1(lim11nkknk例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显显然然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx二二 数列收敛的充要条件数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则收敛准则1 Cauch

31、y列：列： 如果数列 na具有以下特性：0,0:,nmNn maa则称数列 na是一个基本数列.（ Cauchy列）列）2 Cauchy收敛准则：收敛准则：定理 数列 na收敛的充要条件是： na是一个基本数列.数列 na收敛 0, , , , .mnNm nNaa 0, , , p, . n pnNn Naa N或定定理理（柯柯西西收收敛敛准准则则）数列 nx收敛的充分必要条件 是0，N，当Nmn ,时，有mnxx。证证明明：必要性。则0，NN，Nn ，Nm 时，若 nx收敛于a，设axnnlim，有2axn，2axm， 故22axaxxaaxxxmnmnmn。充 分 性 的 证 明 从 略

32、 。 柯西收敛准则也可叙述为 数列 nx收敛0，NN，Nn时， Np，有npnxx。 柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中充分远（即n充分大）的任意两项的距离能够任意小。柯西收敛准则的优点在于它不需要借助数列以外的任何数，只须根据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性。数列极限存在的条件定理的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.x1 x2 x3 x4 x5 例例5 证明: 任一无限十进小数 1 20. (01)nbbb 的不足近似值所组成的数列11

33、21222, , , , 1010 1010 1010nnbbbbbb收敛. 其中 ( 1,2,9 )ibi 是0,1,9中的数. 证证 令 na 122 , 10 1010nnbbb有 121211 1010109111101010n pnnn pnnnn pnpbbbaa1910n1 (0.1)1111 (0.1).1 0.11010ppnnn 证明：Npn,，有pnnnnpnpnnnxx2)sin(2)2sin(2) 1sin(21)2121211 (2121212112121pnpnnn.21)211 (21211211211npnpn 0，1log2N， Nn时，有npnxx。 数列

34、 nkknkx1 2sin收敛。证证明明：已知数列 ns收敛，根据柯西收敛准则，0，NN，Nn时，Np，有1111pnnnnpncccss，1121pnpnnnnnxxxxxx11pnnnccc，数列 nx也收敛。nnnpnpnpnxxxxxx1111三三. 关于极限关于极限 1lim 1:nnen( 2.71828 )e（证明留在下段进行.） 例例8 11lim 1, lim 1. n kknnnnn例例9 311lim 1, lim 1, lim 1.2n knnnnncnnn例例1023lim.21nnnn四四 数列数列 证法一证法一11nn单调有界证法欣赏单调有界证法欣赏: Cauchy (17891857 ) 最先给出这一极限，Riemann（18261866）最先给出以下证法一.设 11.nnxn用二项式展开，得 111 11!nkn nn kxnnkn (1)3 2 1 1!nn nnn 1111211211 11111112!3!nnnnnnnn 11112!nx111211113!11nnn1(1)!n111;11nnn注意到 11