概率论与数理统计10大案例

案例1：概率——上帝的指引我是一个有选择恐惧症的人，遇到难以决断的事，就会抛硬币来决定，认为这样做更接近“上帝的指引”。比如我会在心里默念，我的概率论与数理统计会不会挂科？然后，告诉自己，如果数字的那面朝上就会挂科。接着，我把一枚硬币抛向天空，忐忑地等待它落下。结果令人沮丧：数字朝上！如果我继续不厌其烦地抛那枚硬币，抛了1000次，我会惊讶地发现数字和菊花出现的次数都大约为500次。这就意味着，上天给我的指引其实是十分中立的：你挂科或者不挂科的可能性各占一半。原来这就是随机性中暗含的规律性。而这种规律性就量化为概率。案例2：三门问题三门问题（MontyHallproblem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（MontyHall）。这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门参赛者赢得汽车的机会率？分析：首先我们要把这个问题转化为一个数学问题。参赛者换门的话，他赢得汽车取决于一开始选定的是后面有汽车的门还是后面是山羊的门。不妨设A表示参赛者赢得汽车，B表示他选定的是后面有汽车的门，那么表示他选定的是后面有山羊的门，由于参赛者随机选定一扇门，所以如果他换另一扇门，则画出概率树帮助分析题目，显然要求出A参赛者赢得汽车的概率，需要考虑B和两种情况，故用全概率公式解。解：故换另一扇门参赛者赢得汽车的机会率，也就说换另一扇门参赛者赢得汽车的概率比不换门参赛者赢得汽车的概率要大。案例3：“狼来了”故事中小孩的可信度模型贝叶斯分析作为一个统计学的基本流派，对机器学习及各种用概率决策的领域具有重大影响，甚至作为理解人类智能的一种基本框架。总的来讲，贝叶斯定律通过先验和条件概率的结合，可以综合已有过往人类对一个领域的知识和更新的数据，来不停改进人类的认知。简单说就是，某人的行为会不断修正其他人对他的看法，贝叶斯不仅是一种方法论，更是一种世界观.下面利用贝叶斯公式解释“狼来了”的故事中小孩的可信度的变化。《伊索寓言》中有一则“孩子与狼”的故事，讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没.第一天，他在山上喊“狼来了！狼来了！”，山下的村民闻声便去打狼，可到了山上，发现狼没有来；第二天也如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两天他说了慌，人们不再相信他了.试用贝叶斯公式来分析此寓言中村民对这个小孩的可信度是如何下降的.分析：这题分两个方面，一是小孩，二是村民.小孩有两种行为：一是说谎，二是不说谎.村民有两种行为：一是认为小孩可信，二是认为小孩不可信.把本问题转化为数学问题：先设事件:A表示小孩说谎，B表示小孩可信不妨设过去村民对这个小孩的印象是用贝叶斯公式计算当小孩说谎后村民对这个小孩的可信度的改变时要用到即“可信的孩子说谎”的概率与“不可信的孩子说谎”的概率，在此不妨设.第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎，村民根据这个信息，将这个小孩的可信程度改变为：这表明村民上了一次当后，对这个小孩可信程度由原来的0.8调整为0.444，也就是将村民对这个小孩的最初印象调整为.在这个基础上，我们再用贝叶斯公式计算，即这个小孩第二次说谎之后，村民认为他的可信程度改变为：这表明村民经过两次上当后，对这个小孩的信任程度已经由最初的0.8下降到了0.138，如此低的可信度，村民听到第三次呼叫时，怎么再会上山去打狼呢？这个例子对人来说有很大的启发，“某人的行为会不断修正其他人对他的看法”，所以贝叶斯公式的本质是利用样本信息不断修正先验概率的过程。案例4：伯恩斯坦反例如果三个事件A，B，C满足两两独立，即P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C)，那么一定有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立吗？事实上，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立。数学家伯恩斯坦提出一个反例，如下：一个均匀的正四面体,其第一面染成红色，第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A,B,C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C是否两两独立?并验证P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立？解：由于在四面体中红、白、黑分别出现有两个面,因此又由题意“这个四面体同时出现红、白颜色朝下只有第四面朝下”，同理“这个四面体同时出现白、黑颜色朝下也只有第四面朝下”，“这个四面体同时出现黑、红颜色朝下也只有第四面朝下”，有，故则三事件A,B,C两两独立.但是，所以。因此如果三个事件A，B，C满足两两独立，即P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C)，那么P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立。案例5：设A，B为随机事件，且令求：（1）二维随机变量(X,Y)的概率分布律；（2）X与Y的相关系数解：由题意，二维随机变量(X,Y)所有可能取到的数偶为：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),它们分别对应于，由已知则即所以(X,Y)的概率分布律XY0102/31/1211/61/12(2)X的概率分布律X01P{X=k}3/41/4Y的概率分布律Y01P{Y=j}5/61/6则案例6：设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度：求：（1）常数A；（2）关于X和关于Y的边缘概率密度函数，验证X与Y是否独立？（3）Z=X+Y的概率密度函数；（4）验证X与Y是否相关？解：（1）利用概率密度函数的性质，即，（2）由，知。故同理由知，X与Y不独立。（3）由于X与Y不独立，故不能用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度，用一般公式。当上式被积函数时有意义，故，即，如图使用公式时，x为积分变量，z为常数，把z的值固定去确定x的积分限，如下图得（4）故X与Y相关。案例7：已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且，设。求：（1）Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)，以及Z服从什么分布;(2)X与Z的相关系数；（3）问X与Z是否相互独立？为什么？解：（1）由正态分布的线性组合性知：（2）X，Y都服从正态分布，且Z也服从正态分布，由（2）题知，所以X与Z相互独立。案例8：水房拥挤问题假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？（2）至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则X～B（5000，0.01）由于n=5000（充分大），p=0.01，由棣莫弗-拉普拉斯定理知：拥挤的概率是（2）设至少要装m个水龙头，使得，，，需装62个水龙头。案例9：抽样——“捉放法”估计鱼苗成活率肖博士从农业学院毕业后放弃了研究所的安逸工作，毅然决然回老家创业，承包了村里的鱼塘，雇佣了很多乡亲挖鱼塘养鱼。春天的时候，肖博士撒下2万条鲫鱼苗。鱼苗并非都能成活，取决于养殖环境和方法。过了一段时间，肖博士决定看看鱼苗有多少存活了下来。于是，他采取了“捉放法”来估算现在鱼塘里有多少鱼。肖博士的解决方法是:从鱼塘中捉400条鱼并做好特殊标记。把做好标记的鱼再放回鱼塘。过一周后，从鱼塘中捕捉800条鱼，发现其中有30条是做了标记的。查看第二次捕捉的全部鱼中多少是做过标记的，根据这个比例估算出鱼塘中鲫鱼的数量，从而算出鱼苗的成活率。解：设肖博士鱼塘中有x条鱼存活下来，第一步中，第一次被捕捉的400条鱼全部被做上标记，并放回鱼塘，此时，鱼塘中有标记的鱼的比例是。第三步中，第二次被捕捉的800条鱼可看做一个简单随机样本，其中有标记的鱼的比例是，这个比例（随机样本中）和在总体中