8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

1、温馨提示:此套题为 Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五十二)一、填空题1. (2013 宿迁模拟)圆心为(1 , 1)且与直线x+y=4相切的圆的方程为 .2. 已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为.3. 若圆x2+y2=t2与圆x2+y2+6x-8y+24=0外切，则正数t的值是.4. (2013 常州模拟)圆 x2+y2-2x+4y-4=0 与直线 2tx-y-2-t=0(x R)的位置关系是.5. 与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12

2、x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.6. 设O为坐标原点，C为圆(x-2) 2+y2=3的圆心，且圆上有一点 M(x,y)满足OMCM=o,贝 yy =.x7. (2013 南通模拟)已知圆O: x2+y2=5和点A(1 , 2)，则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 .8. 从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为9. (能力挑战题)若圆(x-3) 2+(y+5)2=r2上有且仅有两点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则半径r的取值范围是.10. 若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5

3、=0在第一象限内的部分有交点，贝S k的取值范围是.、解答题2211. 已知圆O的方程为x+(y+1) =6,圆O的圆心坐标为(2 , 1).若两圆相交于A, B两点，且AB=4求圆Q的方程.12. 已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线I，使以I被圆截得的 弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.13. (2013 南京模拟)已知直线l1： 3x+4y-5=0 ,22圆 Q: x +y=4.(1)求直线l1被圆Q所截得的弦长. 如果过点(-1,2)的直线I2与I1垂直，I2与圆心在直线x-2y=0上的圆M相切， 圆M被直线I1分成两段

4、圆弧，其弧长比为2 : 1，求圆M的方程.14. (能力挑战题)已知圆O的方程为x2+y2=1，直线I1过点A(3, 0)，且与圆O相 切.(1)求直线I1的方程. 设圆O与x轴交于P, Q两点，M是圆O上异于P, Q的任意一点，过点A且 与x轴垂直的直线为12,直线PM交直线I2于点P',直线QM交直线I2于点Q'.求证：以P Q'为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标.答案解析1. 【解析】 设圆的标准方程为 (x-1) 2+(y-1) 2=r2(r>0) ,且与 x+y=4 相切,72二圆的方程为(x-1) 2+(y-1) 2=2.答案：(x-1) 2+(y

5、-1) 2=22. 【解析】直线x-y+仁0,令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即0 3=血,所以圆C的方程为(x+1) 2+y2=2. V2答案：(x+1) 2+y2=23. 【解析】圆x2+y2+6x-8y+24=0的方程可化为(x+3) 2+(y-4) 2=1,圆心坐标为(-3,4)，半径为1, 二 J( -3 _0 f +(4 _0 )2 =1+t,t=4.答案：44. 【解析】圆方程可化为：(x-1) 2+(y+2) 2=9,圆心到直线的距离为二直线与圆相交.OB=OA-Fr 2=22，

6、由OA与x轴正半轴成45°角, B(2,2),二方程为(x-2) 2+(y-2) 2=2.22答案：(x-2) +(y-2) =26. 【解析】v OMjCM=O,. OMLCM OM是圆的切线，设OM勺方程为y=kx.由“3，得k二3,即y=3.x答案：x37. 【解析】v点A(1, 2)在圆x2+y2=5上,二过点A与圆O相切的切线方程为x+2y=5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，5，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为 竺.24答案：2548. 【思路点拨】作出图形，利用几何法求解.【解析】如图，圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+(y-6) 2=9,圆心坐标为(0，

7、6)，半径为3.在Rt OBC中可得：/ OCB=, / ACB，二所求劣弧长为332 n .答案：2n9. 【解析】由圆的方程得圆心(3 , -5)，圆心到直线4x-3y-2=0的距离d4 33 _52、5, v圆上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2=0的距离等于1, &2 +(3)2r 1>5,J r1 v5. 4v r v 6.答案：(4,6)【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是.【解析】画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,该圆的半径为2，即圆心0

8、(0，0)到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即0< - <1,13-13<c<13.答案：(-13,13)10. 【思路点拨】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，并令圆方程中x=0, 求出对应的y值，根据y值设出A(0,苗)，由题意知0vkvk“A从而解出k的取 值范围.【解析】把圆的方程化为标准方程得：(x+2) 2由"6,得乙+y2=9,二圆心坐标为(-2,0),半径r=3.令x=0,则y=、5.设A(0,5).又M(-1,0),二kMA=、5.又t直线过第一象限且过(-1,0)点， k>0.又直线与圆在第一象限内有交点，二kv kM

9、/=,5, 则k的取值范围是(0 ,5).答案：(0,5)11. 【解析】设圆Q的方程为 (x-2) 2+(y-1) 2=r2(r>0).圆 O 的方程为 x2+(y+1) 2=6,2直线AB的方程为4x+4y+r -10=0.圆心O到直线AB的距离d=r2 -14 r2-14= 8,r 2=6或 22.2 2 2 2故圆 O 的方程为(x-2) +(y-1) =6 或(x-2) +(y-1) =22.【方法技巧】求解相交弦问题的技巧把两个圆的方程进行相减得：x 2+y2+Dx+Eiy+Fi-(x 2+y2+Dx+Ey+F2)=0,即(Di-D2)x+(E i-E2)y+(F i-F2)

10、=0我们把直线方程称为两圆 G, G的根轴，当两圆0，G相交时，方程表示两圆公共弦所在的直线方程；当两圆0, 02相切时，方程表示过圆 0,02切点的公切线方程.12. 【解析】假设存在斜率为1的直线I满足题意，则0从OB.设直线I的方程是y=x+b,其与圆0的交点A B的坐标分别为A(xi,y i),B(x 2,y2),则 yLyi=-1,即 X1X2+y1y2=0 x1 x2由x +y _2x + 4y_4 = 0,消去 y 得：2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,1 2 X1+X2=-(b+1),x %二(b +4b-4)2y1y1=(X1+b)(x 2+b)=X1X2+b(X1

11、+X2)+b= l(b2+4b-4)-b 2-b+b2二丄(b2+2b-4)2 2把式代入式，得b2+3b-4=0，解得b=1或b=-4,且b=1或b=-4都使得 =4(b+1)2-8(b 2+4b-4)>0成立.故存在直线I满足题意，其方程为y=x+1或 y=x-4.13. 【解析】(1)圆心O到直线l1的距离d3l= 1圆0的半径r=2,所以半弦长为3.故直线li被圆0所截得的弦长为2、. 3.因为过点(-1,2)的直线12与li垂直，直线li的方程为3x+4y-5=0，所以直线12的方程为4x-3y+10=0.设圆心M的坐标为(a,b)，圆M的半径为R,则a-2b=0,因为圆M与直

12、线12相切，并且圆M被直线li分成两段圆弧，其弧长比为2： 1,所以 4"b Jr严 4"I丄r.2所以|4a-3b+1052 l3a 4515可得 4a-3b+10=2= (3a+4b-5)或 4a-3b+10二 -2 = (3a+4b-5).即 2a+11b-20=0，或 2a+b=0.由联立，可解得a=8 ,b= 4.33所以R=°,故所求圆M的方程为(x- 8)2+(y- 4)2=型.3339由联立，可解得a=0,b=0.所以R=2,故所求圆M的方程为x2+y2=4.综上，所求圆M的方程为：(x- 8)2+(y- 4)2=空或x2+y2=4.33914. 解析】(1) 直线11过点A(3, 0)，且与圆C:x2+y2=1相切，设直线h的方程为y=k(x-3)(斜率不存在时，明显不符合要求),即kx-y-3k=0,则圆心O(0, 0)到直线11的距离为d=3>k =1,解得k=土眨,二直线|1的方程为y二土匝(x-3).Uk2 +144 对于圆方程x2+y2=1,令 y=0,得 x二 1,故可令 P(-1 , 0) , Q(1, 0).又直线12过点A且与x轴垂直，二直线12的方程为x=3,设M（s,t），则直线PM的方程为 八丄（x+1）.s+1X =3