(完整版)小学奥数平面几何五大定律

1、金钥匙小学六年级奥数复习资料第4页共27页小学奥数平面几何五大定律教学目标：1. 熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等;两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比;如右图S1 :S2 a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SACD SBCD ；反之，如果SaacdSa bcd，则可知直线 AB平行于CD .等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四

2、边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比. 如图在 ABC中，D,E分别是AB, AC上的点如图 （或D在BA的延长线上,AC）:（AD AE）E在AC上),则 SA ABC : SA ADE(AB图图三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）： S ：S2S4 : S3 或i者 Si S3 S2 S4 AO : OCSiS2 : S4S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三

3、角形相联系；D另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:2 2 S1 :S3 a : b S1 : S3: S? : S4 a2 : b2 : ab : ab ；2 S的对应份数为 a b .（二）沙漏模型四、相似模型（一）金字塔模型 AD AE DE AB AC BC S ADE:ABCAF ；AG ；AF2： AG2 .所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于

4、它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、燕尾定理在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一点 0 ,那么S abo : S aco BD : DC . 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的

5、三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径典型例题【例1】 如图，正方形 ABCD的边长为6, AE 1.5, CF 2.长方形EFGH的 面积为.G【解析】 连接DE , DF ,则长方形EFGH的面积是三角形 DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，Sa def6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5,所以长方形 EFGH 面积为 33.金钥匙小学六年级奥数复习资料【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?【解析】【例2】【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形

6、面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接 AG .（我们通过 ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.1-AB AB边上的高，2在正方形ABCD中，Sa ABG1 Sa abg-Swabcd （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半2同理，Sa=GB .2正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形ABCD的面积为 36 cm2 , E、F、 是多少？解法一：寻找可利用的条件,可得：Sehb 2 s2AHB、即 S EHB S BHF S DHG而 S EHB S BHF S DHG所以阴影部分的面积是:解法

7、二：特殊点法找长方形的宽 8 8 10 6.4（厘米）.G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积连接 BH、HC,如下图:S FHB2(S2S2CHB 、AHB S CHBS 1SDHG2S ) 1CHD小2DHC , 而Sab CD36 18 ；S AHB S CHB S CHD36S阴影S EBF , S EBFS阴影18 S EBF1-BE BF218 4.513.51(2AB)11(BC) 364.5 .28H的特殊点，把H点与D点重合,那么图形就可变成右图:金钥匙小学六年级奥数复习资料这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：S阴影SaBCDS AED1111

8、111S bef S cfd 36363636 13.5 .2222222【巩固】在边长为 6厘米的正方形 ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分 别与P点连接，求阴影部分面积.第45页共27页【解析】P点与A点重合，则阴影部1 1-和-，所以阴影部分的面46（法1 ）特殊点法由于 P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的2 1 1积为6（-）15平方厘米.4 6（法2）连接PA、PC .由于PAD与PBC的面积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和1 1等于正方

9、形 ABCD面积的1，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,462 1 1 所以阴影部分的面积为 62 （-丄）15平方厘米.4670, AB 8 , AD 15，四边形EFGO的面积【例3】 如图所示，长方形 ABCD内的阴影部分的面积之和为 为【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形 AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.1由于长方形 ABCD的面积为15 8 120，所以三角形 BOC的面积为120 -30，所以三角形 AOE和43DOG的面积之和为12070 20 ;41 1又三角形

10、 AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120- -30 ,所以四边形 EFGO的面积为30 20 10.另解：从整体上来看，四边形 EFGO的面积 三角形AFC面积 三角形BFD面积 白色部分的面积， 而三角形AFC面积 三角形BFD面积为长方形面积的一半， 即60,白色部分的面积等于长方形面积减 去阴影部分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为 60 50 10 .【巩固】如图，长方形 ABCD的面积是36, E是AD的三等分点， AE 2ED，则阴影部分的面积为【解析】如图，连接0E 根据蝴蝶定理，ON : NDS COE : S cde12Scae：Scde 1:1，所以

11、 Soen1Ss OED2【例4】【解析】【例5】【解析】OM : MA又 S OEDS BOE : S BAE1S :Ss BDE : s BAE211:4，所以 S OEMS OEA 51 1s34 S矩形 ABCD3 , S oea2S OED 6，所以阴影部分面积为:162.7 5已知ABC为等边三角形, 求阴影五边形的面积.面积为400, D、E、F分别为三边的中点， 已知甲、 （丙是三角形HBC）乙、丙面积和为143,因为D、E、F分别为三边的中点，所以 DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平 行，根据面积比例模型，三角形 根据图形的容斥关系，有S abcABN和

12、三角形AMC的面积都等于三角形S丙S ABN S AMCSAMHN ,即400又S阴影SW200 200 SAMHN，所以S丙SamhN S ADFs& SAMHN，所以缶影 S甲 S乙 囱 s ADF已知CD如图，右边部分面积是5 ,65,ABC的一半，即为200 143 - 400 434DE 7 , EF 15, FG 6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,那么三角形 ADG的面积是 GG连接AF , BD 根据题意可知，CF 5 7 15 27; DG15 $12S CBF , S BECS CBF , S AEG27'27所以，S BEF7 15 628;

13、217_S ADG , S AEDS ADG ,2828T曰于是:2128S ADG%27CBF65；箱Sadg28CBF38；可得S ADG 40 .故三角形 ADG的面积是40.【例6如图在 ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且 AD: AB2:5 , AE:AC4:7 ， S ADE16平方厘米，求 ABC的面积.【解析连接 BE , Saade : Saabe AD : AB 2:5(2 4):(54),abe : S abcAE : AC 4 : 7 (4 5) : (7Sa abc 35份， S ADE 16平方厘米，所以5），所以1份是2平方厘米,S Ade : S ABC

14、 (24):(75)，设35份就是70平方厘米，S ADE 8 份，则 ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理, 补角）两夹边的乘积之比 .共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互【巩固【解析连接BE . EC 3AESv ABC3SvaBE又 T AB 5ADSv ADESvaBECC5 Svabc 15，Svabc 15Svade 15 .【巩固如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分, 是甲部分面积的几倍？BD DC 4, BE 3 , AE6，乙部分面积如图，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的面积等于1,那么三

15、 角形ABC的面积是多少？【解析连接AD . BE 3 , AE 6- AB 3BE , Svabd 3Svbde又 BD DC 4 ,B/ABC 2S； abd，Svabc 6Svbde , Si 5Sp .【例7】 如图在 ABC中，D在BA的延长线上， E在AC上，且AB:AD 5:2 , AE:EC 3:2，ade 12平方厘米，求 ABC的面积.【解析】连接BE , Sa ade : Sa abeAD : AB 2:5(2 3):(5 3)(3 5): (3 2) 5 ,【解析】【例9】HE连接AC、BD 根据共角定理在 ABC 和 ABFE 中,ABC与 FBE互补,.SA ABC

16、AB BC1 11SA FBEBE BF1 33 又 Sa ABC1，所以SafBE3 .同理可得；SA GCF8,SA DHG 15 ,所以SefghSA AEHSACFGSA DHG所以SaBCD21Sa aehSefgh 3618如图所示的四边形的面积等于多少?BEFSABCDH8 8 15+3+236 .SAABE : SA ABCAE : AC 3: (3 2)所以Sa ADE : Sa ABC (3 2) : 5 (3 2) 6:25，设 Sa ADE 6份，则Sa ABC 25份 , Sa ade 12平方厘米,所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC的面积是50平

17、方厘米由此我们得到一个重要 的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例8】如图，平行四边形 ABCD, BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD，平行四边形ABCD的面 积是2 ,求平行四边形 ABCD与四边形EFGH的面积比.【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点0逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形 OAB将旋转到三角形 OCD 的位置这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边

18、形的面积因此，原来四边形的面积为 12 12 144.(也可以用勾股定理)ABC外作正方形ACDE ,【例10】 如图所示，ABC中， ABC 90，AB 3，BC 5，以AC为一边向中心为0，求 OBC的面积.【解析】 如图，将 OAB沿着O点顺时针旋转90，到达 OCF的位置.由于 ABC 90 ,AOC 90，所以 OABOCB 180 而 OCFOAB,所以 OCFOCB 180，那么B、C、F三点在一条直线上.由于 OB OF , BOFAOC 90，所以 BOF是等腰直角三角形，且斜边 BF为5 3 8，所以它的面积为821 16 .4根据面积比例模型，OBC的面积为16 5 10

19、 .8【例11】如图，以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE , AEB 90 , AC、BD交于O .已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形 OBE的面积.F【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将 ADE顺时针旋转90至U ABF的位置.那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90，而 AEB也是90，所以四边形AFBE是直角梯形, 且 AF AE 3 ,所以梯形AFBE的面积为：1 23 5312( cm ).2又因为ABE是直角三角形,根据勾股定理，2AB2222十AE BE 3534，所以S ABD1 2-AB217( cm22).那么SBDES AB

20、DS ABES ADES ABDSaFBE217 125( cm ),【例12】 如下图，六边形ABCDEF中，AB ED , AFCD，BC EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD 面积是多少平方厘米？24厘米,BD 18厘米，请问六边形ABCDEF 的C1 2所以S OBE2 S bde25( cm ).【解析】如图，我们将 BCD平移使得CD与AF重合，将 DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重 合到图中的AG 了 这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米

21、，所以六边形 ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形 ABC的面积是1 , E是AC的中点，点 D在BC上，且BD: DC 1:2 , AD与BE交于 点F .则四边形DFEC的面积等于 .【解析】方法一：连接CF ,根据燕尾定理，SA ABFBD1SA ABFAE 1Sa acfDC2，Sa cbfEC设bdf 1份，则sa DCF2 份，SA ABF3份，SA AEFSA EFC3份，如图所标所以SdcEF% ABC12512方法二：连接DE，由题目条件可得到 Sa311111 11Sa defSa debSA BECSA ABC22323 212而 Sa cde21

22、SABC1所以则四边形DFEC的面积等于532312ABCD的面积是2平方厘米,【巩固】如图，长方形厘米？EC 2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方3x3.X2FF 1y1121BFSa abdSa ade_ Sa adcSa abc一，所以2233FESa ade【解析】设Sa def1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影詁BCD1212平方厘米【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形 ABD的面积等于三角形 BCD的面积的1，且A0 2 , D0 3，那么CO的长度是DO的长度的倍.3【解析】 在本题中，四边形 ABCD为任意四边形，对

23、于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件 Svabd : Svbcd 1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比.再应用结论:使学生体会到蝴蝶定三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法, 理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.解法一： AO:OC S a

24、bd : S bdc 1： 3 , AOC 2 3 6 , aOC:OD 6:32:1 .解法二：作AHBD 于 H ,CGBD于G .T S ABDsBCD , A AHCG，S AOD1S doc ,333a AO1 CO , OC 2 36 ,OC:OD6:32:1 .3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知,求：三角形 BGC的面积；（2） AG:GC ?【解析】根据蝴蝶定理,根据蝴蝶定理,【例15】如图，平行四边形ADSvbgc 12 3，那么 Svbgc 6 ；AG :GC 12:361:3 .ABCD的对角线交于 O点，ACEF、AOEF、 OD

25、F、 BOE的面积依次是2、4、4和6.求：求AOCF的面积；求 AGCE的面积.【解析】 根据题意可知， ABCD的面积为2 4 4 6 16，那么 BCO和 CDO的面积都是16 2 8，所以OCF的面积为8 4 4 ；由于 BCO的面积为8， BOE的面积为6,所以AOCE的面积为8 62，EG : FG2 : 41： 2，所以 S GCE : S GCFEG :FG 1:2，C1C1c2那么S GCES CEF21 233根据蝴蝶定理,S COE:S COF【例16】如图，长方形 ABCD中,形ABCD的面积.BE: EC2:3，DF: FC 1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求

26、长方【解析】【例17】【解析】连接AE，FE 因为 BE: EC 2:3 , DF : FC1因为SS长方形ABCD ,S/afd12平方厘米.因为1:2，所以SVDEF3 1 “乩丄S5 3 2)Sk方形ABCD10S长方形ABCD 1AG:GF -2c1 CSVAFD S长方形 ABCD , 所以长方形 ABCD的面积是72平方厘米.610 5:1，所以Svagd迪gdf10平方厘米，所以求图中阴影部分的面积.如图，正方形因为M是AD边上的中点，所以 AMSAAMG : SA ABG : SMCG : SABCG 1 :"份，所以正方形的面积为 12 2 41:2，根据梯形蝴蝶定

27、理可以知道2):22 1:2:2:4，设 Saagm 1 份，则 Smcd 1 2 3 3 12份，S阴影2 2 4份，所以Sw：S正方形1:3，所以:BC2):(1S阴影 1平方厘米.【巩固】在下图的正方形 ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘 米，那么正方形 ABCD面积是平方厘米.【解析】 连接DE ,根据题意可知BE:ADSa ECD 3 （平方厘米），那么Swabcd12（平方厘米）.21:2，根据蝴蝶定理得S梯形（1 2）9 （平方厘米）,3: 2，三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是【例18】已知ABCD是平行四边形， B

28、C :CE 平方厘米.【解析】D连接AC .由于 ABCD是平行四边形， BC:CE 3: 2，所以根据梯形蝴蝶定理，S/coe : Svaoc : Sv DOE : SvaoD）,SVAOD9 （平方厘米），又 S/abc21（平方厘米）.CE: AD 2:3 ,22:2 3: 2 3: 324 6 6:9方厘米6 15Svacd6 9 15 （平方厘米，所以S/AOC6 （平），阴影部分面积为【巩固】右图中的面积是【分析】【巩固】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S根据蝴蝶定理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36，故 所以S OCD

29、6 （平方厘米）.sOCDOAE .S OCD36 ,右图中 ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示 的面积是平方厘米.（单位：平方厘米），阴影部分ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分平方厘米.【解析】 连接AE 由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S °cd S oae根据蝴蝶定理，S OCD S OAE S OCE S OAD816，故 S OCD16，所以S OCD 4（平方厘米）1另解：在平行四边形 ABED中 ,S ADE SYABED216 812（平方厘米）,所以S aoeS A

30、DES AOD12 84（平方厘米）,根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）【例19】如图，长方形 ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3块的面积分别为 2、5、8平方厘米，那么余 下的四边形OFBC的面积为平方厘米.【解析】连接DE、CF 四边形EDCF为梯形，所以S eod S/foc ,又根据蝴蝶定理，S eod S foc S eof S cod , 所以S EOD S FOC S EOF S COD 2816，所以S EOD 4 （平方厘米）， S ECD 4812（平方厘米）那么长方形ABCD的面积为12 2 24平方厘米，四边形 OFBC的面积为24 5 2

31、 8 9（平方厘米）【例20】如图， ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK: KB 1:3，贝U BKD的面积是多少？【解析】 由于DEFG是正方形，所以 DA与BC平行，那么四边形 ADBC是梯形.在梯形 ADBC中， BDK和1 1ACK的面积是相等的. 而AK: KB 1:3，所以 ACK的面积是 ABC面积的，那么 BDK的1 341面积也是 ABC面积的- 4由于 ABC是等腰直角三角形，如果过 A作BC的垂线， M为垂足，那么 M是BC的中点，而且 AM DE，可见 ABM和 ACM的面积都等于正方形 DEFG面积

32、的一半，所以 ABC的面积与正方形 DEFG的面积相等，为 481那么 BDK的面积为48 12 4【例21】下图中，四边形 ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数H分别是AB , BC , CD , DA的中m，那么，(m n)的值等n【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积， 观察发现两个图中的空白部分面积都于比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接 EG 设AG与DE的交点为M 左图中AEGD为长方形，可知 AMD的面积为长方形 AEGD面积的-，所以三角形

33、 AMD的面积为412 - - - 又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为1 - 4 - 2 4882如上图所示，在右图中连接AC、EF 设AF、EC的交点为N 1可知EF / AC且AC 2EF 那么三角形 BEF的面积为三角形 ABC面积的-，所以三角形 BEF的面4111113积为1，梯形AEFC的面积为248288在梯形AEFC中，由于EF : AC 1:2 ,根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：223111 :1 2:1 2: 2 1:2: 2: 4，所以三角形EFN的面积为，那么四边形BENF的面积8 12 24241 1111为-一 -.而右图中四个空

34、白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为1 - 4 - 8 24 6631 1m 3那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为-：-3: 2，即一，2 3n 2那么m n 3 2 5 【例22】如图， ABC中，DE , FG , BC互相平行，AD DF FB,贝VADE : S四边形DEGF S四边形FGCB 【解析】【巩固】【解析】【巩固】设Saade1份，根据面积比等于相似比的平方，所以 Sa ade : SA AFGAD : AF 1:4 , SA ADE : SA ABC因此Sa AFG4份， Sa ABC 9份，进而有S四边形 DEGF3份， S四边形FGCB如图

35、，DE平行BC，且AD 2，5份，所以adeAB 5， AE 4，AD2： AB2 1:9 ,:S四边形DEGF : S四边形FGCB 1： 3： 5求AC的长.由金字塔模型得 AD:AB AE:AC DE: BC 2:5，所以AC 42 5 10如图， ABC中，DE，FG， MN，PQ，BC互相平行,AD DF FM MP PB，贝Uade : S四边形DEGF : S四边形FGNM : S四边形MNQP :S四边形PQCB【解析】设Sa ade1份，& ADE : & AFGAD21 AF21:4,因此Sa afg4份，进而有S四边形DEGF3份，同理有S四边形FGNM5

36、份，S四边形MNQP7份，S四边形PQCB9份.所以有:S四边形MNQP : S四边形PQCBS ADE : S四边形DEGF : S四边形FGNM1: 3: 5:7: 9【例23】如图，已知正方形 ABCD的边长为 与BE相交于点G，求Sabg4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC 1:3，AFAM【解析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点 M ,构造出两个沙漏,所以有 AB:CM BF:FC1:1，因此CM 4 ,根据题意有CE 3 ,再根据另一个沙漏有4432Sa abe(4 4 2)4 71111GB:GE AB:EM 4:7 ，方法二：连接AE,EF，分别求S

37、a abf 4 2 2 据蝴蝶定理Sa ABF ： Sa AEF BG:GE 4:7，所以4 , SA AEF4 44123 2247，根4432Sa abg,7 SA ABE(4 42)41111【例24】如图所示,已知平行四边形 ABCD的面积是1, E、F是AB、AD的中点,BF交EC于M ,求BMG的面积.【解析】 解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF/BD，而FD : BC FH : HC 1:2 ,EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH :CF GH : EF 2:3 ,并得G、H是BD的三等分点，所以 BG GH，所以BM : MFBC:IF 2:3 , BM

38、212 1可得S BMGS bdf535 321BF , BGBD (鸟头定理),5 3Sy ABCD1430【例25】如图，ABCD为正方形，AMFC 1cm且MN 2 cm，请问四边形 PQRS的面积为多少?NB DE又QC匝迪，所以EC【解析】（法1）由AB / /CD，有匹，所以PCMN DC2 PM ,2BF , S1s11 Q1BG:EF BM:MF2:3，所以BM2BFDABDSyabcd;52224 ；1又因为BG -S BMG12S bfd1211BD ,所以30335354解法二：延长CE交DA于I，如右图，可得，AI : BC AE:EB 1:1，从而可以确定 M的点的位

39、置,11111MQ QC-MC，所以 PQ-MC- MC- MC，所以Sspqr占Samcf的22366由RBER，所以RBAB2216 / 2、而2 , SaBRsABE-8(cm ) ABEFEFEF333而 S MBQ112因为MNMPsans34 -3( cm )22DCPC '所以MP1MC，贝U sMNP1 2 414(cm ),阴影部分面积等于3233S ABR SS MBQs164 2, 2)ansMNP3 3 (cm33 3【例26】 如右图，三角形 ABC中，BD:DC 4:9 , CE: EA 4:3，求AF : FB .【解析】 根据燕尾定理得Saaob：Saa

40、oc BD :CD 4:912: 27aob : Sa boc AE : CE 3： 4 12:16（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 Sa aoc : Sa boc 27:16 AF : FB【点评】 本题关键是把 AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能 掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形 ABC中，BD:DC 3: 4 , AE:CE 5:6，求AF : FB .【解析】 根据燕尾定理得Saaob：Sa aoc BD : CD 3： 4 15:20Saaob : Sa boc ae : C

41、E 5： 6 15:18（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 Saaoc : Saboc 20:1810:9 AF : FB【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC 2:3 , EA: CE 5: 4，求AF : FB .【解析】根据燕尾定理得Sa aob: Sa aocBD : CD2:3 10:15Sa aob: Sa bocAE ：CE5: 410:8(都有a AOB的面积要统一，所以找最小公倍数)所以 Sa aoc : Sa boc 15:8 AF : FB【点评】 本题关键是把 AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本

42、质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】如右图，三角形ABC中，AF :FB BD: DC CE: AE 3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形的面积为 ，三角形 AGE的面积为，三角形GHI的面积为 ABE【分析】连接AH、BI由于CE:AE根据燕尾定理，【巩固】【解析】【巩固】、CG 3:2，所以AES ACG : S ABG-AC5CD: BDS ABE2:3S ACG : S ABG : S BCG2那么 S AGE S AGC54:6:9 ,则 S ACG419，同样分析可得 S ACHEG:GH : HB 4:5:10 ,55所以 S BIES BAE1010如

43、右图，三角形ABC中,的面积.1998 ；95则EG:EH19同样分析可得2 155，AF: FB2SS ABC5, S BCG : S ABGS 9 ；S BCG19CE :EA 3: 2 ,所以S ACG : S ACH4: 9 , EG: EBS ACG : S ACB 4:19,AG:GI : ID 10:5:5S GHIS19BD: DC5BIE19CE: AE1953: 2 ,且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC连接BG, S agc 6份根据燕尾定理，Sagc : S bgc AF : FB 3: 2得 S BGC4 （份），S ABG9 （份），则 S ABC同理连接AI、

44、CH得 9§，所以 dSa ABC 19 Sa ABC 19Sa ABC6 : 4 , S ABG : S AGC19（份），因此匹Sa ABC19 6 6BD :DC 3: 29:6619196 丄19三角形GHI的面积是1,所以三角形 ABC的面积是19如图， ABC 中 BD 2DA, CE 2EB , AF 2FC ,那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍.【分析】如图，连接AI .根据燕尾定理，S BCI : S ACIBD: AD 2:1 , Sbci:S abi CF:AF 1:2 ,所以，S ACI : S bci : S ABI 1:2 : 4，那么，S bci2 s

45、s ABC2Ss ABC .12 47ABC面积的2同理可知 ACG和 ABH的面积也都等于 ABC面积的-，所以阴影三角形的面积等于72 11 Sa BIC GHI7，L产所以 ABC ABC【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面 积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称 法作辅助线 3丄，所以 ABC的面积是阴影三角形面积的 7倍.7 7【巩固】如图在 ABC中，DCDBEAECFBFA1求GHI的面积2、 ABC的面积【解析】连接BG,设Sabgc 1份，根据燕尾定理 Saagc

46、 : Sbgc AF : FBSa agc2 （份）, Sa abg4 （份），则 Sa ABCSa ABC2 ：1 , Sa abg : Sa agcbd : DC2-,同理连接AI、CH得72:1，得SA ABHSA ABC【例28】如图，三角形 ABC的面积是1 , BD DE这9部分的面积各是多少？EC , CF FG GA,三角形 ABC被分成9部分，请写出【解析】 设BG与AD交于点P, BG与AE交于点Q, BF与AD交于点M , BF与AE交于点N.连接CP, CQ,根据燕尾定理，Sa ABP :SACBPAG:GC1: 2,SA ABP:Sa acpBD:CD1:2 ,设SA ABP1 （份），则SA ABC12 25（份