第二章第五节 曲线与曲面

1、5.1 曲线曲线第五节第五节 曲线和曲面曲线和曲面一、曲线的形成一、曲线的形成曲线可以看做是点运动的轨迹。曲线可以看做是点运动的轨迹。平面曲线：平面曲线：点在一个平面内运动所形成的曲线点在一个平面内运动所形成的曲线叫做平面曲线，如圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做平面曲线，如圆、椭圆、双曲线和抛物线等；等；空间曲线：空间曲线：点不在一个平面内运动所形成的曲点不在一个平面内运动所形成的曲线叫做空间曲线，如圆柱螺旋线。线叫做空间曲线，如圆柱螺旋线。二、曲线的投影二、曲线的投影1.平面曲线的投影平面曲线的投影 与平面曲线与平面曲线对投影面的相对位置有关对投影面的相对位置有关。 图示中平面内的的一个圆，由于

2、它所在的平图示中平面内的的一个圆，由于它所在的平面与投影面的位置不同，其投影也不同。面与投影面的位置不同，其投影也不同。（1） 圆所在的平面平行于投影面，则圆的投影圆所在的平面平行于投影面，则圆的投影反映实形反映实形（成为同样大小的圆）。（成为同样大小的圆）。（2） 圆所在的平面倾斜于投影面，则圆的投影圆所在的平面倾斜于投影面，则圆的投影不反映实形不反映实形（变为椭圆）。（变为椭圆）。（3） 圆所在的平面垂直于投影面，则圆的投影圆所在的平面垂直于投影面，则圆的投影积聚成一直线积聚成一直线（其长度等于直径）。（其长度等于直径）。二、曲线的投影二、曲线的投影 例题例题 ：求作一个位于正垂面：求作一

3、个位于正垂面P P上的圆周的投影，已知上的圆周的投影，已知圆心圆心O O的投影及直径的投影及直径D D的长度。的长度。分析：分析：所给平面所给平面P P垂直于垂直于V V面面，对对H H面倾斜成面倾斜成角，所角，所以以P P面内的圆，在面内的圆，在V V面上面上的投影积聚成一直线并的投影积聚成一直线并重合在重合在PvPv上，长度等于上，长度等于D D；在；在H H面上投影变形成面上投影变形成为椭圆为椭圆。此椭圆的长轴。此椭圆的长轴是圆内一条垂直于是圆内一条垂直于V V面面的直径的投影，长度等的直径的投影，长度等于直径于直径D D；短轴；短轴是该平是该平面内的最大斜度线面内的最大斜度线PVoab

4、dcca(o、b)d作图步骤作图步骤1.1.过过oo在在PvPv上截取上截取ococ=od=D/2=od=D/2，得，得cdcd，即为所作圆周的正面投影即为所作圆周的正面投影2.2.再过再过o o作作铅垂线铅垂线，并截取，并截取oa=ob=D/2oa=ob=D/2，得长轴得长轴abab；3.3.过过o o作水平线与过作水平线与过cc和和dd向下引向下引的铅垂联系线相交，得短轴的铅垂联系线相交，得短轴cdcd；4.4.最后用最后用“四四心圆心圆法法”作椭圆，作椭圆，即为所求圆周的水平投影即为所求圆周的水平投影D/2D/22.空间曲线的投影空间曲线的投影 在任何情况下都不会有直线，而在任何情况下都

5、不会有直线，而是曲线是曲线，不能反映实际形状。不能反映实际形状。H HA AB Ba12345b二、曲线的投影二、曲线的投影 无论平面曲线或空间曲线，若直线和曲线无论平面曲线或空间曲线，若直线和曲线相切，则此直线的投影仍旧与该曲线的同面投相切，则此直线的投影仍旧与该曲线的同面投影相切。影相切。二、曲线的投影二、曲线的投影 绘制曲线的投影，一般是先画出曲线上一绘制曲线的投影，一般是先画出曲线上一系列点的投影，特别是首先画出控制曲线形状系列点的投影，特别是首先画出控制曲线形状和范围的特殊点的投影，然后把这些点的投影和范围的特殊点的投影，然后把这些点的投影光滑连接起来。光滑连接起来。二、曲线的投影二

6、、曲线的投影5.2 曲曲 面面第五节第五节 曲线和曲面曲线和曲面1 1、曲面、曲面的形成的形成母线母线导线导线导线导线素线素线定点定点形成曲面的动线（直线或曲线）称为形成曲面的动线（直线或曲线）称为。直线或曲线连续运动形成曲面直线或曲线连续运动形成曲面母线在曲面上的每一个位置称为母线在曲面上的每一个位置称为母线母线柱面柱面锥面锥面控制母线运动规律的线、面，称为控制母线运动规律的线、面，称为、直线直线L沿着曲线沿着曲线M移动，移动过程中直线移动，移动过程中直线L始终平行于始终平行于Y轴。轴。其中运动的直线其中运动的直线L即是母线，母线在移动过程中的任意称为素线。即是母线，母线在移动过程中的任意称

7、为素线。图中曲线图中曲线M即是导线。即是导线。 2 2、曲面、曲面的分类的分类直线面直线面曲线面曲线面由直线运动由直线运动而成而成的曲面，的曲面，如柱面、锥面等。如柱面、锥面等。由曲线运动由曲线运动而成而成的曲面，的曲面，如球面、圆弧旋转面等。如球面、圆弧旋转面等。圆柱面圆柱面直母线直母线绕与绕与之之平行的平行的导线旋导线旋转而成转而成圆锥面圆锥面直母线绕与之相交直母线绕与之相交的直导线旋转而成的直导线旋转而成交点即为定点交点即为定点圆柱面、圆锥面均为直线面圆柱面、圆锥面均为直线面S母线绕一定轴作旋转运动所母线绕一定轴作旋转运动所形成的形成的曲面曲面叫做。叫做。固定的直线叫做回转轴。固定的直线

8、叫做回转轴。母线和轴是确定回转面的要素。母线和轴是确定回转面的要素。一、曲面的形成和表示法一、曲面的形成和表示法回转曲面回转曲面母线按一定规律运动，但并非回转母线按一定规律运动，但并非回转非回转曲面非回转曲面回转曲面回转曲面5.3 回转曲面的投影回转曲面的投影第五节第五节 曲线和曲面曲线和曲面XZY圆柱的三面投影图HVWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”1 1、圆柱的投影、圆柱的投影 圆柱表面由圆柱表面由圆柱面圆柱面和和顶面、底面顶面、底面所组成。圆柱面是所组成。圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。 如图所示，圆柱的如

9、图所示，圆柱的轴线垂直于轴线垂直于H H面，其上面，其上下底圆为下底圆为水平面水平面，水，水平投影反映实形，其平投影反映实形，其正面和侧面投影重合正面和侧面投影重合为一直线。而圆柱面为一直线。而圆柱面则用曲面投影的则用曲面投影的转向转向轮廓线轮廓线表示。表示。 一个投影为圆，其余二投影一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对均为矩形。规定：回转体对某投影面的某投影面的转向轮廓线转向轮廓线，只，只能在该投影面上画出，而在能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。其它投影面上则不再画出。XZYHWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vabaabba”(b

10、”)a”(b”)c(d)c(d)cdddcc圆柱的投影圆柱投影图的绘制：圆柱投影图的绘制： （1） 先绘出圆柱的对称线、回转轴线。（2）绘出圆柱的顶面和底面。（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。正面转向轮廓线侧面转向轮廓线在圆柱表面上取点在圆柱表面上取点已知已知圆柱表面上的圆柱表面上的点点A,B,MA,B,M及及N N的正面投影的正面投影a a、 b b、mm和和nn，求它们的其余两投影。，求它们的其余两投影。2 2、圆柱表面上取点、圆柱表面上取点 a a” a b (b”) bXZY图3-11 圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)1 1、 圆锥的投影

11、圆锥的投影 圆锥表面由圆锥表面由圆锥面圆锥面和和底圆底圆组成。它是一母线绕与它相交组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成。的轴线回转而成。 如图所示，圆锥轴如图所示，圆锥轴线垂直线垂直H H面，面，底面底面为水平为水平面，它的水平投影反映面，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影实形，正面和侧面投影重影为一直线。重影为一直线。 对于对于圆锥面圆锥面，要，要分别画出正面和侧分别画出正面和侧面转向轮廓线面转向轮廓线正面转向轮廓线侧面转向轮廓线圆锥投影图的绘制圆锥投影图的绘制：sabsabcdc”d”c(d)s”a(b) （1） 先绘出圆锥的对称线、回转轴线。（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投

12、影和侧面投影积聚为直线。 (3) 作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。圆锥的投影XZYHVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)在在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一种是辅助圆法。种是辅助圆法。方法一：素线法方法一：素线法 过过M M点及锥顶点及锥顶S S作作一条素线一条素线S,S,先求先求出素线出素线SS的投影的投影, ,再求出素线上的再求出素线上的M M点。点。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)mmm”M 已知圆锥表面的点M的正面投影m,求出M点的其

13、它投影。 过ms作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1。111”mm”a(b)图3-14 圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”sabc(d)m 求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”。 求出M点的水平投影和侧面投影。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBS 过过M M点作一平行与底点作一平行与底面的水平辅助圆，该圆面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过的正面投影为过m m且且平平行于行于a a b b 的的直线直线2 2 3 3 ，它们的水平投影为一直它们的水平投影为一直径等于径等于2 2 3 3 的的圆，圆，m m在在圆周上，由此求出圆周上，由此求出m

14、 m及及m m。mMmm”m圆锥的投影及表面上的点sss”aabbc”d”mm” 以s为中心，以sm为半径画圆， 已知圆锥面上M点的水平投影m，求出其m和m”。 作出辅助圆的正面投影23。2323 求出m及m”的投影。m mm mm mn nn n( () )n n( () ) 已知圆锥表面上点已知圆锥表面上点M M及及N N的正面投影的正面投影mm和和nn，求它们的其余两投影。，求它们的其余两投影。 e e (e)sababff球球的表面是球面。球的表面是球面。球面是一条园母线绕过面是一条园母线绕过圆心且在同一平面上圆心且在同一平面上的轴线回转而形成的。的轴线回转而形成的。1、 圆球的形成圆

15、球的形成 球的三个投影均球的三个投影均为圆，其直径与球直为圆，其直径与球直径相等，但三个投影径相等，但三个投影面上的圆是不同的转面上的圆是不同的转向轮廓线。向轮廓线。2 2、球的投影、球的投影 已知M点的水平投影，求出其它两个投影。121mm” 过m作平行于V面的正平圆12。 求正平圆的正面投影。 在辅助正平圆上求出m和m”。oo”o球的投影及表面上的点mR3 3、球面上取点、球面上取点nnn5.4 几种常用的非回转曲面几种常用的非回转曲面第五节第五节 曲线和曲面曲线和曲面1柱面柱面：直直母母线沿曲线沿曲导导线线移动移动，并始终平行于另并始终平行于另一一导线时，导线时，所形成的曲面叫所形成的曲

16、面叫做做柱面。柱面。 图示柱面的导线是一个水平圆。母线的方向平行于图中给出的正平线L的方向，柱面的各素线是互相平行的。由于母线为定长，所以此柱面的上底也是一个水平圆。 柱面在建筑工程中，有着广泛的应用。下图表示了柱面在建筑工程中，有着广泛的应用。下图表示了一个用柱面构成的完体建筑。一个用柱面构成的完体建筑。锥面锥面。一直线沿着一曲线。一直线沿着一曲线活动，活动， 并始终通过一固并始终通过一固定的点，定的点， 所形成的曲面所形成的曲面叫做锥面。叫做锥面。 图示锥面的导线是一个水平圆。锥顶就是那个固定的点，可见锥面各素线是相交于一点的。如果把锥顶移到无阻远处，则锥面就转化成柱面；可见柱面是锥面的特

17、殊情况。 锥面在建筑工程中，锥面在建筑工程中，也有着广泛的应用。右图也有着广泛的应用。右图表示了一个用锥面构成的表示了一个用锥面构成的完体建筑。完体建筑。 一直一直母线母线沿着沿着两两条条交叉直导线移动，交叉直导线移动，并并始终平行始终平行于于导平面时导平面时，形成，形成的曲面称为的曲面称为双双曲抛物曲抛物。 以交错二直线以交错二直线AB和和CD为导为导线，以线，以AD直线直线(或或BC直线直线)为母为母线，线， 平面平面P为导面为导面(ADP)，即可形成双曲抛物面。双曲抛即可形成双曲抛物面。双曲抛物面也象单叶回转双曲面那样，物面也象单叶回转双曲面那样，有两族素线，而且第一族的每有两族素线，而

18、且第一族的每条素线必同第二族的所有素线条素线必同第二族的所有素线相交，而同一族的任何两条素相交，而同一族的任何两条素线必定交错。线必定交错。画法：画法：（1）首先画出母线、导线和导面的投影首先画出母线、导线和导面的投影；（2）画出曲面曲正面画出曲面曲正面投影投影和侧面和侧面投影投影的轮廓线的轮廓线；PHQHdcabm) ( db a cm)( cadbm一直一直母母线沿着线沿着不在同一不在同一平面上的直导线和一条平面上的直导线和一条曲导线移动，曲导线移动，并并始终平始终平行于行于一一导导平面，形成平面，形成的曲面叫做锥状面。的曲面叫做锥状面。 图示的图示的锥锥状面，直导线状面，直导线AB垂直于

19、正立面，曲导线垂直于正立面，曲导线为为一个一个水平圆，而导平面为正平面。水平圆，而导平面为正平面。表现在投影图上，表现在投影图上， 所有素线的所有素线的水平投影均平行于水平投影均平行于OX轴，轴， 而而正面投影集中于一点正面投影集中于一点a(b)。直导线直导线曲导线曲导线母线母线 下图下图是锥状面作为厂房屋顶的一个实例。屋面上的是锥状面作为厂房屋顶的一个实例。屋面上的素线都平行于山墙。素线都平行于山墙。一直导线沿着不在同一一直导线沿着不在同一平面上的两条曲导线移平面上的两条曲导线移动，并始终平行于一导动，并始终平行于一导平面，平面，这样这样形成的曲面形成的曲面叫做柱叫做柱状面。状面。 图示的柱

20、状面，母线是图示的柱状面，母线是AD，曲导线是，曲导线是ABC和和DEF，导平面是铅垂面导平面是铅垂面P 。柱状面柱状面的所有的所有素线素线AD、BE、CF都平行于导平面都平行于导平面P， 所以各素线的水平投影所以各素线的水平投影ad、be、cf 都平行于都平行于PH。曲导线曲导线导平面导平面母线母线 右图所示的是右图所示的是柱状柱状面应用于拱门上的实例。面应用于拱门上的实例。可以看出：导线应为拱可以看出：导线应为拱口曲线口曲线(一为半圆一为半圆，为半为半椭圆椭圆)，导面应为水平面。，导面应为水平面。5.5 螺旋线和螺旋面螺旋线和螺旋面第五节第五节 曲线和曲面曲线和曲面一、螺旋线一、螺旋线 一

21、动点沿着一圆柱的母线作等速运动，而母线同时又绕圆柱的轴线一动点沿着一圆柱的母线作等速运动，而母线同时又绕圆柱的轴线作等速旋转，则该动点运动的轨做作等速旋转，则该动点运动的轨做圆柱螺旋线圆柱螺旋线。此圆柱叫做。此圆柱叫做导圆柱导圆柱。圆柱螺旋线圆柱螺旋线分右旋和左旋两种分右旋和左旋两种：右旋：动右旋：动点上升时，母线对轴线作反时针方向旋转点上升时，母线对轴线作反时针方向旋转；左旋：动点上升时，母线对轴线作左旋：动点上升时，母线对轴线作顺时针方向旋转。顺时针方向旋转。一、螺旋线一、螺旋线 母线旋转一周时，动点沿母线旋转一周时，动点沿母线移动的距离叫做螺距。母线移动的距离叫做螺距。螺螺距距h和导圆柱

22、的和导圆柱的半径半径R是确定螺是确定螺旋线的两个参数。给出这两个旋线的两个参数。给出这两个参数的大小，再根据螺旋线的参数的大小，再根据螺旋线的方向方向(譬如是右螺旋譬如是右螺旋)，就可以，就可以做出螺旋线的投影。做出螺旋线的投影。Rh螺旋线投影螺旋线投影（1）用半径用半径R作出导圆柱的投影；作出导圆柱的投影；作法：作法：（2）把导圆柱的底圆周把导圆柱的底圆周(在水平投影在水平投影上上)和和螺距螺距h(在正面投影上在正面投影上)分成同样分成同样多的等份多的等份(如如12等份等份)；（3）在水平投影上用数字沿螺旋线在水平投影上用数字沿螺旋线方向顺次标出各分点方向顺次标出各分点0、1、12；（4）从从0、1、12 向上作铅垂联向上作铅垂联系线，系线，得各分点的得各分点的正面投影；正面投影；（5）用曲线圆滑的连接用曲线圆滑的连接0、l、2 12各点，各点， 得一正弦曲线该曲线得一正弦曲线该曲线就是所作螺旋线的正面投影。就是所作螺旋线的正面投影。0678910111212345 0 1 2 3111210 9 8 7 6 5 4螺旋线投影螺旋线投影 当把导圆柱展开成矩形之后，螺旋线应该是这个当把导圆柱展开成矩形之后，螺旋