第2章 点、直线与平面的投影

1、广 东 技 术 师 范 学 院 天 河 学 院教 案 2012 年10月 日第 周第2章 点、直线和平面的投影本章教学目的及基本要求：掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影。了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。本章教学内容的重点和难点： 一、本章重点：1点的坐标与投影，重影点；2直线在三面投影体系中的投影特性；3平面的投影特性，平面上的直线和点。二、本章难点：1求线段的实长及其对投影面的倾角；2两直线的相对位置；3直线上的点和平面上的线。本章教学内容的深化和拓宽： 养成良好的习惯，严谨的工作作风本章教学方法、方式： 讲授法，演示法教学、习

2、题集作业、手工绘图本章主要参考资料： 1. 机械制图（第六版）大连理工大学编高等教育出版社出版 2. 机械制图（第三版）刘力主编高等教育出版社出版 3. 画法几何学（第六版）大连理工大学编高等教育出版社出版广 东 技 术 师 范 学 院 天 河 学 院单 元 教 案 首 页 2012年 10 月 日第 周课题： 21 投影法的基本知识 2.2 点的投影 课次： 4教学方法： 讲授法，演示法 教具： 尺，规教学目的：掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点 教学重点： 重点：点、直线和平面的投影特性 教学难点：两点的相对位置及重影点教学过程时间分配（包括组织教学：复习旧课、作业问题分

3、析、讲授新课、新课小结、布置作业） 讲授新课： 80分钟 小结、布置作业： 10分钟课后记： 第2章 点、直线和平面的投影一、本章重点：1点的坐标与投影，重影点；2直线在三面投影体系中的投影特性；3平面的投影特性，平面上的直线和点。二、本章难点：1求线段的实长及其对投影面的倾角；2两直线的相对位置；3直线上的点和平面上的线。三、本章要求：掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影。了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。四、教学手段讲授法，演示法教学、习题集作业五、本章内容： 21 投影法的基本知识2.1.1 投影法概述在日常生活中，我们经常看到

4、物体在日光或灯光照射下，在地面或墙上产生影子，这种现象叫投射。人们根据这种自然现象，经过科学的抽象提出了投影法。将发自投射中心且通过物体上各点的直线称为投射线，投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。投射线的方向称为投射方向，选定的平面称为投影面，投射所得到的图形称为投影。 图2.1 中心投影法 图2.2 平行投影法1中心投影法该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。2平行投影法投影

5、线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。 平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。3. 正投影法的基本特性实形性当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图2.5(a)所示。积聚性当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图2.5(b)所示。类似性当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实

6、长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图2.5(c)所示。另外，平行投影法还有这样的规律：（1） 平行两直线的投影仍互相平行。（2） 属于直线的点，其投影仍属于直线的投影（3） 点分线段之比，投射后保持不变。(a) (b) (c)图2.5 正投影法的基本特性2.1.2 三视图的形成根据GB/T146921993技术制图 投影法规定，用正投影法所绘制的物体的图形，称为视图。1三投影面体系 图2.6 三投影面体系 图2.7 三视图的形成过程三投影面体系由三个相互垂直的投影面组成。其中V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简

7、称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线称OZ轴。三根投影轴的交点为原点，记为O。2三视图的形成(a) (b) ( c)图2.8 三视图的形成如图2.7所示,将物体放在三投影面体系内,分别向三个投影面投射。为了使所得的三个投影处于同一平面上，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，与V面处于同一平面上，如图2.8(a)所示。这样便得到物体的三个视图。V面上的视图称为主视图，H面上的视图称为俯视图，W面上的视图称为左视图,如图2.8(

8、b)所示。在画视图时，投影面的边框及投影轴不必画出，三个视图的相对位置不能变动，即俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边，三个视图的配置如图2.8(c)所示,不必标注三个视图的名称。3三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系是： 主视图：反映物体的上、下、左、右四个方位，同时反映了其高度、长度； 俯视图：反映物体的左、右、前、后四个方位，同时反映了其长度、宽度； 左视图：反映物体的上、下、前、后四个方位，同时反映了其高度、宽度。三视图之间的投影规律：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。简言之：长对正；高平齐；宽相等。图2.9 三视图之间的对应关系2.2 点的投影2.2.1

9、 点的两面投影图的性质 1. 一点的两面投影连线垂直于投影轴（aa'OX），且aa'到点O的距离反映x坐标。 2. 一点的水平投影到OX轴的距离（aax）等于该点到V面的距离（Aa'），都反映其y坐标（aax=Aa'=y）；其正面投影到OX轴的距离（a'ax）等于该点到H面的距离（Aa），都反映其z坐标（a'ax=Aa=z）。2.2.1 点的三面投影规律组成物体的基本元素是点、线、面。图2.10（a）所示的三棱锥是由四个面、六条线、四个点组成。点是最基本的几何元素，下面分析锥顶A点的投影规律。点的投影规律如下：点的V面投影与H面投影的连线垂直于O

10、X轴，即a a OX;点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴，即a a OZ;点的H面投影到OX轴的距离等于其W面投影到OZ轴的距离，即aaXaaZ。(a) (b) (c) 图2.10 点的三面投影规律2.2.2 点的三面投影与直角坐标的关系如图2.12（a）所示，点在空间的位置可由点到三个投影面的距离来确定。如果将三个投影面作为坐标面，投影轴作为坐标轴，则点的投影与点的坐标关系如下：(a) (b)图2.12 点的三面投影与直角坐标的关系点到W面的距离为AaaaZ aay OaX X轴坐标；点到V面的距离为AaaaX aaZ Oay Y轴坐标； 点到H面的距离为AaaaX aay OaZ Z

11、轴坐标。例 已知空间点B的坐标为：X15，Y20，Z25（单位为mm,）也可写成B(15,20,25)。求作B点的三面投影。(a) (b) (c)图2.13 已知点的坐标作投影图分析 已知空间点的三个坐标，便可作出该点的两个投影，再求作另一投影。作图 在OX轴上向左量取15，得bX，如图2.13（a）；过bX 作OX轴的垂线，在此垂线上向下量取20得b;向上量取25得b，如图2.13（b）；由b、b作出b，如图2.13（c）。2.2.3 两点的相对位置两点间的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。(a) (b)图2.14 两点的相对位置根据两点的坐标，可判断空间两点间的相对位置。

12、两点中，X坐标值大的在左；Y坐标值大的在前；Z坐标值大的在上。图2.14中，XAXB,A点在B点之左；YAYB,A点在B点之前；ZBZA,B点在A点之上。属于同一条投射线上的点，在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点。空间的这些点，称为该投影面的重影点。重影点在标注时，将不可见的投影加括号，如C点在上，遮住了下面的A点，所以A点的水平投影用（a）表示。(a) (b)图2.15 重影点的投影2.2.4其他分角的点由于，投影平面是没有边际的，两投影面把空间分为四个部分，每部分称为分角。分别以第一、二、三、四分角命名之，三个投影面将空间分成八个角，如图所示。我国标准规定工程图样采用第一角画法。作

13、业：机械制图习题集P67广 东 技 术 师 范 学 院 天 河 学 院单 元 教 案 首 页 2012年 10 月 日第 周课题： 2.3 直线的投影 课次： 5教学方法： 讲授法，演示法 教具： 尺，规教学目的：掌握直线的投影特性，两直线的相对位置，直角投影定理 教学重点： 重点：直线的投影特性直角投影定理 教学难点：两直线的相对位置直角投影定理教学过程时间分配（包括组织教学：复习旧课、作业问题分析、讲授新课、新课小结、布置作业） 讲授新课： 80分钟 小结、布置作业： 10分钟课后记： 2.3 直线的投影2.3.1 一般位置直线一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长，而且于投影轴的夹

14、角也不反映空间直线对投影面的夹角。(a) (b)图2.16 一般位置直线的投影2.3.2 投影面平行线直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时，称为投影面平行线。正平线平行于V面倾斜于H、W面；水平线平行于H面倾斜于V、W面；侧平线平行于W面倾斜于H、V面。投影面平行线特性：平行于那个投影面，在那个投影面上的投影反映该直线的实长，而且投影与投影轴的夹角，也反映了该直线对另两个投影面的夹角，而另外两个投影都是类似形，比实长要短。它们的投影特性如表2.1所示。3.3.3 投影面垂直线直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时，称为投影面垂直线。正垂线垂直于V面平行于H、W面；铅垂线垂直于H面平行

15、于V、W面；侧垂线垂直于W面平行于V、H面。投影面垂直线特性：垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点，而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实长。它们的投影特性如表2.2所示。例 分析正三棱锥各棱线相对于投影面的位置，如图2.17。棱线SB sb和s b 分别平行于OYH和OZ，可确定SB为侧平线，侧面投影sb反映实长，如图2.17（a）。棱线AC 侧面投影ac重影，可判断AC为侧垂线，a c ac AC，如图2.17（b）。棱线SA 三个投影sa、sa 、 sa对投影轴倾斜，所以必定是一般位置直线，如图2.17（c）。(a) (b) (c)图2.17 分析直线相对于投影面的位

16、置2.3.4 直线上的点直线上点的投影具有从属关系。如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上。反之，若点的各个投影都在直线的同面投影上，则点一定在该直线上。如图2.18（a）所示，若C点在直线AB上，则c在ab上，c在ab上，c在ab上。如果已知直线AB上C点的一个投影c，可按图3.18（b）所示方法作出c和 c。从属于直线的点分割线段长度之比，在投影图上保持不变。(a) (b)图2.18 直线上点的投影如图2.18所示，点C将线段AB分为AC、CB两段，则ACCBaccbaccbaccb。例 已知侧平线AB的两投影ab和ab，以及AB上点C的V面投影c，求作H面投影c，如图2.1

17、9（a）所示。(a) (b) (c)图2.19 求作侧平线上点C的水平投影分析 由于直线AB是侧平线，因此由c不能直接作出c，但根据点在直线上的投影性质，c必定在ab上, 如图2.19（b）所示。作图 作出AB的W面投影ab，同时求出C点的W面投影c。根据点的投影规律，由c、c求作c，如图2.19（c）所示。2.3.5一般位置直线的实长及倾角直角三角形法一般位置直线的投影不反映实长及其对投影面的真实倾角。为了求得其实长及其对投影面的真实倾角，现介绍一种图解方法直角三角形法。 如图2.3-6 （ a ）所示， AB 为一般位置直线，图2.3-6（ b ）为利用一般位置直线 AB 的水平投影 a

18、b 求实长及与其对 H 面真实倾角 的空间模型。自点 A 作 AC ab ，则 ABC 为直角三角形。在这个直角三角形中： 斜边 AB = 直线的实长 BAC = 直线 AB 对 H 面的真实倾角 一个直角边 AC = ab 另一直角边 BC = z B - z A （两点到 H 面的距离差）由此可见，直线段 AB 的实长和对投影面的真实倾角均可利用直角三角形 ABC 求出。所以称此法为直角三角形法。其作图步骤为：              （ 1 ）过水平投影 b

19、 或 a 作 ab 的垂线 bT 。             （ 2 ）在 bT 上量取 bB O = z ，则 aB O 即为 AB 实长， baB O 即为直线 AB 对 H 面的真实倾角 。 应该特别注意的是，在求直线对某投影面的倾角时，所作直角三角形必须以直线在该投影面的投影为一直角边，如图所示。 (a) 求对 H 的倾角 (b) 求对 V 的倾角 (c) 求对 W 的倾角 图 2.3-7求直线对某投影面的倾角2.3-5 直线的迹点 直线与投影面的交点称为该直线的迹点

20、。它是属于直线的特殊点。在三投影面体系中，一般位置的直线倾斜于三个投影面，所以有三个迹点。直线与H面的交点称为水平迹点，常以M标记；与V面的交点称为正面迹点，常以N标记；与W面的交点称为侧面迹点，常以S标记 按照迹点的定义，就可从直线的投影图确定直线的各个迹点。如图3-13所示，由于点M属于H面，故z坐标为零，即m'必在OX轴上；又由于点M属于直线AB，故m'必在a'b'上，m在ab上。因此，求直线AB的水平迹点M的作图过程为： 1.?延长直线AB的正面投影a'b'与OX轴相交于m'。 2.?自m'引OX轴的垂线，与直线的水平投影

21、ab的延长线相交，即确定m的位置。 同理，求正面迹点N的作图过程为： 1. 延长直线AB的水平投影ab与OX轴相交于n。 2. 自n引OX轴的垂线，与直线的正面投影a'b'的延长线相交，即确定n'的位置。2.3.6两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉 ( 异面 ) 。 （一）两直线平行若空间两直线平行，则其同名投影必平行。反之，若空间两直线的各组同名投影平行，则该两直线必平行。 如图所示， AB CD ，则 ab cd ， ab cd， a bcd 。 一般情况下，判断两直线是否平行，只需检查两面投影即可判定， 但若二直线为某投影面平行线，则需

22、视其在所平行的投影面上的投影是否平行而判定。 （二）两直线相交 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律，反之亦然。 如图2.3-12所示，直线 AB 、 CD 相交于 K ，由于点 K 是两直线的共有点，因此，两直线 水平投影 ab 与 cd , 正面投影 ab 与 cd 应分别相交于 k ， k ，且 kk OX 。判断两直线是否相交，在一般情况下，只需判断两面同名投影相交，且交点符合点的投影规律即可，但如果两直线中有一条直线是投影面的平行线，则需进一步判断。 （三）两直线交叉 既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。在投影图上，若两直线的各同名投影既不具有平行两

23、直线的投影性质，又不具有相交两直线的投影性质，即可判定为交叉两直线。 交叉两直线可能有一个或两个投影平行，但不会有三个同名投影平行。交叉两直线的同名投影也可能会相交，但它们的交点不符合点的投影规律，交点实际上是两直线上对投影面的一对重影点的投影。如图2.3-14 所示， 直线 AB 和 CD 的 水平投影的交点是 直线 CD 上的点和 AB 上的点（对 H 面的重影点）的水平投影，直线 AB 和 CD 的 正面投影的交点是 直线 AB 上的点和 CD 上的点 （对 V 面的重影点）的正面投影。2.3-7 直角投影定理 当互相垂直的两直线同时平行于同一投影面时，在该投影面的投影仍为直角。当互相垂

24、直的两直线都不平行于投影面时，投影不是直角。除以上两种情况外，这里将要讨论的情况，作图时是经常遇到的，它是处理一般垂直问题的基础。 定理I：垂直相交（或交叉）的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面的投影仍反映直角。 证明如下：设相交两直线ABAC，且ABH面，AC不平行H面。显然，直线AB垂直于平面AacC（因ABAa，ABAC）。今abAB，则ab平面AacC，因此abac，亦即bac90°。它们的投影图，其中a'b' OX轴（AB为水平线），bac90°。 定理II（逆）：相交两直线在同一投影面的投影成直角，且有一条直线平行于该投影

25、面，则空间两直线的夹角必是直角右图中，DEF的正面投影d'e'f'=90°，又deOX轴，即DE为正平线。根据定理II，DEF必为直角 例 已知定点A及正平线CD。试过点A作直线与已知直线CD垂直相交。 作业：机械制图习题集P812广 东 技 术 师 范 学 院 天 河 学 院单 元 教 案 首 页 2012年 10 月 日第 周课题： 2.4 平面的投影 课次： 6教学方法： 讲授法，演示法 教具： 尺，规教学目的：掌握平面的投影特性了解平面内的点和直线，最大斜度线 教学重点： 重点：平面的投影特性 教学难点：平面内的点和直线，最大斜度线教学过程时间分配（包

26、括组织教学：复习旧课、作业问题分析、讲授新课、新课小结、布置作业） 讲授新课： 80分钟 小结、布置作业： 10分钟课后记： 2.4 平面的投影2.4.1 投影面平行面投影面平行面是指平行于一个投影面而与另外两个投影面垂直的平面。它有三种：水平面(/H面)、正平面(/V面)、侧平面(/W面)。它们的投影特性如表2.3所示。投影面平行面的投影特性：1.平面在所平行的投影面上的投影表达实形；2.其余投影均为直线，有积聚性，且平行于相应的投影轴。2.4.2 投影面垂直面投影面垂直面是指垂直于一个投影面而对另外两个投影面倾斜的平面。按与其垂直的投影面的不同可分为：铅垂面(H)、正垂面(V)、侧垂面(W

27、)三种，它们的投影特性如表2.4所示。投影面垂直面的投影特性：1.在所垂直的投影面上的投影，为倾斜于相应投影轴的直线，有积聚性，它和相应投影轴的夹角，即平面对相应投影面的倾角。2.平面多边形的其余投影均为类似形。2.4.3 一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图2.20所示，ABC与三个投影面都倾斜，所以它的三个投影都不反映实形，但具有类似性。例2.5分析正三棱锥各棱面与投影面的相对位置，如图2.21。(a) (b) (c)图2.22 分析正三棱锥各棱面与投影面的相对位置底面ABC V面和W面投影分别积聚为平行于OX轴和OYW轴的直线段，可确定底面ABC是水平面，水平投影反

28、映实形，如图2.21（a）。棱面SAB 三个投影sab、sab、sab 都没有积聚性，均为棱面SAB的类似形，可判定棱面SAB是一般位置平面，如图2.21（b）。棱面SAC 从W面投影中的重影点a (c) 可知，棱面SAC的一边AC是侧垂线。根据几何定理，一个平面上的任一直线垂直于另一平面，则两平面互相垂直。因此，可判定棱面SAC是侧垂面，W面投影积聚成一直线,如图2.21（c）3.4.4 平面内的点和线1.平面内的点点在平面内时，该点必在平面内的一已知直线上。因此，在平面内找点时，一般要在平面内作辅助线，然后在所作直线上取点。例 已知ABC平面内点K的正面投影k¢，求水平投影k，如

29、图2.22(a)。作图 过K点可作任意直线，一般为了作图简便，往往可过平面上已知点作直线，如图2.22(b)所示，可过k¢作a¢d¢，则点K的水平投影必在AD的水平投影上，即求出K点的水平投影k。(a) (b)图2.22 求作一般位置平面上点的投影2.平面内的线直线在平面内的几何条件如下： 直线通过平面内的已知两点； 直线含平面内的已知点，又平行于平面内的一已知直线。例2.7判断点D是否在ABC确定的平面内，如图2.24所示。分析 如果点D在平面内，则与平面内的任意点的连线应满足直线在平面内的几何条件。作图 连a¢d¢，交b¢c

30、62;于l¢点。连a1并延长，不和d¢d交于d点，可见1不在AD的水平投影上，所以D不在平面内。 (a) (b)图2.24 判断点D是否在平面内3.最大斜度线的定义 属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度线。它是属于并垂直于该平面的投影面平行线的直线。 平面上垂直于水平线的直线，称为对水平投影面的最大斜度线。 平面上垂直于正平线的直线，称为对正立投影面的最大斜度线。 平面上垂直于侧平线的直线，称为对侧立投影面的最大斜度线。 作业：机械制图习题集P1314广 东 技 术 师 范 学 院 天 河 学 院单 元 教 案 首 页 2012年 10 月 日

31、第 周课题： 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置 课次：教学方法： 讲授法，演示法 教具： 尺，规教学目的：掌握直线与平面、平面与平面的相对位置 教学重点： 重点：直线与平面、平面与平面的相对位置 教学难点直线与平面、平面与平面的相对位置教学过程时间分配（包括组织教学：复习旧课、作业问题分析、讲授新课、新课小结、布置作业） 讲授新课： 80分钟 小结、布置作业： 10分钟课后记： 2.5 直线与平面的相对位置·两平面的相对位置 直线与平面之间和两平面之间的相对位置可分为平行、相交及垂直三种情况。重点讨论下述三个问题:1.平行问题（在投影图上如何绘制及判别直线与平面平行和两平面平

32、行的问题。）2.相交问题（ 如果直线与平面及两平面不平行，在投影图上如何求出它们的交点或交线。）3.垂直问题（ 在投影图上如何绘制及判别直线与平面垂直和两平面垂直的问题。） 2.5.1 直线与平面平行·两平面平行 一、直线与平面平行从初等几何知道，若一直线平行于属于定平面的一直线，则直线与该平面平行。右图说明，直线AB平行于属于平面P的直线CD，则直线AB与平面P平行。例. 试判断已知直线AB是否平行于定平面CDE例 过已知点K作一水平线平行于已知平面ABC 二、两平面平行 从初等几何知道，若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行。右图说明，两对相交

33、直线AB、BC和DE、EF分别属于平面P和Q，且它们对应平行，则平面P和平面Q相互平行。 例 试判断两已知平面ABC和DEF是否平行例. 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过定点K作一平面平行于已知平面 判断两平行平面是否同时垂直某一投影面 若要判断两平行平面是否同时垂直某一投影面，则只检查具有积聚性的投影是否平行即可。分析：已知平面P平行于平面Q，且平面P、Q均垂直于H面。根据投影面垂直面的性质，属于平面P、Q上所有直线（在平面P、Q上总可以各作出一对相交两直线相互平行）的水平投影分别积聚在水平迹线PH、QH上又根据两平行平面P、Q与第三平面H相交，其交线PH、QH必平行的原理，即PH

34、QH。 2.5-2 直线与平面的交点·两平面的交线本节讨论直线与平面的交点和两平面交线的求法。直线和平面相交只有一个交点，它是直线和平面的共有点。它既属于直线，又属于平面。两平面的交线是一直线，这条直线为两平面所共有。欲找出这一直线的位置，只要找出属于它的两点（或找出一点和交线的方向）即可。 一、直线与特殊位置平面相交 由于特殊位置平面的某些投影有积聚性（也可以迹线表示），交点可直接得出。 铅垂面用三角形AB表示图为直线MN和铅垂面ABC相交。ABC的水平投影abc积聚成一直线。交点K既然是属于平面的点，那么它的水平投影一定属于ABC的水平投影。但交点K又属于直线MN，它的水平投影必

35、属于MN的水平投影。因此水平投影mn与abc的交点k，便是交点K的水平投影。然后，在mn上找出对应于k的正面投影k。点K（k，k）即为直线MN 和ABC的交点。 判别可见性：图中K是直线MN和DEF的交点。为了使图形层次分明DEF遮住部分用虚线表示。交点K是直线MN可见部分和不可见部分。 铅垂面用迹线PH表示右图表示直线MN和同一个铅垂面相交，但平面以迹线PH表示。由于PH有积聚性，故mn和PH的交点k即为所求交点的水平投影。然后，在mn上作出对应于k的正面投影k。K（k，k）即为所求的交点。 二、一般位置平面与特殊位置平面相交常把求两平面交线的问题看作是求两个共有点的问题。欲求出右图中两平面

36、ABC和DEF的交线，按图5-13分析，只要求出属于交线的任意两点（例如K和L）就可以了。显然，K、L是AC、CB两边与DEF的交点。 DEF的交线是铅垂面，直线AC、BC与特殊位置平面交点的求法在前面已经研究过，其作图过程见图5-11，所得的KL（kl,k'l'）即为两平面交线。 图5-12表示ABC和同一个铅垂面相交，铅垂面用迹线PH表示。其原理和作图过程与图5-11完全相同。 判别可见性 三、直线与一般位置平面相交 由于一般位置平面的投影没有积聚性，所以当直线与一般位置平面相交时，不能在投影图上直接定出交点来，而必须采用辅助平面，经过一定的作图过程，才能求得。 假设点K为

37、直线DE与平面ABC的交点，则点K必属于ABC面上的一簇过点K的直线（MN、FG、LV、）。为求该簇直线之一，只要包含直线DE任作一辅助平面S，求出平面S与已知平面的交线，例如MN，如图所示。这时，直线DE与交线MN的交点K即为所求。为便于在投影图上求作交线，应使辅助平面S处于特殊位置，便可利前述方法作图。 在投影图上按照如下三步求出交点：以正垂面为辅助面作图 空间分析 作图 在投影图上按照如下三步求出交点：以正垂面为辅助面作图 判别可见性：判别可见性的原理是利用重影点。在图中取一对位于同一正垂线的重影点I(1,1)和II(2,2)。点I(1,1 )属于KN，点II(2,2 )属于DE。从水平

38、投影上看，I比II离OX轴远，因此KN在DE的前面。所以在正面投影上把kn画成粗实线，而把另一端被平面遮挡部分画成虚线。同理，用同一铅垂线上的一对重影点III(3,3)和IV(4,4)可以判定MK在DE的上面。也就是说，自上而下看，MK是可见的。因此在水平投影上把mk画成实线，而把另一端被平面遮住部分画成虚线。 四、两个一般位置平面相交 （一）用直线与平面求交点的方法求两平面的交线对两个一般位置的平面来说，同样也可用属于一平面的直线与另一平面求交点的方法来确定共有点。但直线与一般位置平面的交点必须经前述的三个作图步骤才能作出。下图所示两平面ABC和DEF相交。可分别求出边DE及DF与ABC的两

39、个交点K（k,k）及L(l,l)。KL便是两个三角形平面的交线。由于ABC是一般位置平面，所以求交点时，过DE及DF分别作了辅助平面S和R。 右图所示为两个平面相交后可见性的判别。分析：两平面交线是两平面在投影图上可见与不可见分界线，根据平面的连续性，我们只要判别出平面的一部分的可见性，另一部分自然就明确了。尽管每个投影面上都有4对重影点，实际只要分别选择一对重影点判别即可。 （二）用三面共点法求两平面的交线右图是用三面共点法求两平面共有点的示意图，图中已给两平面R和S。为求该两平面的共有点，取任意辅助平面P，它与R、S分别相交于直线I? II和III? IV，而I? II和III? IV的交

40、点K1为三面所共有，当然是R、S两平面的共有点。同理作辅助平面Q可再找出一个共有点K2。K1 K2即为R、S两平面的交线。 下图中ABC和一对平行线DE、FG各决定一平面。为求该两平面的交线，根据图5-18所示的原理，取水平面P为辅助平面。利用PV有积聚性，分别作出平面P与原有两平面的交线I II（12，12），III IV(34，34)。I II和III IV的交点K1（k1, k1）便为一个共有点。同理，以辅助平面Q再求出一共有点K2（k2，k2）。K1 K2即为所求的交线。辅助平面P、Q是任意取的，为了作图简便，应取特殊位置面为辅助面，这里取的是水平面。若取正平面或其他特殊位置平面，则作图过程也一样。用三面共点法求共有点是画