第7组 鲍敏 周伟国 郭世雄 财政收入预测问题

1、财政收入预测问题摘 要 为解决财政收入预测问题，我们分别使用了回归分析法和灰色预测法及阻滞增长等方法，建立了三个相应的模型来解决。模型一：针对问题1，利用回归分析法，建立了回归模型。确定后五年各项因素的预测值，由此预测出后五年的财政收入：年份20102011201220132014财政收入（亿元）84060.499133.8116667.6137037.7160674.6模型二：针对问题2，采用灰色预测法，建立了灰色预测模型。确定后五年各项因素的预测值，由此预测出后五年的财政收入：年份20102011201220132014财政收入（亿元）81812.397852.8116996.813984

2、1.9167099.5 模型三：针对问题3，利用阻滞增长的方法，建立了S型阻滞增长模型。根据题中20052009年的各项因素原始数据，利用拟合求出曲线方程，确定后五年的各项因素的预测值，由此预测出后五年的财政收入：年份国民收入（亿元）工业总产值（亿元）农业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入（亿元）2010387636.7170887.139696.2134134.2226421.979908.02011429267.6180592.143201.5134788.6253657.188845.22012467981.0187855.046508.8135435.927785

3、6.796819.92013502916.7193143.149564.4136076.0298474.4103670.62014533599.9196916.852333.1136709.0315421.2109362.8绘制出20052037年财政收入预测值散点图，并结合20052037年的预测数据，以此确定我国将于2027年进入经济发达国家，届时我国的各项因素与财政收入的具体数值：年份国民收入（亿元）工业生产总值 （亿元）农业生产总值 （亿元）总人口 （万人）固定投资资产（亿元）财政收入（亿元）202766507820541866853144286369668128056最后，对预测的数

4、据进行误差分析，得出模型三的预测误差最小，准确性较高，其误差为。并对模型进行了评价与推广，进一步保证了模型的合理性。1.摘要写得不错！2。问题4要单独做一模型。5。附录还要求加强整理关键词：财政收入 阻滞增长 软件 回归分析 灰色预测1 问题重述1.1问题背景财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资等因素有关。根据题中提供的19782009年的原始数据（见附录），预测后五年的财政收入。1.2问题提出 1用回归分析法（最小二乘法）构造财政收入预测模型，预测后五年的财政收入值是多少？ 2用灰色预测法预测出后五年各因素的预测值后，预测财政收入是多少？ 3用阻滞增长的方法预测出

5、后五年各因素的预测值后，预测财政收入是多少？并估计我国将于何年进入经济发达国家，届时我国的各项因素值与财政收入值将达到多少？2模型假设与符号说明2.1模型的假设：（1）题中的数据来源真实、可靠；（2）我国社会稳定、经济发展平稳；（3）单位时间内财政收入的增长速度与经济发展速度成正；=？（4）当总人口为0时，财政收入为0。2.2符号说明：年份（）；：财政收入； ：（）分别表示国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资； ：数据矩阵； ：数据向量；：发展灰数；：内生控制灰数；：原始数据列；：累加生成列； ：型曲线（阻滞增长模型）的未知统计量。3问题分析针对问题，要求预测后五年的财政收入

6、。对于这个问题，依据以下两个原则对其合理性进行分析：1.预测后五年的财政收入应有理论依据且数据可靠；2.使财政收入预测特别是长期预测更符合实际情况。基于上述的两个原则，应全面分析题目中给出的信息及提出的要求，进行探讨：3.1问题1的分析：首先，依据题意，财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资等因素有关。结合问题假设，分析题目中给出的信息数据（即19782009年财政收入与各项因素的原始数据），利用回归分析进行预测，画出散点图。其次，分析图中反映的具体情况，利用软件对财政收入与各项因素进行拟合，分别求出财政收入与各项因素之间的函数关系及其相关系数，同时根据数据，求出财政

7、收入的回归方程。再次，根据各项因素与年份的数据，画出散点图。观察可知，各项因素与年份均呈现出指数函数形式。求出各项因素与年份之间的关系，并预测出后五年各项因素的值，将其代入回归方程，即可预测出后五年的财政收入。最后，对各项因素的模型做出误差分析。3.2问题2的分析：首先，综合考虑题目中给出的信息与问题二的要求，通过分析得知在此问题中，可把附录的数据看作已知的定数，把需要预测的数据视为未知的不确定数。其次，在选用灰色预测进行预测时，由于题中给出的数据较多，为便于计算，取20052009五年的各因素的原始数据。依据所取的原始数据构造出累加生成序列，结合最小二乘法得到待估参数向量的函数关系式，再构造

8、出数据矩阵与数据向量，运用编程求解估计参数，进而得到相应的灰色预测模型并代入值，即可求出各项因素的预测值。再次，将所求各项因素的预测值代入到问题1财政收入预测模型中预测出后五年的财政收入。最后，对各项因素的模型做出误差分析。3.3问题3的分析：首先，根据全世界的经济情况可以得知，当一个国家经济水平较低时，财政收入增长较快。当国际经济从一个低水平向高度发达国家经济变化的过程中，财政收入的增长将逐渐趋于平稳，增速也逐步趋于0。其次，综合考虑题中的相关信息，根据题中20052009年的各项因素实际值，利用阻滞增长模型对后五年各项因素与年份进行预测。其模型符合型增长曲线，将型增长曲线两边取对数即可得到

9、线性方程，利用拟合求出曲线方程，并代入值，即可求出后五年的各项因素的预测值，将其代入问题1财政收入预测模型中即可求得后五年的财政收入预测值。 再次，画出20052037年的散点图，观察散点图，并结合20052037年的预测数据，以此确定我国将于何年进入经济发达国家，届时我国的各项因素与财政收入将达到何值。最后，对各项因素的模型做出误差分析。4 模型的建立与求解4.1模型一的建立 根据问题1的分析，利用回归分析法建立模型一。1.绘制财政收入与各因素的散点图根据19782009年财政收入与各因素的原始数据，利用绘制出其散点图,如图1： 图1 财政收入与各因素的散点图2.确定出财政收入与各因素之间的

10、关系，并建立财政收入预测模型对图形1进行分析可知，财政收入与各因素呈现出线性关系。利用编程（见附录）即可得出财政收入与各因素之间的关系式，表达式如下： 财政收入与国民收入： 财政收入与工业总产值： 财政收入与农业总产值： 财政收入与总人口： 财政收入与固定资产投资： 同时也得出财政收入与各因素的相关系数，如表1：表1 财政收入与各因素的相关系数国民收入工业生产总值农业生产总值总人口固定资产投资财政收入相关系数0.97770.97720.89230.5417 0.99670.9985对表1进行分析可知，各相关系数均大于0.5，说明财政收入与各因素之间的确呈现线性关系。利用编程（见附录）建立财政收

11、入预测模型: 3.确定各因素与年份之间的关系 根据19782009年各因素与年份的原始数据，利用绘制其散点图，如图2； 图2 各因素与年份的散点图 对图形2进行分析可知，随着年份的增长，我国是发展中国家，各因素也飞速增长，由上述散点图可知各因素与年份大致呈指数型增长。设国民收入与年份的关系为，利用非线性最小二乘拟合法，通过利用编程（见附录）即可得知，进而得到 （1） 同理得到工业生产总值与年份： （2） 农业总产值与年份： （3）总人口与年份： （4）固定资产投资与年份： （5）4.计算后五年的财政预测值 将（即3337）值分别代入（1）（2）（3）（4）（5）式，得到各因素的预测值，再将其代

12、入财政收入预测模型中，得到后五年的财政收入预测值，见表2表2 回归预测后五年的财政收入与各因素的数值年份国民收入（亿元）工业总产值（亿元）农业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入（亿元）2010375909.2177634.636197.9184051.6235630.884060.42011425430.8201233.539058.6191477282401.799133.82012480722.2227608.942096.6199056.5337811.8116667.62013542383.4257052.845320.4206791.8403354.313703

13、7.72014611070.6289884.848739.3214684.9480765160674.65.作出误差分析： 根据所得的表达式将值代入，预测出20052009年各项因素的值，并与题目所提供的原始数据比较得出误差比，如表3表3 回归预测各因素的相对误差年份相对误差国民收入 工业生产总值农业生产总值总人口固定投资资产20057%6%8%14%4%20066%3%10%19%2%20071%3%0%23%2%20084%6%9%28%6%20093%0%5%32%1% 对表3相对误差的结果分析可知，最大误差达到32%，说明利用回归分析法不能够很好的达到预测的目的，由此需要做进一步的改进

14、。4.2模型二的建立 根据问题2的分析，利用灰色预测法建立模型二。1.预备知识 灰色预测法：是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色系统是介于白 色系统和黑色系统之间的一种系统。白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的。 灰色时间序列预测：即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。2.确定各因素与年份之间的关系由于题目中给出的数据较多，为便于计算，选用20052009五年国民收入的原始数据来进行灰色预测。记原始序列为生成序列为 建立白化形式的微分方程（影子方程）：设

15、，按最小二乘法得到：其中= =综合以上，白化形式微分方程的解为称之为时间响应函数，以上计算过程可以通过软件编程实现（见附录）即可得出国民收入的预测模型： （6）同理可得：工业生产总值的预测模型： （7）农业生产总值的预测模型： （8）总人口的预测模型： （9）固定投资资产的预测模型： （10）3.计算后五年各因素的预测值 将（即3337）值分别代入（6）（7）（8）（9）（10）式，得到各因素的预测值，再将其代入财政收入预测模型中，得到后五年的财政收入预测值，见表4表4 灰色预测后五年的财政收入与各因素的数值年份国民收入（亿元）工业总产值（亿元）农业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（亿

16、元）财政收入（亿元）2010404093.4183706.341158.4134161.9237873.481812.32011471371.2210237.646615.2134847.9286099.297852.82012549850.2240600.652795.6135537.4344102.1116996.82013641395.3275348.759795.3136230.4413864.4139841.92014748181.7315115.267723.1136927.0497770.2167099.54.作出误差分析 根据所得的表达式将值代入，预测出20052009年各项因

17、素的值，并与题目所提供的原始数据比较得出误差比，如表5表5 灰色预测法预测各因素的相对误差年份相对误差国民收入工业生产总值农业生产总值总人口固定投资资产20050%0%0%0%0%20062%4%4%0%3%20072%2%1%0%0%20082%4%6%0%5%20091%2%3%0%2% 对表5相对误差的结果分析可知，最大误差达到6%，较模型一精确度有所提高，但为了预测的准确性，由此需要做进一步的改进。4.3模型三的建立 根据问题3的分析，利用阻滞增长法建立模型三。1.确定各因素与年份之间的关系起初我国是发展中国家，经济发展迅速，财政收入及国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产

18、投资等增长较快。步入21世纪我国由发展中国家转入中等发达国家水平发展，发达国家的财政收入及各因素相对与发展中国家增长缓慢，渐渐趋于平缓，其增长类似于型增长曲线，其模型一般为： （11）将（11）式两边分别取对数，将其线性化得： （12） 由于题目中给出的数据较多，为便于计算，选用20052009五年各因素的原始数据来进行分析。（12）式中含有三个未知数，需要从国民收入的原始数据中取出三组等距的点代入（12）式（一般总取始点、中点、末点）：（28，184089），（30, 259259），（32, 343464）得三元方程组： 解这个三元一次方程组，消去得： 其中因此得出关于的式子为： 将代入即

19、为求出的值： 之后将求出的值代入（指20052009年的国民收入） 将上述数据关系式利用编程（见附录）即可求得将的值代入（11）式可得型曲线为： （13）同理可得：工业生产总值预测模型： （14）农业生产总值预测模型： （15）总人口预测模型： （16）固定投资资产： . （17）2.计算出后五年各因素的预测值 将（即3337）值分别代入（13）（14）（15）（16）（17）式，得到各因素的预测值，再将其代入财政收入预测模型中，得到后五年的财政收入预测值，见表6表6 组滞增长预测后五年的财政收入与各因素的数值年份国民收入（亿元）工业总产值（亿元）农业总产值（亿元）总人口（万人）固定资产投资（

20、亿元）财政收入（亿元）2010387636.7170887.139696.2134134.2226421.979908.02011429267.6180592.143201.5134788.6253657.188845.22012467981.0187855.046508.8135435.9277856.796819.92013502916.7193143.149564.4136076.0298474.4103670.62014533599.9196916.852333.1136709.0315421.2109362.83.绘制各因素的预测值和原始数据与年份的关系图根据拟合的曲线，利用绘制出各

21、因素的预测值和原始数据与年份的关系图，如图3： 图3 各因素的预测值和原始数据与年份之间的关系图从图3中不难看出拟合度较高，但仍需作出误差分析，从数据的角度分析拟合度的高低。4. 确定我国进入发达国家的年份及财政收入与各因素的数据利用型拟合曲线预测20052037年的财政收入，如表7：表7 20052037财政收入预测值年份财政收入 （亿元）年份财政收入 （亿元）年份财政收入 （亿元）2005335242016117583202712805620064166420171203822028128136200750744201812250920291281902008604322019124102

22、203012822920097030420201252822031128255201079909202112614720321282742011888462022126775203312828820129682020231272282034128299201310367120241275512035128307201410936320251277812036128315201511396020261279432037128321为了更加直观的观察出我国进入发达国家的年份，利用绘制出其散点图，如图4： 图4 20052038财政收入预测值散点图对图4进行分析，易知横坐标为50（即为2027年）时

23、财政收入增长趋于稳定，这一年进入发达国家。根据模型三计算出2027年财政收入与各因素的具体数值：年份国民收入（亿元）工业生产总值 （亿元）农业生产总值 （亿元）总人口 （万人）固定投资资产（亿元）财政收入（亿元）2027665078205418668531442863696681280565.作出误差分析：（要单独做一模型）根据所得的表达式将值代入，预测出19782009年各项因素的值，并与题目所提供的原始数据比较得出误差比，如表8表8 阻滞增长法预测各因素的相对误差年份相对误差国民收入工业生产总值农业生产总值总人口固定投资资产20051%1%2%0%1%20062%3%5%0%2%20070

24、%0%0%0%1%20081%2%5%0%3%20090%1%2%0%2%对表8相对误差的结果分析可知，最大误差达到5%，比前两个模型的精确度均高，说明此模型预测的准确性较高。5 误差分析利用相对误差与绝对误差相结合的办法，进行误差分析。根据前三种模型的20052009财政收入预测值，并结合财政收入的原始数据计算出绝对误差；将绝对误差与原始数据相比，得到相对误差。以上计算过程可以通过软件编程实现（见附录），具体数值如表9：表9 20052009年财政收入的实际值与预测值的误差表年份序号实际值回归分析法灰色预测法组滞增长法预测值绝对误差相对 误差预测值绝对误差相对 误差预测值绝对误差相对 误差2

25、005283164935507385812%3364519966%3349818496%200629387604242436649%4226435049%4163528757%20073051322505357872%5009312292%507156071%200831613306002813022%5944618843%604019292%200932684777112126444%7061821413%7027217953%对表9进行分析，可知回归分析法与灰色预测法的相对误差较大，阻滞增长模型的相对误差在误差允许的范围内，预测准确性较高，其预测结果更加接近实际数据，可信度较高。6 模型评

26、价与推广6.1模型的优点：（1）建立的模型能与实际紧密联系，并结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。（2）基本模型对问题的描述精确、合理、推导严谨、理论性强。（3）模型原理简单明了，容易理解与灵活运用。（4）模型的建立中有成熟的理论基础和利用专业的软件进行求解，可信度较高。 （5）建立的模型与实际紧密联系，充分考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。（6）模型中数据的不确定影响因素有很多，因此使用灰色预测法、回归分析、人口阻滞模型三种方法求解目标数值，并经过比较选出最为准确的一种方法，使得所得数值更具有准确性和说服力6.2模型的缺点：

27、（1）模型建立过程中，为了更有利于模型化，我们做了很多假设。这些假设定会给模型反映实际情况带来一定误差。（2）针对本文的数据计算，结合实际情况，进行了必要的处理（如取整数据），这样势必要影响计算的精确性。6.3模型的推广：本案例建立的模型解决了对未来进行预测的合理方案，采用了回归分析，灰色预测，阻滞增长模型解决问题的方法。因此，本模型还可应用与其他类似，如：工程预算、经济增长、昆虫增长问题、人口增长问题、城市最低生活保障金的确定等，尤其对费率的粗略估算与预测方面的问题，更是简便易行，效果明显，只需稍微改动模型即可。7参考文献1 吴建国主编数学建模案例精编 北京水利水电出版社 2005.5 2

28、刘慧颖主编MATLAB 清华大学出版社 20083 姜启源 谢金星 叶俊主编数学模型（第三版）高等教育出版社 2003.28 附录附录：function regre()x=3645 1745 1026 96259 550 %19782009各因素的原始数据4063 1914 1270 97542 5644546 2192 1372 98705 5684890 2256 1560 100072 9615331 2383 1777 101654 12005986 2646 1978 103008 13697244 3106 2316 104357 18339041 3867 2564 105851

29、 254310274 4493 2789 107507 312112051 5252 3233 109300 379215037 6587 3865 111026 475417001 7278 4266 112704 441018718 7717 5062 114333 451721826 9102 5342 115823 559526937 11700 5867 117171 808035260 16454 6964 118517 1307248109 22445 9573 119850 1704259811 28680 12136 121121 2001970143 33835 14015

30、 122389 2291478061 37543 14442 123626 2494183024 39004 14818 124761 2840688479 41034 14770 125786 2985598001 45556 14945 126743 32918108068. 49512 15781 127627 37214119096 53897 16537 128453 43500135174 62436 17382 129227 55567159587 73904 21413 129988 70477184089 87365 22420 130756 88774213132 1031

31、62 24040 131448 109998259259 124799 28627 132129 137324302853 146183 34000 132802 172828343464 156958 35226 133474 194138;y=1132 %19782009财政收入原始数据114611601176121213671643200521222199235726652937314934834349521862427408865198761144413395163861890421715263963164938760513226133068477;x1=ones(32,1),x(:,

32、1);x2=ones(32,1),x(:,2);x3=ones(32,1),x(:,3);x4=ones(32,1),x(:,4);x5=ones(32,1),x(:,5);X=ones(32,1),x;b1,bint,r,rint,stats1=regress(y,x1);b2,bint,r,rint,stats2=regress(y,x2);b3,bint,r,rint,stats3=regress(y,x3);b4,bint,r,rint,stats4=regress(y,x4);b5,bint,r,rint,stats5=regress(y,x5);b,bint,r,rint,stat

33、s=regress(y,X);format long gb1,stats1b2,stats2b3,stats3b4,stats4b5,stats5b,stats附录:编辑文件:function h=regre3(date,k)a=date(1);b=date(2);h=a*exp(k.b);命令窗口中输入：>> k=1:32;>> h=3645 %19782009国民收入原始数据4063454648905331598672449041102741205115037170011871821826269373526048109598117014378061830248847

34、998001108068.119096135174159587184089213132259259302853343464'>> date=1 1;>> day=lsqcurvefit('regre3',date,k,h)Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.附录：求解：function f=qzx=184089 397221 656480 959333 1302797; %20052009年的国民收入原始数据z(

35、1)=x(1);for i=2:5 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1);endformat longf=z;求解：function h=qaB=-290655 526850.5 807906.5 1131065',ones(4,1);Y=213132259259302853343464;format longa=inv(B'*B)*B'*Y预测20052014年国民收入：function f=qxfor i=1:10 X(i)=1310888.7539*exp(0.154*(i-1)-1126799.7539endformat long gx(1)=X(1);f

36、or i=2:10 x(i)=X(i)-X(i-1);endx国民收入工业生产总值农业生产总值总人口固定资产投资发展灰数-0.154-0.1349-0.1245-0.0051-0.1846内生控制灰数173527.162188250.520697.6130451.087117.2附录：function f=zz()x0=184089; %2005年的国民收入原始数据x1=259259; %2007年的国民收入原始数据x2=343464; %2009年的国民收入原始数据k=(x1*(2*x0*x2-x1*(x0+x2)/(x0*x2-x12)x=3645 %19782009国民收入原始数据406

37、3454648905331598672449041102741205115037170011871821826269373526048109598117014378061830248847998001108068119096135174159587184089213132259259302853343464'i=28:32;X=log(k-x(i)./x(i);n=5;a1=sum(i);a2=sum(X);a3=sum(i.2);a4=sum(i.*X);a5=a1./n;a6=a2./n;format long gb=(a4-a5.*a2)/(a3-a1.2./n)a=a6-a5*

38、by1=k./(1+exp(a+b.*i)q=abs(y1-x(i)./x(i)j=28:37;y2=k./(1+exp(a+b.*j)附录：function f=hgt=1:32;x1=266.0540.*exp(t.0.5667);x2=121.0178.*exp(t.0.5682);x3=180.2288.*exp(t.0.4771);x4=5038.2658.*exp(t.0.3662);x5=19.8425.*exp(t.0.6403);format long gy=ceil(0.1399.*x1+0.0502.*x2-0.7299.*x3+0.0231.*x4+0.1898.*x5);h=1132 %19782009财政收入原始数据1146116011761212136716432005212