(完整word版)相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案,推荐文档

1、拔高题目量力而行拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。一、基础知识（不局限于此）（一）.比例1 .第四比例项、比例中项、比例线段；2 .比例性质：（1）基本性质：?=三 0 ad = be - = <=> /?2 =ac b ab c,、人a ca±b c±d（2）合比定理：- = -=> = b dbd 4 c 4 ma + c+A + m a . . 4 八（3）等比定理：=A => = .（/? +J +A + 。0）b a nb + d +A + bAP R3 .黄金分割：如图，若则点P为线段AB的黄金分割点.八。oo

2、4 .平行线分线段成比例定理（二）相似1 .定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2 .相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例，对应角相等.3 .相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4 .相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比. （3）相似三角形的面积

3、比等于相似比的平方. （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5 .三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。6 .梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7 .相似三角形的应用：1、利用三角形相似，可证明角相等：线段成比例（或等积式）：2、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。（三）位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应

4、点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形 叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例1.如图在4X4的正方形方格中，ABC和4DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上.（1）填空：NABC二（2）判定AABC与4DEF是否相似？考点透视本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.参考答案135° , 2" 能判断AABC与4DEF相似，DE EF【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断.例2.如图所示，D、E两点分别在ABC两条边上，且D

5、E与BC不平行，请填上一个你认 为适合的条件，使得ADEsABC.考点透视本例主要是考查相似的判定参考答案N1=NB或N2二NC,或竺=生 AB AC点评：结合判定方法补充条件.例3.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E 处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）AA.45米 B.6米 07.2米 D. 8米考点透视本例主要是考查相似的应用参考答案B例4.如图，ZkABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,高AD二80mm,要把它加工成正方 Jfk-形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在A

6、B、AC上，这个正方形零件的 边长是多少？考点透视本例主要是考查相似的实际应用参考答案48mm/【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问座，一般运用相似三角形“对 bqdm 应高之比等工相似比“这一性质来解答.例5.如图所示，在ABC中，AB=AC二1,点D、E在直线BC上运动，设BD=x, CE=y.（1）如果NBAC=30° , ZDAE=105° ,试确定y与x之间的函数关系式：（2）如果NBAC的度数为a , NDAE的度数为B,当。、8满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由.生考点透视本例主要是考查相似与函数的综合运用./

7、7V参考答案解：在ZABC 中，AB=AC=1, NBAC=30" , ZABC= ZACB=75° , ZABD= 诋/ /NACE=105° .后又NDAE= 1050 ,NDAB+NCAE=75° .又 NDAB+ ZADB=ZABC=75° ,/. ZCAE=ZADB, AAADBAEAC,.AB _BD即 1 _ x.vECACy 1x当Q邛满足-二90',尸，仍成立. 2x此时 NDAB+NCAE= B - a , /. ZDAB+ZADB= B - a ,/. NCAE二NADB.又 TN ABD 二 NACE, AAAD

8、BAEAC, /.y=-.X【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系.例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3. 5cmX3. 5cm,放映的荧屏的规格为2mX2m, 若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？ 解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本眶可以转化为位似问题解 答.考点透视本例主要是考查位似的性质.参考答案与m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质.三.适时训练(一)精心选一选ni + n(A)2mn(B)mn(C)i

9、n + n(D)mn2mn2.如图，在正三角形ABC中,ah iD, E 分别在 AC, AB 上，且=一，AE=BE,贝ij ()AC 3(A) MEDsABED (B) MEDsCBD (C)hEDsaaBD (D) ABADsABCD1.梯形两底分别为"人，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为()第5页3 .尸是R/AABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作立线截ABC,使截得的三角形与ABC相似, 满足这样条件的直线共有()(A)l 条 (B)2 条 (0 3 条 (D)4 条4 .如图，NA3O=NACD,图中相似三角形的对数是()(A) 2(B

10、) 3(C) 4(D) 55 .如图，ABC。是正方形，E是。的中点，尸是8c边上的一点，卜.列条件中，不能推出/46P与 相似的是()(A) NAPB=NEPC (B) NAPE=90° (C) P 是 BC 的中点(D) BP : BC=2 ： 36 .如图，AABC中，AO_L8c于。，且有下列条件：CD AC , (1) N8+NZMC 90° ； (2) NB - NDAg (3)； (4) AB2-BD - BCAD AB其中一定能够判定AABC是直角三角形的共有()(A) 3 个 (B)2 个 (C)l 个 (D)0 个7 .如图，将ADE绕正方形48c。顶点

11、A顺时针旋转90“，得ABF,连结七人交于从 则卜.列结 论中错误的是()(A) AE1AF (B) EF ： AF= 41 ： 1 (C) AF2=FH FE (D) FB ： FC=HB ： EC8 .如图，在矩形ABC。中，点E是4。上任意一点，则有()(A) AA8E的周长+ ZXCDE的周长= Z8CE的周长(B) AABE的面枳+4CDE的面枳=4BCE的面积(C) MBEs4DEC (D) MBEs4EBC9 .如图，在 Z34BC0 中，E 为 40 上一点，DE： CE=2： 3,连结 BE、BD,且 HE、8。交于点 F,贝$30£尸- SEBF * S"

12、;等于()(A) 5 ： 12(B) 9 ： 5(C) 12 ： 5(D) 3 ： 211 .如图，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，J1AE=9a&连结EM并延长，交BC的延 4长线于。，此时8C：。为()(A) 2 ： 1(B)3 ： 2(C)3：l(D) 5 ： 212 .如图，矩形纸片A6co的长AO=9 cm,宽A5=3cni,将其折叠，使点。与点6重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为()(A) 4 cm、V10 cm (B) 5 cm、yfiQ cm (C) 4 cm. 2途 cm (D) 5 cm. 2>/3 cm题12(二)细心填一填13 .己知

13、线段。=6 cm, h=2 cm>则a、b、a+b的第四比例项是cm, a+与ab的比例中项是cm.+ a + b b + c a + c , lt.14 .若=-=一厂,则 m=.cab15 .如图，在八48。中，A8=AC=27,£> 在 AC 上，且 8D=8C=18,OE8C 交 A8 于 E,则 0E=16 .如图，2BC0 中，£ 是 AB 中点，尸在 上，SlAF=-FD. EF 交 4c 于 G,则 AG ： AC=2题16题17题1817.如图，A8C。，图中共有对相似三角形.18 .如图，已知ABC,尸是A8上一点，连结CP,要使ACPs/x

14、abc,只需添加条件 (只要写 出一种合适的条件).19 .如图，八。是的角平分线，OE人C, EF/BC.人/一4,则。上的长等于.拔高题目量力而行A题19题20题2120 .如图，/MBC 中，AB=AC, AO_L8C 于 £>, AE=EC, AD=18, BE=15,则ABC的面积是.21 .如图，直角梯形 ABC。中，AD/BC. AC±AB. AO=8, BC=10,则梯形 ABC。 面积是.22 .如图，已知 AO"6C, RAE=2EBf AD=3 cm> AD=S cm, BC= 14 cm.贝lj S HiKAfFD : S BC

15、FE =（三）认真答一答23 .方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在图示的10X 10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点：角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，井标 明相应字母）.24 .如图，中，CQ_LAB于O. E为BC中点，延长AC、。£相交于点尸,AFDF25 .如图，在46C中，A8=AC,延长8C至O,使得。=8C, CELBD交AD于E,连结BE交AC-第5页拔高题目量力而行于F,求证4尸=尸。.第#页26 .已知：如图，F是四边形ABC。对角线AC上一点，EF/BC, FG/AD.求证:AE , CG +=1.A

16、B CD27 .如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过。作OGL8C于G,分别交CE及8A的延长线于F、 H,求证：0)DG2=BG CG； (2) BG CG=GF GH.28 .如图，NABC=NCDB=90° , AC=a, BC=b.(1)当BD与a、之间满足怎样的关系时，AABCsACDB?(2)过A作8。的垂线，与。8的延长线交于点E,若4BCsACDB. 求证四边形AEQC为矩形(自己完成图形).29 .如图，在矩形ABCD中，E为AO的中点，EF上EC交AB于F,连结FC (AB>AE).拔高题目量力而行（1） 反与是否相似？若相似，证明你的结论：若不相似

17、，请说明理由:AR（2）设=比是否存在这样的k值，使得AEFsaBFC,若存在，证明你的结论并求出k BC的值：若不存在，说明理由.30.如图，在即ABC中，NC=90“，8c=6 cm, CA = 8cm,动点P从点C出发，以每秒2 cm的 速度沿CA. AB运动到点B,则从C点出发多少秒时，可使S®bcp= -S.Mfic? A31 .如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）.广 告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC. 一辆以60km/h匀 速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s,已知广告牌

18、和公路的距离是40m,求小华家到公路的距离（精 确到1m）.35mD1lE32 .某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，ADBC,对角线AC、BD相交于0,试问：AOB和（）是否相似?某学生对上即作如下解答：答：A0Bs/D0C.理由如下：, IAO DO在AOB 和DOC 中，；ADBC, A =，OC OBV ZA0B= ND0C,工 AOBs AD0C.请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明 理由.第11页33 .如图：四边形ABCD中，NA=NBCD=90° ,过C作对角线BD的垂线交

19、BD、AD于点E、F,求证:C=DF DA ；如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G,又有什么结论呢？你会证明吗？34 .阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7口窗口高AB=L8m,求窗口底边离地面的高BC.35 . (1)如图一，等边aABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边连结AE。 求证：AE/BC；(2)如图二，将(1)中等边的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作AEDC改成相似于 ABCo请问：是否仍有AE/BC?证明你的结论。36 .如图，从00外一点A作。0的切线AB、AC,

20、切点分别为B、C,且。宜经BD=6,连结 CD、AOo (1)求证：CD/7A0：(2)设CD=x, A0=y,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围:（3）若 AO-CD=11,求 AB 的 K。37 .已知：如图，在正方形ABCD中，AD=1, P、Q分别为AD、BC上两点，且AP=CQ,连结AQ、BP交于点E, EF平行BC交PQ于F, AP、BQ分别为方程/ -mx+n = 0的两根.（1）求加的值（2）试用AP、BQ表示EF（3）若Sapqe =- »求n的值O38 .如图，在平面直角坐标系中，己知0A=12cm, OB=6cm,点P从0点开始沿0A边向点A以l

21、cm/s的 速度移动：点Q从点B开始沿B0边向点0以lcm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s） 表示移动的时间（0W/V6）,那么：（1）设POQ的面积为y,求y关于/的函数解析式。（2）当APOQ的面积最大时， POQ沿白线PQ翻折 后得到APCQ,试判断点C是否落在直线AB上， 并说明理由。（3）当/为何值时，与AAOB相似？39 .如图，矩形P0MN内接于zMBC,矩形周长为24, ADLBC交PN于E,且8C=10, AE=16,求4ABC的面积.40 .己知：如图，AA3C中，A8=AC, AO是中线，P是AO上一点，过C作CFA8,延长6交AC于£,交C/于匕

22、求证：HP2=PE Pb .拔高题目量力而行（图3）（图4）（图2）第13页血血交月3于点瓦。0是区火的外接圆，交BC于点F（1）求证是。的切线；EF（2）联结万；求手的值.AC42. （09东城一模）请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.即如右图1,若 弦AB、CD交于点P则PAPB=PC-PD.请你根据以上材料,解决下列问，已知。O的半径为2, P是。O内一点，且OP=1,过点P任作一弦AC, in和n,作PQ_Lm于点Q, PR_Ln于点R.（如图2）（1）若AC恰经过圆心。，请你在图3中画出符合Sg意的图形，并计算：-P（2）若OP,AC,请你在图4中画出符

23、合题意的图形，并计算：+ PQ PR（3）若AC是过点P的任一弦（图2）,请你结合（1）（2）的结论，猜想：O 0g（第41题）（图1）Q. A、L |空点分别作。O的切线一十!一的值；Q PR的值:+之的值，并给出证明.PR彳:4L （09延庆一模）在Rt板中，NC=90°, 哙9, 加12,乙前的平分线切交月C于点。,n拔高题目量力而行43 . （09昌平一模）.已知NAO6 = 90。，QW是NAQ8的平分线.将一个直角RPS的直角顶点P在射线 OM上移动，点尸不与点O重合.（D如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、。时，请判断PC与的数量关系， 并证明你的结论

24、：（2）如图，在（1）的条件下，设CO与OP的交点为点G,且PG = ®PD,求必的值：2 OD（3）若直角RPS的一边与射线06交于点。，另一边与直线CM、直线06分别交于点C、E,且以P、 D、E为顶点的三角形与408 相似，请画出示意图；当。=1时，直接写出O尸的长.-第#页44 . （09昌平二模）图1是边长分别为和3的两个等边三角形纸片A8C和CZ）£'会放在一起（C与 C'重合）.（1）固定ABC，将CZ>'£绕点C顺时针旋转30。得到COE，连结A。、BE （如图2）.此时线 段6E与AO有怎样的数量关系？并证明你的结论

25、；（2）设图2中CE的延长线交于尸，并将图2中的CQE在线段C尸上沿着。尸方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的COE设为、?尸（如图3）.设移动（点P、。在线段C/上）的时 间为x秒，若QRP与尸。重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围：（3）若固定图1中的C'D'F,将 A8C沿C/£方向平移，使顶点。落在UF的中点处，再以点。为中心顺时针旋转一定角度，设NACCaGOOvavg。），边BC交DE于点、M,边AC交。'C'于点N （如图4）.此时线段CWgE'M的值是否随。的变化而变化？如果没有变化，请你求

26、出CWgE'M的值;如果有变化，请你说明理由.45 .(09通州一模)如图：是OO的直径，A。是弦，“A6 = 22.5°,延长AB到点C, 使得 ZACD=2DAB .(1)求证：CO是。的切线：(2)若A8 = 2点,求8c的长.46 .(09房山二模)已知：如图，AB为。的直径，AD为弦，ZDBC =ZA.(1)求证：BC是。O的切线；(2)若 OCAD. OC 交 BD 于 E, BD=6, CE=4,求 AD 的长.47 .(09朝阳二模)在中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB,将4CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE'(使N6CE'V18O

27、。)，连接A。'、BE',设直线与AC交于点O.(1)如图，当AC=BC时，的值为；(2)如图，当AC=5. BC=4时，求的值；(3)在(2)的条件下，若NACB=60。，且E为BC的中点，求OAB面积的最小值.图48 .（09 东城二模）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD.7BCDC J_BC,AB=10,AD=6.DC=8.BC=12,点 E 在拔高题目量力而行下底边BCJL,点F在AB上.（1 ）若EF平分九角梯形ABCD的周长，设BE的长为X,试用含X的代数式表示4BEF的面积；（2 ）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长

28、：若不存 在，请说明理由.（3）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1 ： 2两部分，将aBEF的面积记为S五边形AFECD的面积记为S,且S-S,=上求出火的最大 值.49 .（09门头沟二模）.在矩形A8CO中，点E是4。边上一点，连结BE,且BE=2AE, 8。是NEBC的 平分线.点尸从点E出发沿射线EO运动，过点P作交直线BE于点0.（1）当点尸在线段上时（如图），求证：BE = PD+与P。;（2）当点尸在线段上。的延长线上时（如图），请你猜想BE、PD、弓尸。三者之间的数最关系（直 接写出结果，不需说明理由）：（3）当点尸运动到线段E。的中点时（如图），连结0c,过点尸作PF_

29、LQC,垂足为F, PF交BD 于点G.若8c=12,求线段PG的长.50 .（同上）.如图，在平面直角坐标系.Qy中，己知点A （4, 0）,点B （0, 3）,点P从点B出发沿84方 向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点。从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度-第13页为每秒 2个单位长度，连结 P 2 .若设运动的时间为，秒 （0</<2）.（1）求直线AB的解析式；（2）设AAOP的面积为 >，求y与，之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻/,使线段尸。恰好把A4O8的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时/的 值：若不存在，请说明理由：（4）连结PO,并

30、把PQ。沿QO翻折，得到四边形PQP'。，那么是否存在某一时刻，使四边形PQP'O 为菱形？若存在，请求出此时点。的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由.第23页参考答案（一）精心选一选1. B 2 B 3 C 4 C 5 C 6 A 7.C 8 B 9 A 10 C 11A 12 B（二）细心填一填13.15.16.8【答案】-；4 VI.14.【提示】分a+b+cHO和a+b+c=O两种情况【提示】由AABCsAjjc。，列出比例式，求出CO,再用ASCs/vlEO.【提示】延长尸E交C8延长线干点，则4尸=8”.苦馆AAFGsACHG.【提示】分“区”类和“ A”类两类

31、.【答案】£B=NACP,或NAC6=NAFC,或尸A8.【答案】±1.【答案】10.【答案】1 ： 5.【答案】6对.19 .【答案】6.20 .【提示】作EF/BC交AD于尸,设BE交4。于O点，先求出OD长和08长，最后用勾股定理求出BD的 长.【答案】144.21 .【提示】作AEDC交BC 丁 E点. ill RiAABEsRACBA,依次算出BE、AS的长.最后求出AE的长.即可 求出梯形面积.【答案】36.（三）认真答一答2022 .【提示】延长E4,与。的延长线交于尸点，则4POs2X"Fs48PC.【答案】 1323 .方格纸中,每个小格的顶点叫

32、做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在图示的10X10的方格纸中. 画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）.【提示】先任意商一个格点钝角三角形，然后三边都扩大相同的倍数,画出另一个格点钝角三角形.24 .【提示】过F点作FGC5,只需再证GF=O尸.【答案】方法一：作FG8c交48延长线于点G.V BC/GF.AC AF BC=GF又 NBDC=90' , BE=EC,：.BE=DE.V BE/GF.DF DEAC AF：.=1.:. DF=GF.：.=.AC AHBC BEAF _ AH而 DEGF BEBC DF方法

33、二：作E人6交4C于点. NBDC=90° , BE=EC,:.BE=DE.25.如图.在AABC中，AB=AC,延长BC至。，使得CD=6C.交AO于£,连结BE交AC 丁凡 求证4尸=尸。. 一h 尸C 1【提示】先证SCFs/xosa,再证=-.AC 2【答案】V BC=CD. ECLBD. ：. BE=DE. /FBC=/D.又 AB=AC.：. NBCF=NDBA.：.NBCFsADBA.FC _BC而一丽又 BD=2BC. AB=AC,FC BC IAC2BC2因此AF=FC.26 .已知：如图,尸是四边形八BCD对角线AC上一点,EF/BC. FG/AD.AE

34、 CG+ AB CD求证:【提示】利用AC=A尸+尸CCG CFCD - G4AE AF 【答案】,: EF/BC. FG/AD.：.=AB ACAE CG AF CF AC :.= iAB CD AC CA AC27 .如图,BD、CE分别是入48。的两边上的而，过。作DG_L8c于G,分别交CE及84的延长线于A H.求证:(1) DG2=BG CG： (2)BG CG=GF - GH.【提示】(D 证BCGszXocg： (2)证 RlAHBGsRACFG.【答案】(D DG为心8CO斜边上的高，CG DG：.RtABDGsRtADCG.：. =,即 D(P=BG CG.DG BG(2)

35、 : DGLBC.：. NA8C+N=90'，CE±AB.:. NA6c+ N£T6 = 90、 :. NA6c十 N= NA6c十 NEC6, /. NH=NECB.BG GH又 ZHGB=ZFGC=90 . :. RtHBGRtCFG.：. =，GF GC：.BG GC=GF GH.28 .如图，ZABC=ZCDB=9O0 , AC=a. BC=b.(1)当BD与a、之间满足怎样的关系时，AABCsCDB?(2)过A作8。的乖纹，与。8的延长线交于点E,若MBCsCDB.求证四边形4EOC为矩形(自己完成图形).【提示】利用三角形相似，推出8。=21 a【答案】

36、(1)/ NA8C=NCD8=90° ，a b即一=b BDAC BC：.当=时，AABCsACDB.BC BDb2 .即当 时，/ABCsdCDB. aABCsCDB, ：. NACB=NCBD,：.AC/ED.又 ZD=90° , :. ZACD=9QJ .ZE=90° .:.四边形AEDC为矩形.29 .如图.在矩形A8CO中，E为AO的中点.EF_L£C交48于F,连结FC (Aff>AE).(1)与是否相似？若相似，证明你的结论：若不相似,请说明理由：AB(2)设 =k,是否存在这样的A值.使得AE/sAjC,若存在,证明你的结论并求出A

37、的值：若不存在, BC说明理由.【提示】(D如图，证明AFEg2OGE,证出NA所=NEFC (2)证明NECG=30° , NBCF=30° .【答案】如图，足相似.【证明】延长FE,与CO的延长线交于点G.在 RMEF 与 RtDEG 中，: E 足 AD 的中点，A AE=ED.: NAEF=NDEG, :. AFEADGE.:.ZAFE= ZDGE. ：. E 为尸G 的中点.又 CEJ_尸G, :. FC=GC. ：. ZCFE=ZG. ：. NAFE=NEFC.又 4AEF与£（？均为直角二角形， AEFAEFC.AB 存在.如果NBC/=NA

38、3;F,即&=时，AEFsgCF.BC 2拔高题目量力而行DCDEZECG= ZECF= ZAEF=3Q> .N8CT=90' 一60)=30° .AB a/3 证明：当=时,BC 2第第页又 AAE尸和5b均为立角三角形，:.AEFABCF.因为EF不平行于8G, ZBCFZAFE.：.不存在第二种相似情况.30.如图.在MA46C中，ZC=90° , 6c=6 cm, CA = 8cm.动点?从点。出发，以每秒2 cm的速度沿CA、A8运动到点儿 则从C点出发多少秒时，可使1S.BCP= S./5C?4B【提示】先求b,再求DP.【答案】当点P从点

39、C出发，运动在C4上时,若S .BCP= S际,则41 CP BC=41-AC BC 21CP= AC=2 (cm).4故由点尸的运动速度为每秒2 cm,它从C点出发1秒时,有S. BCP= - S .ABC.当点尸从点C出发运动到AB h 4时,如图，可过点?作尸D_L8c于。.若 S .BCP= S. ABC 则4-PD BC= - -ACBC1 PD= AC=2 (cm). 4R3ACsR4bpd, BP PDAB AC又 A8= JAC +=10.31.32.故BP=210 5一,AP=AB-BP=IQ- - =7. 5.也就是说，点P从C出发共行15. 5 cm,用去7.75秒,此时

40、 S. .BCP= S ABC.4答：1秒或7.75秒.BC=50m, AM133 米.AO BO 错误，： 一工OD OC33 .证DCEs/DBC 得 DC*DE DB 再证DEFs/iDAB 得 DE DB=DA DF(2)AD DF=DG DC34 . BC=4m35 .证(1) ZXEAC 与ADBC 全等，得至IJNEAC=NB,而NB二NACB,得NEAONACB 故 AE 7BC(2) AEAC-ADBC 得至iJNEAONB,而NB=NACB,得NEAONACB36. (1)连接BC交0A于E点 ;AB、AC是。0的切线，AB=AC, Z1=Z2 .AE1BC /. N0EB

41、=90° :.ZDCB=90° ZDCB=Z0EB A CD/AO-(2) VCD/AO.Z3=Z4；AB是。0的切线，DB是直径 :.ZDCB=ZAB0=90°BD 是。0的直径/.BDCAAOBe BD DCeeA0 = OBA图206 x “y - 3y180<x<6由已知和(2)知:x + y = 11xy=18把x、y看作方程z，Tlz+18=0的两根 解这个方程得z=2或z=9X =2% =9x. =9(y； = 2(舍去)，AB =72 =637. (1) V AP=QC, AP+BQ=QC*BQ=BC= 1又AP、BQ 分别为方程/ 一

42、d+ = 0 的两根，W AP+BQ=m> AP BQ=n /AP+BQ=m=l (2 分)(2) VEF/7AP.EF _ EQAP AQ又.APBQ丝 =BQAPEQ 一 BQ 即七。一 bqAE + EQ AP + BQ AQ AP + BQ,空=-即AP AP + BQEF:辿理AP + BQ(3)连结 QD,则 EPQD,得：S aqd=-» 且 S aep ： S aqd=AP? ： AD AP ： 1= AP?2* S. aep= AP2 Saqd= y AP2 S. pqe : S.<aep=EQ : AE»即:：y AP:= EQ ： AE=B

43、Q : AP AAP BQ=(即：n=； t (6 -38.解(1) V0A=12,0B=6得 BQ二lt=t, OP=1 t=t /.0Q=6-1 /.y= 1 XOPX0Q= 1t) =-t:-|-3t (0tW6)2(2) Vy = -lr + 3/当y有最大值时，= 30Q=3 0P=3即是等腰直角三角形。把POQ沿P。翻折后，可得四边形OPC。是正方形.点C的坐标是(3, 3) 412.0),8(0.6)，直线A6的9解析式为)一士x+6当x = 3时，)，=二。3,点C不落在直线AB上2(3)aP0Qs/kA0B 时若型=,即 =, 12-2/ = /,?. t = 4 若=,UP

44、 =QA OB 612OB OA 1266T = 23f = 2当1 = 4或f = 2时,ZXPOQ与AAOB相似。39 .【提示】利用相似三角形的性质，列出关于ED的方程，求E。的长，即可求出S川1c.【答案】矩形 PQMN, ：. PN/QM, PN=QM' V AD±BC.PN AE：.AELPN. V APNsABC,：. =.BC AD设ED=x,又 矩形周长为24.则PN=12x, AD=16+x.12-x16:. =即 x2+4x32=0.解得 x=4.1016-x1:.AD=AE+ED=2Q. ： S. abc= BC AD= 100.2【点评】本题要求运用

45、相似三角形对应高纹的比等于相似比.40 .【提示】先证26=?C 再证EFCs/ibE【答案】连结PC: AB=AC. AO是中线，:.40是ZkABC的对称轴.:.PC=PB, NPCE=NABP. V CF/AB.：. /PFC=NABP. ：. /PCE=/PFC.又 NCPE=NEPC, ：. EPGsMPF.PC PE.:. =.即 PC:=PE PF. ：. BP2=PE PF.PF PC【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质.41 . (1)证明：连结0D.1分," = 90°, :.ZDBC+ZBDC = 90° .又曲为N

46、ABC的平分线，AABD -乙DBC.,： OB = OD, ZABD = ZODB：.NODB + ABDC = 90° ,即.NODC = 90°2 分又勿是。的半径， 是。的切线.3分(2)解： DE1DB,。是Rt皿'的外接圆，应'是。的直径，设。0的半径为，在 Rt 板中，AB2 = BC2+CA:=92 + 122 = 225,:.AB = 15V ZA = ZA, ZADO = NC = 90°, XADO ACB.AO OD 15-r r 一 一 - AB BC 159拔高题目量力而行45又：桀是。的直径.A ABFE = 90&#

47、176;. ： RBEFs XBAC45.EF _ BE _3 'ACBAL5442.解：（1）庆（3过圆心0,且m,n分别切。于点AC/. AC J_ 于点A, AC JL 于点C, .Q与A重合，R与C重合.Q 0P=l, ACE,1 1PQ + PR4=1 + = .L L 1 分3 3（2）连接OAQ OP 1 AC于点尸，且。尸=1,。4 = 2, . NQAP = 30°.AP =6Q0A1直线八PQ _L直线肌, :.OA/ PQ.ZPQA = 90Q. 乙4Po = ZOAP = 30°.在R/VAQP中，P2 = |-同理，pr=2 2第39页1

48、1PQPR=yL L 3分(3)猜想!+一 PQ PR=jL L 4分同理可得:证明:过点A作直径交e O于点E,连接EC, .ZECA=90°.0 4上，直线111, PQJ_直线i,.AEPQ且 NPQA = 90°.ZEAC = ZAP。.AA£Cs 朋。.AC AE ,、PQ APAC AE=PR PC+,得ACACAEAE 1 = 1 PQPRAPPC .11AE11、F = ( + )PQPRACAP PC_ AE PC + AP _ AE AC%APTPC APPC过点P作直径交e O于点、M,N由阅读材料可知：APPC = PMPN = 3-f =

49、 .L L 8分PQ PR 3 43.解：(D PC与尸。的数量关系是相等.证明：过点P作P”J_OA, PN1OB ,垂足分别为点”、N.： ZAOB = 90° ,易得 NHPN = 900. .Nl+NCPN = 90。， 而 N2 + NCPN = 90。， /.Z1 = Z2.OM是NAOS的平分线， :.PH = PN, 又 Q ZPHC = 4ND = 90° , :2CH 学 MDN. ：.PC=PD.(2) QPC=PD. Z.CPD = 90°. .Z3 = 45°, QZPOD = 45°, .*.Z3 = ZP(9D.又

50、 Q 乙 GPD = DPO, ./POD/PDG.GD PG ''ODPD'GD PG y/JOD7d2(3)如图1所示，若尸H与射线OA相交，则QP = 1：如图2所示，若PR与直线QA的交点C与点A在点0的两侧，则OP = JI-L8分44.解：（1） BE=AD. 1分证明：如图2, 4SC与£（7£1都是等边三角形，（：'£'£绕点C顺时针旋转30°得到（?£）£：,CDE也是等边三角形，且N2 = 30。，图2A ZAC = ZDCE=60°, CA = CB,C

51、E = CD.：.Z1 = 30°.N3 = 30。, Z2 = Z3.:XBCE 出 4ACD,：.BE=AD. 3分（2）如图3,设PR、R。分别与AC交于点O、L.CDE在线段CF上沿着b方向以每秒1个单位的速度平移x秒,平移后的。£七为4 PQR ,CQ = x.由(1) N 知 NPQR = /PRQ = /BCA = 60。，/BCF = 30。,.ZACF = 30° ,/. ZCLQ = ZRLO = 30°.LQ = CQ = x, ZROL = 90°.QQR = 3,RL = 3x.在RtA/?QL中，OR = ；RL =

52、 g(3-x), OL = /?Lg?os30° =(3-x).S" 7 ROBL = § (3 - x)2 4 分BK图3C2o过点区作欣，尸。于点K.在 RtARKQ 中，RK = RQm 60° =,SupQ = ；PQgRK =学. 24_c c _ >/3 2 3x/3973 y=S、rpq - s.l = 一 两 x +4X+3,QN6b = 300,N6 = 60。，/. ABFC = 90°.当点P与点尸重合时，尸。=尸。=3，VCF = BCin60° = 6, ： CQ = 3.此函数自变量x的取值范围是04

53、xV3 .6分(3) CN亨M的值不变.7分证明：如图4,由题意知，Na + N5+N4 = 180。.3E'M 2-y-=cw 28分工 Na = 120°-N4,在 ACM£ 中，Z6 = 120e-Z4,:.Z.a N6.又；ZC, = ZT = 60°, ：AE'MCs4C'CN,E'M _ EC,9cc = cn,点。是右£的中点，CE = 3,：.EC = CCf = -29 C'WM =-.445. (1)证明：连结。Oe AO=DO：.ZDAO=ZADO=22. 5°，ZDOC=45°XV NACD=2NDAB ZACD-ZDOC=45°A ZODC=90° 2分CO是。的切纹(2)解：连结。63分V A8是。0的直径NAOO+ N 006=90。由(1)知 NCO8+NOQ8=90。A XADO=ZOAD-ZCDB 4分XV NDCB:NACD：.AADCs 4DBC .DC _ AB+BC-BC DC.41 242+ BC =-BC V2：.BC=2->2 BC=-2- &