(江苏专版)2020版高考数学导数与函数的单调性教案(文)(含解析)苏教版

1、第二节导数与函数的单调性函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f (x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0.f (x) 0? f(x) 在(a, b)上为增函数.f (x) wo ? f (x)在(a, b)上为减函数.小题体验1 .函数f(x) =ex x的减区间为 .答案：(8, 0)2 .已知a0,函数f(x) =x3-ax在1 , +8)上是增函数，则实数 a的取值范围为答案：(0,3161 .求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决.2 .注意两种表述“函数 f(x)在(a, b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a, b)”的区别.

2、小题纠偏1 .函数y=$2ln x的单调递减区间为 .,1 x 1 x 1x+1人， ，口解析：y = x-x= =x(x0),令 y 0得 0vxv1.所以函数的单调递减区间为 (0,1).答案：(0,1)2 .已知函数 f(x) = 1x2+bln x在区间2 ,+8)上是减函数，则 b的取值范围是解析：由题意得，f (x) = x+bwo在2 , +8)上恒成立 即 b0),2a+1x+1x2ax 1x 1x一 .1 2ax2-从而 f (x) = 2ax(2 a+1)+-=x当 awo 时，由 f (x) 0,得 0vxv 1 ；由 f (x) 1, 所以f(x)在(0,1)上单调递增

3、，在(1 , +8)上单调递减.当 0vav;时，由 f (x)0,得 0vxv1 或 x ；由 f (x)0,得 1 vx0(当且仅当x=1时取等号)，所以f(x)在(0 , +8)上单倜递增.当 a1 时,由 f (x) 0,彳导 0vxv 白或 x1；由(x) 0 得白vxv1, 22 a2a所以f(x)在0,和(1 , +00 )上单调递增，在 ,1上单调递减. 2a2a由题悟法判断函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f (x),并求方程f ( x) = 0的根；(3)利用f ( x) = 0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f ( x)的

4、正负，由f (x)的正负确定f(x)在相应子区间上的单调性.提醒研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.即时应用已知函数f (x) =x3- ax-1,讨论f(x)的单调性.2解：M*)的7义域为 R.f (x)=3xa.当a0恒成立，所以f(x)在R上为增函数.当 a0 时，令 3x2 a= 0,得 x=,f (x) 0；当x雪或x-pvxv3a时,f z (x)V0.因此f(x)在8, 呼，隼 +8上为增函数，在一堂，呼上为减函数. 33333aV综上可知，当 a0时，f(x)在一oo, 运 +8上为增函数，在且，遇 上为减函数.333考点二求函数的单调

5、区间 重点保分型考点一一师生共研典例引领已知函数f (x) = (x2+ ax+a)e x,其中a R, e是自然对数的底数.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x= 0处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调减区间.解：(1)当 a=1 时，f(x) = (x2+x+1)ex,所以 f(0) = 1.因为 f (x) =(x2 + 3x+2)ex,所以 f (0) = 2.所以切线方程为 y1 = 2(x 0),即2x-y+ 1 = 0.(2)因为 f ( x) = x2+ (a+ 2) x+ 2ae x= (x+ a)( x+ 2)ex,当a = 2时，f (x) = (x+2)2ex0

6、,所以f(x)无单调减区间.当一a 2,即a2时，列表如下：x(0, a)一a(a, 2)-2(2,+8)f (x)十0一0十f (x)极大值极小值所以f(x)的单调减区间是(一a, 2).综上，当a=2时，f(x)无单调减区间；当 a2时，f(x)的单调减区间是(一a, 2).由题悟法求函数的单调区间的 2方法法一：确定函数y=f(x)的定义域；(2)求导数f (x);(3)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f (x)0恒成立，求实数 a的取值范围.解：(1)函数f (x)的定义域为(0, 十),一 , 、 x-a 2x+af (x) =，x,，一口qa

7、由 f (x) = 0,可得 x = a或 x= 2,当a=0时，f (x)0在(0 , +8)上恒成立,，f(x)的单调递增区间是(0, +8),无单调递减区间.当a0时，由f (x)0,解得xa,函数f(x)单调递增；由f (x)0,解得0vxv a,函数f(x)单调递减，f(x)的单调递减区间是(0, a),单调递增区间是(a, +8).一 .一 a 当a0,解得x- 2，函数f(x)单倜递增；.一a 由f (x)0恒成立等价于f(x)min0,由(1)知，当a=0时，f(x) = x20,符合题意；当a0时，f(x)的单调递减区间是(0, a),单调递增区间是(a, +8),.f(x)

8、min = f(a) = a a aln a0,解得0vawi；a当a0,所以当mx 2 e2时，不等式f(x)mg成立.故实数m的取值范围为(8, 2 e2).考点三由函数的单调性求参数的取值范围重点保分型考点一一师生共研典例引领(2019 木渎高级中学模拟)已知函数f (x) =2xln xx2+ax(aC R是常数).(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程；41(2)若f(x)在区间e内单倜递增，求 a的取值范围. e2解：(1)因为 a=2 时，f(x) = 2xln x x +2x,f (x) = 2(ln x+1)2x+ 2=2ln x2x+4,所以

9、 f (1) = 2, f (1) =1,故切线方程是y- 1 = 2(x1),即2x-y- 1= 0.(2) f (x)=2ln x2x+a+2,若f(x)在区间:，e内单调递增，则a + 22( x- ln x)在区间:，e内恒成立，ee设 h(x) =xln x, xe -, e ,贝U h，( x) =1- = -1, ex x由 h (x) 0,得 1 v xwe；由 hz (x) v 0,得w x 1, e一 ，1故h(x)在1内单倜递减，在(1 , e内单倜递增， e而 h=1 +-2e2,解得 a2e- 4,所以a的取值范围是2e -4, +8).由题悟法由函数单调性求参数的一

10、般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y = f(x)在(a, b)上单调，则区间(a, b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则 f (x)0；若函数单调递减，则f (x)W0”来求解.提醒f(x)为增函数的充要条件是对任意的x (a, b)都有f (x)0,且在(a, b)内的任一非空子区间上 f (x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.即时应用已知函数 f (x) = ex - ax- 1.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在实数a,使f(x)在( 2,3)上单调递减？若存在， 求出a的取值范围；若不 存在，请说明理由.

11、解：f (x) = exa.若aw。，则f ( x) =exa0恒成立，即f(x)在R上单调递增；若 a0,令 ex-a0,解得 xln a,即f(x)在In a, + )上单调递增，因此当a0时，f(x)的单调递增区间为In a,+8).(2)存在实数a满足条件.因为f (x)=ex awo在(一2,3)上恒成立，所以aex在(2,3)上恒成立.又因为一2vxv3,所以e 2 exex在(一2,3)上恒成立，只需 ae 3.故存在实数aCe3, +8),使f(x)在( 2,3)上单调递减.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.函数f(x)=xIn x的单调减区间为 .解析：函数的定义域是(0 ,

12、 十)且f( x) = 1令f (x) v 0,得0vxvx x1.答案：(0,1)2. (2018 启东中学检测)已知函数f(x) =x-1-(e-1)In x,其中e为自然对数的底数,则满足f (ex) 0),得 x= e 1. x当xC(0, e1)时，f (x)0的区间是(8, 2),故函数y=f(x)的增区间是(一00, 2).答案：(8, 2)5 . (2019 响水中学模拟)若函数f (x) =ax33x在区间(一1, 的取值范围是.解析：若函数f(x)=ax3 3x在(1,1)上为单调减函数，22,则f (x)W0在(-1,1)上恒成立，即3ax -30在(-1,1)上恒成立，

13、即ax W1在(一 1,1)上恒成立.若a0,则只要当x=1或x = 1时，满足条件即可，此时 a 1,即0V a 1.综上a0在1,2上恒成立，所以 aw(x2+2x)min = 3,所以a0,解得a2, 而 f，(x) = xa,令 x-a= 0,解得 x = Ja. x因为f(x)在(a-2, a+2)上不单调，所以 a2yaa+2,解得0w a 4.综上，a 2,4).答案：2,4)5. (2018 姜堰中学学情调研 )函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x),且当1xC ( 8, 1)时，(x1)f (x) 0, f (x)在(一8, 1)上为增函数.又f(3)=f (

14、f(x)的单调递减区间为解析：设备函数f(x)=x,因为图象过点 彳，2 ,所以;=步，a =2,所以f(x) = x2,故 g(x) =exx2,令 g( x)=exx2+2exx = ex(x2+2x) 0,得2vx0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式 f ( x) = (x- 2)e x0,解得 x2.答案：(2 , +oo)3 .若函数f (x) =1x3+x2-ax+ 3a在区间1,2上单调递增，则实数 a的取值范围是3-111.1),且一1v 0v 2 1,因此 f ( 1) v f (0) v f 2 ,即 f (3) v f (0) v f 2 , c a0,且 f(0)

15、=1,则不等式 f(x)ve-x 的解集为.解析：令 g(x) = exf(x),则 g (x)=ex f (x)+f(x) 0, 所以g(x)在R上单调递增，而f (0) =1,故g(0) =1. f(x)ve x等价于 exf(x)1, 则 g(x)g(0),解得 x0.答案：(8, 0)7 .已知定义在 R上的可导函数f (x)满足f (x) 1,若f(2 n)if(n)2 2m则实 数m的取值范围是.解析：令g(x) =f (x) -x,所以g ( x) = f ( x) 1 0,即g(x)在R上单调递减，由 题可知 f (2 m) f (m) v 2 23即 f(2-n)-(2 -

16、n) m即得me 1.答案：(8, 1)1xx2 1 .9 x2=f (x)2v0,即函数F(x)在R上单倜递减.因为 f(x)V*2+2,所以f (x ) -2 1,即x C ( 8, - 1) u (1 , + 0). 答案：(8, 1) U (1 , +8) 9.已知函数f(x)=x+aIn x-|,其中aCR,且曲线y=f(x)在点(1 , f(1)处的切 x 2线垂直于直线 y = 2x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解：(1)对f(x)求导得f (x) =1-a2-1,4 x x8 .已知函数f (x)( xC R)满足f (1) =1,且f(x)的导数f (x)

17、,则不等式f (x2) 1 ,一，+ 2的解集为.1,1 ，1 ,解析：设F(x)=f(x)-2x,所以 F (x)=f, (x)-,因为 f(x)2,所以F(x)1 .一3一一 5由f(x)在点(1 , f (1)处的切线垂直于直线y = /知f (1) = 4 a= 2,解得a=%.(2)由知 f(x)=4 +，ln x-2, 4 4X22 X -4X- 5贝U f (x) = -2.4x令 f (x) = 0,解得 x = 1 或 x = 5.因为x= 1不在f (x)的定义域(0 , +8)内，故舍去.当 x (0,5)时，f (x) 0,故f(x)在(5 , +)内为增函数.综上，f

18、(x)的单调增区间为(5, +8),单调减区间为(0,5).1 2-10. (2018 前黄局级中学期末 )已知函数f(x) =-ax2 + 2x-ln x(aCR).(1)当a=3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数存在单调增区间，求实数 a的取值范围.3 2解：(1)当 a=3 时，f (x) = 2x + 2x-ln x,其te义域为(0 ,+8).13x 1x + 1-f (x) = 3x + 2 q=x,当 xC 0, 1 时，f (x)V0, f(x)单调递减； 3当 xC ；, +8 时，f(x)0, f(x)单调递增. 3，f(x)的单调减区间为 0, 1 ,单调增区间为

19、 1, +8 . 33(2) f (x) =2ax2+ 2x- ln x,其定义域为(0 , 十0),2 ,1 ax + 2x 1(x) = ax + 2 x=x .若函数存在单调增区间，则f (x)0在区间(0, +8)上有解，即ax2+2x10在区间(0, +8)上有解.，、一,、“，1 2x 入1 2x - 一、一rr 一分离参数得 a 一=，令g(x)= 一丁,则依题息，只需 ag(x)min即可.1一一1 x-1,xx1 - 2x -g( x) =2 =x:g( x) min = - 1 故所求a的取值范围为( 1, +8).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1 .已知函数f (x)是函数f(x)的导函数，f(1) =1,对任意实数x,都有f(x)f (x) e0,则不等式f(x)vex2的解集为一一 一 f x解析：设 g(x) = x-, e则 g (x)=x ex exfx 对任意实数x,都有 f (x) f (x) 0, g (x)V0,即g(x)为R上的减函数.f 1 g(1)=- e由不等式f (x)e 2,J x21 rr得 -e =3,即 g(x)1, .不等式 f (x) vex2 的解集为(1 , +8).答案：(1 , +oo)2 .已知函数 f(x) = a