二项式定理的推广与应用

1、项式定理的推广及应用曲靖市麒麟高级中学车保勇摘 要二项式定理是在处理有关两个兀素和的方幂问题时常常考虑 到的一个重要公式.深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能 为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题.因此，进步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作.但前人得出的 应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面, 而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统 整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特 殊极限问题.纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问 题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项

2、式定理的应用范围.关键词二项式定理推广方幕应用1引言二项式定理是在处理有关两个元素和的方幕问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：（a+bcnanbr,（n,r-N,OMr<n）.它有着 rz0十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域 .认真研究问题的条件 和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构 造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快.巧 妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决 一些难度较大的数学问题.因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分 研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作.2问

3、题的提出虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但 已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广.针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围.3二项式定理的推广二项式定理是在处理有关两个元素和的方幕问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：(a+ b)n =C0an+ 川+0节 +|i + C：bn =送 C；anbr,(n，飞 N,0 Er 兰n)n-r =q其中Tr+=Cnra2br叫做二项式的通项公式，cn = n!叫做二项式系数. 门(n r )!rn!Cn =而，(n，rN,且r+q=n)

4、.若令则3.1推广一除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用,在实际应用中，(a+b+ c)n(n迂N)的展开式：现将其作推广.先考察三项式(a + b + c)n =(a +b) + cn斗11+ cn(a+b 厂cr+)HRII + C；l+C：an3bq+(|)cr VII= lll+CnCnq討 Jbqcr +1(1若令n -r-q = p，便得到三项式(a+b+c)n(n N)展开式通项公式：CnCn-rapbqcr(p,q,r 亡 N且p+q+r= n),其中cncnn! (nr)!= n!叫三项式系数.【2】r!( n-r ) q!( n-r -q ) r!q! p!类似地

5、可得四项式(a+b+c + d)n(nN)通项公式为afb'c'd p,q,r,s亡 N且p+q+r+s=n ),n!P !q!门s!其中称四项式系数.于是猜想m项式定理为：p!q!r!s!定理1(6 “2+|i + am)n =送：!alaillam ,山,n亡 N,k =1,2,川,m).ii 七和十mnllhHIIlrn!在证明之前，先分析一下上述定理的结构.如果像二项、三项那样展 开求和或用归纳法证明，显然十分繁琐，于是考虑用排列组合知识进行证 明.证明 设1 +a2 +|+am）n =2 f （rnOHlJmlag；2川a；m ,它的一般项可以这样 得到，从n个式子（

6、a+&2+111+am），（a+&2中川+ am）中由1个式子里取a1有 C1种方法，再由剩下的nr1个式子中选2个式子取a2有C种方法，依次类 推，从最后的n-r1 D -川-rm_, =rm个式子中选am有C池 nm丄种方法.于是选 取这m个元素总共有Cdnc池If丄种方法，将所得元素相乘即为 alHam；，因此一般项系数为n - ri -忖- rm_J )!rm !心卫川仏）乂8：11|心_ n!（n-r1）i （r1!（n - r1）! r2!（n - r1 -k'）!_ n!叨山咕！ 于是定理得到证明.这个结论结构优美，记忆简便，体现出数学美.33.2推广二r

7、 =0由数式二项式定理可得（1+x）n=Z cnxr,（n,rN,OGEn）.这里的n是正数， 当指数为负整数时，又是什么情形呢？定理 2 当 -1 兰X 兰1 ,n为正整数时（1-x）=1 +；x + 2x2 +3x3 +111 + :xr+HInxr 其中n _n（n Kn+2）川（n+r Dr £r !证明（1）当n=1时，左边=（1x）=丄,n1 -x右边=1 +x +x2 +x3 +川=lim 1一 = ,Y1-x 1-x左边=右边，即上式成立.假设当n = k时，有lim（ 1x +：人2 +3 x3 +川 +:xr） = lim送:xr 成立，则当n =k +1时，考虑

8、其中因为所以所以(1x)(1 +Ex+k*x2 +3 竹 X3+HI+Lxr) =1+(严_1”+(严一严加2切|+(均-世氏一严申 =1 +1kx +kx2 +HI +C xr ：甲仪甲,jyi r (k+1)(k +2)川(k +r) r屮 (k+r)!卄£ ix =X =Xr!k ! r!(k+r)(k+r _1)川(r+1) r屮=Xk !” / ，八k r卡<(r +1) X ,型 r +1)=o ,limC% o,rC '71髮1 -x)(1+Fx+kTx2 +nx3+山+卄xr) =(1-X)两边同时除以1-x得1竖1 +kTx+rx2 +3Tx3 +山+

9、：卅£) =(1-X)f即当n =k +1也成立.综上所述，定理成立.3.3推广三设mX1，对于多项式(1+x+x2切|+xm)n迈3jXj ,约定展开式中含xj项的系 数 3j = fm( n, j)xj，易得3 - f/n,j w = Cn.定理 3 设(1+x+x2)n =3o +3iX+32X2 +|i + 32nX2n，贝J(1)(2)(3)(4)(5)2n2 a3n ；j=0ai +a3+35+ 111 + a2nj =a2 +a4 +HI+a2n;ao +a3 +86 + IH=ai +a4 +a7 + 丨丨1= a2 + a5 +a8 +1丨丨=3“'； 当

10、n 为奇数时，ao +34 +38 +111 = 32 +36 +aio +111 ； 当 n 为偶数时，3i +35 + 39 +111 = 33 + 37 +3ii 卄| .若令x=±1，则可得结论(1)和成立.(护=1)则有3o +时 +32 时 2 +H)+32n 时 2n =0 ,即(3o +33 +36 + 丨1) +(31 +34 +37 +11网 +(3235 +33 +山)豹2 =0 ,由复数相等的定义可知结论成立.令X"证明下面证明结论 和(5):令x=i则有in =a0 +0/ +a2i2 +|( + a?2",整理可得0 +04 +&

11、;8 +11) 2 +&6 + aio +IID +(ai +a5 + ag +|)何 +&7 +aii +|)i =in .当n为奇数时，上式右边为纯虚数，所以左边实数部分为0,即结论(4)成立; 当n为偶数时，上式右边为实数，所以左边虚数部分为 0,即结论(5)成立. 4二项式定理的应用二项式定理是代数中的一个重要定理，恰当应用二项式定理和其推广 定理可使一些复杂问题简洁化，困难问题简单化.4.1在求值问题中的应用巧妙运用二项式定理可使一些看似十分困难的求值问题简单化.例1用x表示实数x的小数部分，若0=(5713+18)99，则aa的值为多 少？分析：此题表面看较为困难，

12、但若能发现0<5用-18<1，且(5 J13+18)(5 J13-18)=1，便能迎刃而解.解 令 b=(57i3-18)gg，因为(5(13-18严(0,1)，所以 (0,1),由二项式定理有a =(5届+18)99 =cg9(573)99 +cg9(5/i3)98x18+|+。；/昕3)：/?5 13)98C89：9, 99 8b = (5届18)99 =(9 (5用)99 -C99 (53)918+|+(-1)4(5届)99匕18+|弋；8(5713)心898 弋99 1 899 ,因为 a-b =2£99(5713)98勺8+|弋；1899是正整数，所以a = b

13、,所以 aa = (57i3+18)99(57i3-18)99 =(5713+18)(5713-18)99 =1.在挖掘出倒数关系(5713+18)(5屆-18)=1的基础上，巧妙构造b = (5胡3 -18)99来替代是顺利解题的关键.5】例 2 若(1 +x+x2)1000 的展开式为 ao+a1x + a?%2+ a2oooX2000，求ao+a3 + a6 +川+ 998的值.(2001年全国高中数学联赛题)解令x=1，可得，JOooI3=ao +ai +a2 +11) + a2ooo ；令X =©，可得，(其中令xw2，可得0 =ao +印时+ a2 +11( + a2oo

14、o时 2000 ,O = -1 + i，则053=1，且 2+03+1=0);2 20 =ao + a,时2 +a2t/ +11( + a2oo 4000以上三式相加可得31000 =3(ao +a3 +a6 +Ili + sw),所以a。+ a3 + a6 +111 + a1998 = 3.对求有关二项式系数和的问题，常用赋值法.一般地，多项式(1)f(x)的各项系数和为f，奇次项系数的和为;f-fl;偶次项系数和为1Hf(1)+f(1) . 624.2在近似计算问题中的应用求近似值问题常把二项式定理展开，根据精确度决定所取项数可使计 算简捷.例3 求(0.997)5的近似值(精确到0.00

15、1).分析：(0.997)5 =(1-0.003)5，简单构造二项式定理模型，展开按精确度要求取前两项计算便得符合条件的结果.解(0.997)5 =(1-0.003)5=1 -C5o.OO3 + C；(O.OO3)2 -lll-C?(0.003)5“ 一5咒0.003 =0.985 .4.3在整除与余数问题中的应用二项式定理是解决整除和余数问题最有效的策略之一.例4 试证大于(1+73)2n( n-N)的最小整数能被2n整除.(第六届普特南数学竞赛题）所以分析：由（1+妁2n联想到其对偶式（173）叫（0,1），考虑二者之和即可. 证明因为0v1 >/3v1 ,（1-73）2n-（o,1

16、）.由二项式定理可得（1 + 轴2n +（1 V3）2n =2（3n +c2n32+川）2k=(1 +/3)2n +(1-V3)2n =(1 + 73)2n(1 _ 73)2n=2n(2+73)n +(2-73)n,是偶数，记为2k（"N），贝y大于（W3）2n的最小整数为2k . 又因为由二项式定理知(2+J3)n+(2-轴n是偶数，记为 2k1(k1 迂 N),所以2k=2nS .即命题得证.今天是星期日，再过10100天后是星期几？分析:此题实质是求10100除以7后的余数问题.10100 =10050 =(98+ 2)50= C； 90 85 半C 50 则4 92 C +

17、5 o9 >8C 2+ 5 0 2 因为前50项都能被7整除，只需考查250除以7所得余数.250 =4X248 =4816 =4X(7 +1)16= 4C0 6 17羊C 1 117+ 1 5C 1 7C于是得余数为4，故10100天后是星期四.4.4在不等式问题中的应用利用二项式定理证明不等式，是二项式定理的一个重要应用.一般情 况，在二项式展开式中取舍若干项，即可将相等关系转化为不等关系，从 而获得相关不等式.特别在有关幕不等式和组合不等式方面有独特作用.1 1例 6 求证：2<（1 +- ）n3-p,（ n 迂 N）.n218证明由二项式定理得1(1+n(1+)n = C0

18、 + cnl +Cn2 丄+川 +C：4n n ,n nn2 1i +1 +Cn +川n>2 .+Cn1 1+Cn221+iH+Cj1in1 n11n 2112=2+-(1-)+-(1 - )(1-)+ 川+ -(1-)(1-)训.(12!n3!n nn!nn口)n111<2+丄+丄+川十丄 2!3!n!111小1兰2+2十歹+歹+川+尹 =3-12根据实际需要进行实际取舍相关项是这类题的关键.n_J例7设a,b壬R +, 分析：设a =s +d，L “a+ bj a +binn 匸 V,求证:>.2 2b=s-d , (s,d 亡 r+且 s>d)，贝J a+ b=2

19、s ,再用二项式定理解题.证明 设a =s +d，b =s-d， (s,d 迂 r+且 s>d)，于是有an +bn =(s + d)n+(s-d)n= 2C0sn+C：s2d2+M>2sn ；又因为所以a + b =2s ,an+bn、2sn n a+b、n工一=s =.2 2 2即题目得证.此题表面看似乎与二项式定理无关，但做换元后便露出其本质.a +b结论也可以写成 苗.在高中数学教材不再介绍数学归纳法的情V 22况之下，二项式定理是证明这一不等式简捷且有效的途径.8-13】例8设a,bR+,且1 +1 .求证：对每个自然数n忘N都有a b(a+b)n -an -bn >

20、;22n-2n+. (1998年全国高中数学竞赛题)分析：因为a,b迂R +,且1 +a/, I X n n 1 n(a + b) -a -b=1 a心b+ abn再利用均值不等式求证.证明由及二项式定理得冷，所以屁2 ；na2 弘 3诚 iC2 +( nabkn-a) nb C仁丄+丄二二二届二2 , a b Jab(a +b)n 冷-L：4abn+cnbn-an-bnn _2 2- n_2 , n-n= C0an +怖宀 +|H + C小1 n X , 2 n _2. 2 , i I I ,小 n 2 2. n_2 .nj .= Cna b + Cna b +|+Cnab +Cn ab1

21、r/ n,1 nc1, / n_2, 2,2.n_2c2 , ijj, , , nJ , nd,x n,= (a b+ab )6+(a b +a b )Cn+m+(ab +a b)Cn 2 >7(cn+c：+iH+cn)>2n (2n -2) =22n -2n .本题一般用数学归纳法证明，但用二项式定理结合基本不等式证明更简捷明快.4.5在多项式问题中的应用在实际应用中，除遇到二项式问题外还常常遇到多项式问题，利用推广定理可使解题方便快捷.例10求(3x+2y -z)7的展开式中含x3y2z5的项.解 直接应用推广定理1有(3x+2y-z)7的展开式中x3y2z5项为 7!(3x)3(2 y)2(z)5 =378x3y2z5 .3!2!5!例11求(2x3 -x -1)8中x4的系数.分析：直接展开项数太多，显得冗长复杂，利用定理1可快速解决.pqr®) Prq(十2 P(廿命x2 pF的通项为解(2x'X1)8"EH