概率论：6-2 抽样分布

1、数理统计数理统计第二节第二节 样本及抽样分布样本及抽样分布统计量与经验分布函数统计量与经验分布函数统计三大抽样分布统计三大抽样分布几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布定理课堂练习课堂练习小结小结 布置作业布置作业数理统计数理统计 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行行“加工加工”，这就要构造一些样本的函数，它把，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.1. 统计量统计量 这种这种不含任何未知参数的样本的函数称为统不含任何未知参数的样本的函数称为统计量计量. 它是完全由样本决定的量它

2、是完全由样本决定的量.一、统计量与经验分布函数一、统计量与经验分布函数数理统计数理统计定义定义.),(,),(,21212121个个统统计计量量称称是是一一中中不不含含未未知知参参数数，则则的的函函数数，若若是是的的一一个个样样本本，是是来来自自总总体体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX请注意请注意 :.),X(),(,X21212121的观察值的观察值计量计量也是统也是统则则是一个样本的观察值是一个样本的观察值的一个样本的一个样本是来自总体是来自总体设设nnnnXXgxxxgxxxXXX数理统计数理统计 几个常见统计量几个常见统计量样本平均值样本平均值niiXnX11它反映了它反映

3、了总体均值总体均值的信息的信息样本方差样本方差niiXXnS122)(11它反映了总体它反映了总体方差的信息方差的信息 niiXnXn12211样本标准差样本标准差 niiXXnS12)(11数理统计数理统计nikikXnA11它反映了总体它反映了总体k 阶矩的信息阶矩的信息样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXXnB1)(1 k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息数理统计数理统计统计量的观察值统计量的观察值, 2 , 1)(11, 2 , 11;)(11)(11;111121212 kxxnbkxnxxnsxxnsxnxnikiknik

4、ikniiniinii数理统计数理统计请注意请注意 :., 2 , 11)(1 kXnAnXEkXkpnikikkk时，时，存在，则当存在，则当阶矩阶矩的的若总体若总体.),(),(2121为连续函数为连续函数其中其中可将上述性质推广为可将上述性质推广为由依概率收敛性质知，由依概率收敛性质知，再再ggAAAgkpk .根据根据这就是矩估计法的理论这就是矩估计法的理论., 2 , 1)(,2121上述结论上述结论再由辛钦大数定律可得再由辛钦大数定律可得同分布同分布独立且与独立且与有有同分布，同分布，独立且与独立且与由由事实上事实上nkXEXXXXXXXXkkikknkkn 数理统计数理统计 2.

5、 经验分布函数经验分布函数.,)(,2121的随机变量的个数的随机变量的个数中不大于中不大于表示表示的一个样本，用的一个样本，用是总体是总体设设xxxxxxsFXXXnn xxsnxFn)(1)(经验分布函数为经验分布函数为定义定义 2, 121,321, 0)()(21133xxxxFxFF若若若若若若的观察值为的观察值为，则经验分布函数，则经验分布函数，具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体例例数理统计数理统计)1, 2 , 1(, 1, 0)()(.,)()1()()1()()2()1(21 nkxxxxxnkxxxFxFxxxnxxxnkknnnn若若若若若若的观察值为的观察值为则经

6、验分布函数则经验分布函数如下：如下：将它们按大小次序排列将它们按大小次序排列值值的样本的样本是总体的一个容量为是总体的一个容量为一般，设一般，设经验分布函数经验分布函数 请看演示请看演示数理统计数理统计 二、统计三大抽样分布二、统计三大抽样分布)(22n记为记为2分布分布1、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. . 2 2 分布分布请看演示请看演示

7、数理统计数理统计2分布的密度函数为分布的密度函数为000)2(21);(2122xxexnnxfxnn来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分0,)(01xdttexxt)(x注注.2 ,2.2 ,21),1(.2 ,21)1(1222222 nXXXniiii可加性知可加性知再由再由即即由定义由定义分布分布就是就是已知已知数理统计数理统计),(2N1. 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21则则)()(121222nXnii).(21221nnXX 则则),(),(222121nXnX这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.2分布的性质分

8、布的性质2 ,),(22充充分分大大时时则则当当 nn 3若若的的分分布布nnX2 近似正态分布近似正态分布N(0,1).(应用中心极限定理可得应用中心极限定理可得 ) 2设设 且且X1,X2相互独立，相互独立， 数理统计数理统计E(X)=n, D(X)=2n.,),(.222分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差若若 n1)()(),1 , 0(2 iiiXDXENX故故事实上，由事实上，由213)()()(2242 iiiXEXEXD.2)()(,)()(122122nXDDnXEEniinii 数理统计数理统计分布的分位点分布的分位点2. 5 )(222)()(ndyyfnP, 10

9、，对于给定的正数对于给定的正数称满足条件称满足条件.382.34)25()(.)()(20.1222 可通过查表求，例可通过查表求，例如图所示如图所示分位点，分位点，分布的上分布的上为为的点的点nnn)(2n 数理统计数理统计概率密度函数为：概率密度函数为： tntnnnthn212)1()2(2)1()( 定义定义: 设设XN(0,1) , Y , 且且X与与Y相互相互 独立，则称变量独立，则称变量nYXt 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n的的 t 分布分布.)(2n2、t 分布分布).(ntt记为记为分布的分布的分布又称为学生氏分布分布又称为学生氏分布)(. ntt数理统计

10、数理统计分布的性质：分布的性质：t)2()2()(, 0)(),(. 1 nnntDtEntttn与与方方差差为为：其其数数学学期期望望分分布布的的具具有有自自由由度度为为.21)(lim,.0. 222tnethntt 函函数数的的性性质质有有由由再再分分布布概概率率密密度度的的图图形形，其其图图形形近近似似于于标标准准正正态态充充分分大大时时当当对对称称分分布布的的密密度度函函数数关关于于).1 , 0(Ntn近似近似足够大时，足够大时，即当即当数理统计数理统计.)()(如图所示如图所示分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 ntnt)(nt )()()(ntdtthnttp称满足条件称

11、满足条件，对于给定的对于给定的分布的分位点分布的分位点, 10. 3 t数理统计数理统计)(nt )()(1ntntt 分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上.1315. 2)15()(025. 0 tntt求得，例求得，例可查表可查表分位点分位点分布的上分布的上 zntn)(45的值，可用正态近似的值，可用正态近似时，对于常用的时，对于常用的当当请看演示请看演示t 分布分布数理统计数理统计由定义可见，由定义可见，3、F分布分布121nUnVF F(n2,n1),(),(2212nVnU 定义定义: 设设 U 与与V 相互相互独立，则称随机变量独立，则称随机变量服从服从自由度为自由度为n

12、1及及 n2 的的F分布分布，n1称为称为第自第自由度由度，n2称为称为第二自由度第二自由度，记作，记作21nVnUF FF(n1,n2) .数理统计数理统计即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1. 0001)()()()()()(2222221211211212121yyyyynnnnnnnnnnnn1.F分布的数学期望为分布的数学期望为:2)(22 nnFE若若n22若若FF(n1,n2)， F的概率密度为的概率密度为分分布布的的性性质质F数理统计数理统计 ),(21nnF 2.F分布的分位数分布的分位数称满足条件称满足条件，对于给定的对于给定的, 10

13、),(2121)(),(nnFdyynnFFp.),(),(2121如图所示如图所示分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 nnFnnF分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上 F),(1),(12211nnFnnF 357. 080. 21)12, 9(1)9 ,12(,.05. 095. 0 FFF例例分位点可查表求得分位点可查表求得分布的上分布的上数理统计数理统计三、几个重要的抽样分布定理三、几个重要的抽样分布定理有有和样本方差和样本方差则样本均值则样本均值来自总体的一个样本，来自总体的一个样本，是是，方差为，方差为的均值为的均值为设总体设总体2212,XSXXXXn 2(),()

14、,E XD Xn 22)( SE数理统计数理统计 当总体为当总体为正态分布正态分布时，给出几个重要的抽样分时，给出几个重要的抽样分布定理布定理. niiXnXnEsE122211)(事实上事实上 niiXnEXEn122)()(11 21222211 ninnn数理统计数理统计 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布) 设设 X1, X2, , Xn 是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本，的样本， 是样本均值，则有是样本均值，则有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 即即X数理统计数理统计01( , )XNn n取不同值时样本取不同值时样本均值均值 的分布的分布X请注意请注

15、意 :.X2本均值本均值可用本定理计算样可用本定理计算样时，时，在已知总体在已知总体 ),(2nNX 数理统计数理统计 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布) 1() 1() 1 (222nSn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, 则有则有.)2(2独独立立与与SXn取不同值时取不同值时 的分布的分布22) 1(Sn 数理统计数理统计 定理定理 3 (样本均值的分布样本均值的分布) 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分

16、别为样本均值和样本方差,则有则有) 1(ntnSX 且相互独立且相互独立分布的定义可得分布的定义可得、由定理由定理证证)1()1(,)1 , 0(t2,1222 nSnNnX)1()1(22 ntSnnX则则.X2本均值本均值时，可用本定理计算样时，可用本定理计算样，在未知总体在未知总体 数理统计数理统计 定理定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布) ) 2(112) 1() 1()(221212122221121 nntnnnnSnSnYX、，设),(),(2221 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,

17、1nX是来自是来自X的样本的样本,是取自是取自Y的样本的样本,这两个样本的样本方差这两个样本的样本方差,则有则有2221SS 和Y1,Y2,2nY样本均值，样本均值，分别是分别是)1, 1(12122222121 nnFSS、数理统计数理统计四、例题四、例题例例1.57. 522)1(.5 .12,25),12(22 SXNX未止，但已知样本方差未止，但已知样本方差）；（；（知知已已如果如果的概率的概率大于大于求样本均值求样本均值的样本的样本抽取容量为抽取容量为服从正态分布服从正态分布设总体设总体解解 2512125 .122512125 .12)1(XPXP1063. 0)25. 1(125

18、. 14 . 012 XP 059. 1255 .1225125 .12)2( TPSSXPXP .15. 05 .12.15. 0059. 1,059. 1)24(,2415. 0 XPTPtt故故有有即即分分布布表表的的查查自自由由度度为为数理统计数理统计例例2.85. 2)(2;401.,)5 . 0 ,(101210121012 iiiiXXpXpXXN）未知，求概率）未知，求概率（，求概率，求概率）已知）已知（中抽取样本中抽取样本从正态总体从正态总体解解)10(5 . 01)1 , 0(5 . 00)1(2101222 iiiXYNX，则，则有有，由由 165 . 045 . 014

19、21012221012 YpXpXpiiii数理统计数理统计.10. 04.16)10(1012210. 0 iiXp由此可得由此可得查表求查表求)9()(5 . 015 . 092)2(22101222 iiXXSZ，由题设及定理由题设及定理 10122210125 . 085. 2)(5 . 0185. 2)(iiiiXXpXXp 4 .112 ZP由此可求得由此可求得查表得查表得, 4 .11)9(225. 0 .25. 085. 2)(1012 iiXXp数理统计数理统计例例3).()(),(2,1,)(211SEXDXEXXXXnn和和）计算）计算（的概率分布；的概率分布；）写出）写

20、出（是一个样本：是一个样本：，设总体服从泊松分布设总体服从泊松分布 解解 0, 2 , 1 , 01 iixiixexxXPi）由于）由于（的概率分布为的概率分布为因此样本因此样本nXX,1 niniixnixxeexniii11!1 niiixXP1数理统计数理统计例例4.)()(,6)1 , 0(226542321621分布分布服从服从，使随机变量，使随机变量试决定常数试决定常数设设，的样本的样本量为量为，从此总体中取一个容，从此总体中取一个容若总体若总体 CYCXXXXXXYXXXNXnnXDXDXEXEXDXE )()(,)()(,)()()2(则有则有由于，由于， niiXXnESE

21、122)(11)(数理统计数理统计)2(33312232123212 XXXXXXY分布的性质可知分布的性质可知由由.31 C故故解解)1 , 0(3)3 , 0(321321NXXXNXXX 所以所以因为因为)1(322321 XXX从而从而)1(322654 XXX同理可知同理可知数理统计数理统计五、五、课堂练习课堂练习 .10),min(;15),max(211.,5)4 ,12(1543215432151 XXXXXPXXXXXPXXN）求概率）求概率（的概率；的概率；值之差的绝对值大于值之差的绝对值大于）求样本均值与总体均）求样本均值与总体均（的样本的样本中随机抽一容量为中随机抽一容

22、量为、在总体、在总体不是统计量，为什么？不是统计量，为什么？哪些哪些之中哪些是统计量之中哪些是统计量试指出试指出的简单随机样本的简单随机样本是来自是来自数，数，是未知参是未知参，其中，其中服从两点分布服从两点分布、设总体、设总体,)( ,2,max,.,), 1(22155512151XXpXXXXXXXppbXii 数理统计数理统计.,5103251的的期期望望值值样样本本的的方方差差和和并并求求样样本本的的均均值值的的和和分分布布的的样样本本容容量量为为表表示示取取到到黑黑球球，求求表表示示取取到到白白球球，取取球球，令令的的个个黑黑球球的的罐罐子子里里有有放放回回、从从装装有有一一个个白

23、白球球，两两SXXXXX 数理统计数理统计解解1 2628. 052225252152152125211112),54,12()1( XPXPBX有有由由 2923. 0)5 . 1(1)5 . 1(121215212115115,15,15,15,15115),max(115),max()2(5515151543215432154321 iiiiiXPXPXXXXXPXXXXXPXXXXXP数理统计数理统计 5785. 0)1(1)1(11212102121110110,10,10,10,10110),min(110),min()3(5515151543215432154321 iiiiiX

24、PXPXXXXXPXXXXXPXXXXXP解解2.2)( ,max,52155121是是未未知知数数）不不是是统统计计量量（因因为为都都是是统统计计量量，但但ppXXXXXXii 数理统计数理统计解解3 .92)(,32)(5 , 4 , 3 , 2 , 1,92)(,32)(5 , 4 , 3 , 2 , 1,3232)32, 5(,)32, 1(25554321 SEXEiXDXEkCkYPbYXXXXXYbXiikkki有有由由其分布律为其分布律为则则令令分布分布相互独立且都服从两点相互独立且都服从两点数理统计数理统计六、小结六、小结 在这一节中我们学习了统计量的概念在这一节中我们学习了统计量的概念 , 几几个重要的统计量及其分布个重要的统计量及其分布 ,即抽样分布即抽样分布. 要求大要求大家熟练地掌握它们家熟练地掌握它们 .数理统计数理统计常用的统计量常用的统计量样本平均值样本平均值niiXnX11样本方差样本方差niiXXnS122)(11样本标准差样本标准差 niiXXnS12)(11样本样本k阶原点矩阶原点矩nikikXnA11样本样本k阶中心矩阶中心矩nik